函数的性质应用

专题一：函数的性质应用要点回顾1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x)

，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)

，则称f(x)为偶函数．（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(-x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数．（3）函数的奇偶性是函数的整体性质．2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1<x2

时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）．（2）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1,x2∈D，且x1<x2

；②作差f(x1)-f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)-f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（3）单调性是函数的局部性质．3．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T

，则f(ωx)

（ω≠0）是周期函数，且周期为．精讲精练引例设，其中实常数．（1）求函数的定义域和值域；（2）试研究函数的基本性质，并证明你的结论．（1）定义域为R，值域为（-1，a）（2）当a=1时，函数是奇函数．当a>-1，且a≠1时，函数是非奇非偶函数．函数是递减函数．反思：（1）运用常数分离法化为（2）函数的基本性质主要包括单调性、奇偶性等．精讲精练例1已知，，，，则（）（A）（B）（C）（D）C反思：先对x,y,z进行化简，再利用对数函数的单调性比较两数大小．

精讲精练变式：设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）

D反思：利用单调性比较大小，要注意将自变量取值确定为同一个单调区间内．精讲精练例2下列函数在定义域中是减函数的是（）（A）（B）（C）（D）C反思：要求熟记基本初等函数的单调性．精讲精练变式：（1）给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④（2）已知函数（a>0），且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等．（I）求a的值；（II）求函数的单调递增区间．B（I）

a=1（II）[1,+∞），(-0.5,1)

精讲精练例3已知函数，，（1）若a=1，试判断并证明函数f(x)的单调性；（2）当1<a<6时，求函数f(x)的最大值的表达式M(a)．（1）增函数；（2）精讲精练变式：已知函数，试判断函数的单调性并加以证明．

函数在R上是增函数

反思：（1）利用定义证明函数的单调性，注意其证明步骤为任取，作差比较，变形，定号，下结论．（2）利用对勾函数的单调性求函数最值．精讲精练例4已知函数，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是

．反思：含参数问题一定要分类讨论．

精讲精练变式：已知函数在区间[-5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围．a≤-5或a≥5精讲精练例5函数的单调递减区间是（）（A）（B）（C）（D）B反思：求复合函数的单调区间分以下几步：①求函数的定义域；②把复合函数分解成两个简单函数；③求两个简单函数的单调区间；④利用复合函数的单调性规律（同增异减）求其单调区间．精讲精练变式：（1）函数的递增区间是（）（A）（B）（C）（D）（2）函数在[2.3]上为增函数，则实数a的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）BD精讲精练例6判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x2sinx（x∈R）;（2）；（3）．（1）奇函数（2）既是奇函数，又是偶函数（3）非奇非偶函数反思：（1）必须先判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误;（3）判断函数为非奇非偶函数，可以举一个反例．精讲精练变式：已知函数（，常数a为实数），试讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．a=0时，奇函数;

a≠0时，非奇非偶函数精讲精练例7（1）若函数f(x)=(x+1)(x-a)是偶函数，则实数a的值为（）（A）1（B）0（C）-1（D）±1（2）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)+1，则f(1)=（）（A）0（B）1（C）-0.5（D）0.5（3）已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)，那么当x<0时，f(x)等于（）（A）-x(1-x)（B）x(1-x)（C）-x(1+x)（D）x(1+x)ADB精讲精练例7（4）已知m为非零实数，若函数的图象关于原点成中心对称，则m=

．（5）如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[-7,-3]上是（）（A）增函数且最小值是-5（B）增函数且最大值是-5（C）减函数且最大值是-5（D）减函数且最小值是-5-2A精讲精练反思：（1）求函数在某个区间上的解析式，必须设x在该区间上，然后将其转化到某个已知函数表达式的区间上去，从而利用已知函数表达式并结合函数的奇偶性求解；（2）若y=f(x)为奇函数，且在x=0处有意义，则必有f(0)=0．（3）奇函数的图象关于原点对称，左右两边单调性相同；偶函数的图象关于y轴对称，左右两边单调性相异．精讲精练变式：（1）函数（x∈R），若f(a)=2，则f(-a)的值为（）（A）3（B）0（C）-1（D）-2（2）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b（为常数），则f(-1)=（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3（3）若函数f(x),g(x)都是奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5，则F(x)在(-∞,0)上有（）（A）最小值-5（B）最大值-5（C）最小值-1（D）最大值-1（4）函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1,2a]，则a=

，b=

．BAC0精讲精练例8已知函数f(x)满足：f(1)=0.25，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)（x,y∈

R），则f(2010)=

．反思：这类求值问题，一般都是研究规律，具有周期性．

精讲精练变式：（1）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)=（）（A）-1（B）1（C）-2（D）2（2）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f