【5套打包】郑州市初三九年级数学下(人教版)第二十八章-《锐角三角函数》单元测试卷(含答案)

人教新版九年级下学期单元测试卷：《锐角三角函数》一．选择题1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tanA＝（）A． B．1 C． D．2．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A． B．± C． D．04．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b） B．（﹣b﹣2c，2b） C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c） D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米 B．18.9米 C．32.6米 D．30.6米10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时二．填空题11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝37°，则BC的长为（注：tan∠B＝0.75，sin∠B＝0.6，cos∠B＝0.8）12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．14．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，则cosA＝．15．在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是．16．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有条．B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）17．如图，点A（t，2）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t＝18．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）三．解答题19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．20．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝．求cosA，sinB，tanB的值．22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．25．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．26．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．

参考答案一．选择题1．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则AC＝2x，∴tanA＝＝＝，故选：A．2．【解答】解：∵cosA＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sinA＜cosA，即sinA﹣cosA＜0．故选：B．3．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．5．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC＝＝2，∵∠CBH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠OAB＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，∵∠CHB＝∠AOB＝90°，∴△CBH∽△BAO，∴＝＝＝2，∴BH＝﹣2a，CH＝2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴＝，∴＝，∴FH＝2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b＝﹣2a，∴2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．7．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，故选：D．8．【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，∵AB2＝BC2+AC2，∴132＝（5k）2+（12k）2，∴k＝1，∴BC＝5m，故选：A．9．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF＝∠FDC＝30°，∴EF＝FH，∵∠BGF＝90°，∴EF＝FH＝10，∴DF＝20，∴DC＝DH+HC＝10+1.6≈18.9．故选：B．10．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，∴BD＝AB•cos60°＝AB＝6，AD＝AB•sin60°＝6，∴CD＝10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tanB＝，∴BC＝＝＝4．故答案为4．12．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．13．【解答】解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，则sinα＝，故答案为．14．【解答】解：如图，由tanB＝，得AC＝4k，BC＝3k，由勾股定理，得AB＝5k，cosA＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：∵在△ABC中，|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．故答案为：90°．16．【解答】解：A、由一个正多边形的一个外角为36°，得360÷36＝10，则这个多边形的对角线有＝35，B、由AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，得cosA＝≈0.667，A＝42.5故答案为：35，42.5°．17．【解答】解：过A作AB⊥x轴于B．∴sinα＝，∵sinα＝，∴＝，∵A（t，2），∴AB＝2，∴OA＝，∴t＝，故答案为：．18．【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．三．解答题（共8小题）19．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝．20．【解答】解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．则tanα＝，sinα＝，∵b＜c，∴＞，∴tanα＞sinα．21．【解答】解：∵sinA＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cosA＝＝，sinB＝cosA＝，tanB＝＝．22．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．23．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．24．【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C．∵tanα＝，OC＝6，∴PC＝8，即y＝8．（2）∵OP＝＝10．则sinα＝＝＝．25．【解答】解：连接BD，作OB⊥CD于点O，∵在直角三角形BCO中，∠BCD＝60°，AB长为4m，C为AB的中点，∴OC＝m，OB＝OC＝m，在直角三角形BOD中，设CD为x，OD＝DC﹣OC＝x﹣1，BD＝CD﹣0.5＝x﹣0.5，OB＝，可得：，解得：x＝3.75，答：CD的长为3.75m．26．【解答】解：过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，AB＝5，BF＝CE＝4．∴AF＝3．在Rt△CDE中，tanα＝＝i＝．∴∠α＝30°且DE＝＝4，∴AD＝AF+FE+ED＝3+4.5+4＝7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD为7.5+4．人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元检测卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元检测卷选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值(D)A．扩大为原来的5倍B．缩小为原来的eq\f(1,5)C．扩大为原来的10倍D．不变2.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为(B)A．3.5sin29°B．3.5cos29°C．3.5tan29°D．eq\f(3.5,cos29°)3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是(B)A．144cmB．180cmC．240cmD．360cm4.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是1:3（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是

（

A）

A.53米 B.103米 C.15米 D.5.在Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是(C)A．sinA＝eq\f(\r(3),2)B．tanA＝eq\f(1,2)C.cosA＝eq\f(\r(3),2)D．以上都不对6.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站观测得知AR的距离是6km，仰角∠ARL＝30°，又经过1s后火箭到达B点，此时测得仰角∠BRL＝45°，则这枚火箭从A到B的平均速度为(A)A．(3－3)km/sB．(3)km/sC．(3＋3)km/sD．3km/s7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为(B)A.eq\f(\r(15),4)B．eq\f(1,4)C.eq\f(\r(15),15)D．eq\f(4\r(17),17)8.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（A）A.2-π3 B.2-π69.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(A)A．B．C．D．10.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝eq\f(12,13)，则小车上升的高度是(B)A．5米B．6米C．6.5米D．12米11.用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)A．0.90B．0.72C．0.69D．0.6612.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB等于(C)A．B．C．D．2填空题13.如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________米．[答案]20eq\r(3)14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，则cos75°＝________．【答案】eq\f(\r(6)－\r(2),4)15.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm，那么，cosB＝________.[答案]eq\f(3,5)17.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】518.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sinB＝____________.【答案】解答题19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．

（1）求sina、cosa、tana的值；

（2）若∠B=∠CAD，求BD的长．

解：在Rt△ACD中，

∵AC=2，DC=1，

∴AD=AC2+CD2=5．

（1）sinα=CDAD=15=55，cosα=ACAD=25=255，tanα=CDAC=12；

（2）在Rt△ABC中，

tanB=ACBC，

即tanα=220.计算：sin45°＋cos230°＋2sin60°.【答案】解原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋.21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝2cm，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)(cm)，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,\r(5))＝人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝，你认为最确切的判断是()A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且cosA＝，sinB＝，则△ABC是()A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定3.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为()A．①②B．②③C．①②③D．①③4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80m的P和Q两点分别测定对岸一棵树R的位置，R在Q的正南方向，在P东偏南36°的方向，则河宽()A．80tan36°B．80tan54°C．D．80tan54°5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的有()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题6.在△ABC中，若|cosA|＋(1－tanB)2＝0，则△ABC的形状是________________．7.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sinB＝__________.8.如图，某山坡AB的坡角∠BAC＝30°，则该山坡AB的坡度为__________．9.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝12，那么AC＝__________.10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)三、解答题11.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．12.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)13.若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值．14.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．15.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．17.已知三角函数值，求锐角(精确到1″)．(1)已知sinα＝0.5018，求锐角α；(2)已知tanθ＝5，求锐角θ.18.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD＝2m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝60°，AB＝10m，求GH的长．(参考数据：tan37°≈0.75，≈1.732，结果精确到0.1m)

答案解析1.【答案】B【解析】∵tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝45°.又∵三角形内角和为180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是等腰直角三角形．故选B.2.【答案】B【解析】由∠A，∠B都是锐角，且cosA＝，sinB＝，得A＝B＝30°，C＝180°－A－B＝180°－30°－30°＝120°，故选B.3.【答案】D【解析】如图，连接BE，根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，∵∠AEB＝∠D＋∠DBE，∴∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin∠C＞sin∠D，故①正确；cos∠C＜cos∠D，故②错误；tan∠C＞tan∠D，故③正确，故选D.4.【答案】A【解析】∵R在P东偏南36°的方向，∴∠QPR＝36°，tan36°＝，∵PQ＝80，∴QR＝tan36°PQ＝80tan36°，故选A.5.【答案】D【解析】∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝BC，①sinA＝＝；②cosB＝＝；③tanA＝＝；④tanB＝＝，正确的有②③④，故选D.6.【答案】锐角三角形【解析】由题意得：cosA－＝0,1－tanB＝0，解得cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－60°－45°＝75°.∴△ABC是锐角三角形．7.【答案】【解析】过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝4，由勾股定理得AD＝＝3，∴sinB＝＝.8.【答案】【解析】根据坡度等于坡角的正切值即可得到结果．根据题意，得该山坡AB的坡度为tan30°＝.9.【答案】5【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝＝，BC＝12，∴AB＝13，∴AC＝＝5.10.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cosB＝cos60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tanA＝tan30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tanB＝tan60°＝，故④正确．故答案为②③④.11.【答案】解∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－，将代入方程，得4×2－m×－1＝0，解得m＝0，经检验－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，将代入方程得：4×()2－m×－1＝0，解得m＝0，经检验不是方程4x2－1＝0的根．综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°.【解析】分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．12.【答案】解不需要移栽，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，∵2＋3.66＝5.66＜6，∴不需要移栽．【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．13.【答案】解∵α，β为直角三角形的两个锐角，∴sinβ＝cos(90°－β)＝cosα＝.【解析】根据互余两角三角函数的关系进行解答．14.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，∵∠B＝60°，∠C＝75°，∴∠A＝45°，在△ADC中，AC＝3，∵sinA＝，∴AD＝sin45°×3＝3＝CD，在△BDC中，∠DCB＝30°，∵tan∠BCD＝，∴BD＝tan30°×3＝，∴AB＝＋3.【解析】过点C作CD⊥AB于点D，先根据三角形内角和定理计算出∠A＝45°，在Rt△ADC中，利用∠A的正弦可计算出CD，进而求得AD，然后在Rt△BDC中，利用∠B的余切可计算出BD，进而就可求得AB.15.【答案】解如图作CH⊥AD于H.设CH＝xkm，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan37°＝，∴AH＝＝，在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴＝，∵AC＝CB，∴AH＝HD，∴＝x＋5，∴x＝≈15，∴AE＝AH＋HE＝＋15≈35km，∴E处距离港口A有35km.【解析】如图作CH⊥AD于H.设CH＝xkm，在Rt△ACH中，可得AH＝＝，在Rt△CEH中，可得CH＝EH＝x，由CH∥BD，推出＝，由AC＝CB，推出AH＝HD，可得＝x＋5，求出x即可解决问题．16.【答案】解在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，∵tanB＝，∴b＝a×tanB＝5×tan60°＝5，由勾股定理，得c＝＝10.【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．17.【答案】解(1)∵sinα＝0.5018，∴α≈30.1191°.∴a≈30°7′9″；(2)∵tanθ＝5，∴θ＝78.6900°≈78°41′24″.【解析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．18.【答案】解延长CD交AH于点E，如图所示：根据题意得CE⊥AH，设DE＝xm，则CE＝(x＋2)m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝，tan60°＝，∴AE＝，BE＝，∵AE－BE＝AB，∴＝10，即－＝10，解得x≈5.8，∴DE＝5.8m，∴GH＝CE＝CD＋DE＝2m＋5.8m＝7.8m.答：GH的长为7.8m.【解析】首先构造直角三角形，设DE＝xm，则CE＝(x＋2)m，由三角函数得出AE和BE，由AE＝BE＝AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长．人教版九年级数学下册同步练习：第二十八章质量评估试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．tan45°的值为(B)A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)2．[2017·兰州]如图1，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于(C)A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D.eq\f(13,12)【解析】在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长度为120m，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于eq\f(50,120)＝eq\f(5,12).故选C.图1图23．[2018·益阳]如图2，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300m到达B点，则小刚上升了(A)A．300sinαm B．300cosαmC．300tanαmD.eq\f(300,tanα)m【解析】∵sinα＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝ABsinα＝300sinα(m)，故选A.4．如图3，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10m，坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(D)A．26m B．28mC．30m D．46m图3【解析】∵坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，∴AE＝1.5BE＝18(m)．又∵BC＝10m，∴AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(m)．故选D.5．关于x的一元二次方程x2－eq\r(2)x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(B)A．15° B．30°C．45° D．60°【解析】根据题意，得Δ＝b2－4ac＝2－4sinα＝0，解得sinα＝eq\f(1,2)，∴α＝30°.故选B.6．如图4，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3eq\r(2)m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长3eq\r(3)m，则鱼竿转过的角度是(C)A．60° B．45°C．15° D．30°【解析】∵在Rt△ABC中，sin∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3\r(2),6)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CAB＝45°.∵在Rt△AB′C′中，sin∠C′AB′＝eq\f(B′C′,AC′)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠C′AB′＝60°，∴∠C′AC＝60°－45°＝15°.故选C.图4图57．如图5，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(B)A．2eq\r(3)m B．2eq\r(6)mC．(2eq\r(3)－2)m D．(2eq\r(6)－2)m【解析】∵在Rt△ABD中，sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝4sin60°＝2eq\r(3)(m)，∵在Rt△ACD中，sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(2\r(3),sin45°)＝2eq\r(6)(m)．故选B.8．如图6，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(C)A.eq\f(1,3) B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(2\r(2),3)图6第8题答图【解析】如答图，作直径CD，∵在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，∴OD＝eq\r(CD2－OC2)＝4eq\r(2)，tan∠CDO＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(\r(2),4)，由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝eq\f(\r(2),4).故选C.9．[2018·凉山州]如图7，无人机在A处测得正前方河流两岸B，C的俯角分别为α＝70°，β＝40°，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为(A)A．h(tan50°－tan20°) B．h(tan50°＋tan20°)C．heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan70°)－\f(1,tan40°))) D．heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan70°)＋\f(1,tan40°)))图7第9题答图【解析】如答图，过A作AD⊥BC交CB延长线于点D，则Rt△ACD中，∠CAD＝50°，AD＝h，∴CD＝ADtan50°＝htan50°.又∵Rt△ABD中，∠BAD＝20°，可得BD＝AD·tan20°＝htan20°，∴CB＝CD－BD＝htan50°－htan20°＝h(tan50°－tan20°)．故选A.10．[2018春·沙坪坝区校级月考改编]如图8，某地有一处岩画，其高度从石岩F处开始一直竖直到山顶E处，为了测量岩画的高度，小明从山脚A处，沿坡度i＝0.75的斜坡上行65m到达C处，在C处测得山顶E处仰角为26.5°，再往正前方水平走15m到达D处，在D处测得岩画底端F处的俯角为42°，岩画底端F处距离山脚B处的距离是12m．A，B，C，D，E，F在同一平面内，A，B在同一水平线上，EB⊥AB，根据小明的测量数据，则岩画的高度EF为(精确到0.1m，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.9，tan26.5°≈0.5，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9)(AA．49.5m B．68.7mC．69.7m D．70.2m图8第10题答图【解析】如答图，作CN⊥AB于N，延长CD交BE于M.在Rt△ACN中，AC＝65m，CN∶AN＝0.75，∴CN＝39m，AN＝52m，∵四边形CNBM是矩形，∴CN＝BM＝39m，∵BF＝12m，∴FM＝27m，在Rt△DMF中，tan42°＝eq\f(FM,DM)，∴DM＝30m，在Rt△CEM中，∵CM＝CD＋DM＝45m，∴EM＝CM·tan26.5°＝22.5m，∴EF＝EM＋FM＝22.5＋27＝49.5m，故选A.二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为__eq\f(\r(3),2)__．图9【解析】∵AB＝2BC，∴AC＝eq\r(（2BC）2－BC2)＝eq\r(3)BC，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(3)BC,2BC)＝eq\f(\r(3),2).12．[2018·德州]如图10，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是__eq\f(\r(5),5)__．【解析】∵AC＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(5),5).图10图1113．[2017·黄石]如图11所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°；随后沿直线BC向前走了100m后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为__137__m．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)【解析】设AB＝xm，则BC＝xm．在Rt△ABD中，tan∠ADB＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(x,x＋100)＝eq\f(\r(3),3)，解得x≈137.14．[2017·天门]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图12，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12m，背水坡面CD＝12eq\r(3)m，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝eq\f(3,13)eq\r(3)，则CE的长为__8__m.图12第14题答图【解析】分别过A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，如答图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12m，∠B＝60°，∴sinB＝eq\f(AF,AB)，∴AF＝12×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，∴DG＝6eq\r(3).∵在Rt△DGC中，CD＝12eq\r(3)，DG＝6eq\r(3)m，∴GC＝eq\r(CD2－DG2)＝18.∵在Rt△DEG中，tanE＝eq\f(3,13)eq\r(3)，∴eq\f(6\r(3),GE)＝eq\f(3,13)eq\r(3)，解得GE＝26，∴CE＝GE－CG＝26－18＝8，即CE的长为8m.15．如图13，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝__eq\f(3,4)__．图1316．[2018·苏州]如图14，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5).将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则sin∠ACB′＝__eq\f(4,5)__．图14第16题答图【解析】如答图，过点B′作B′D⊥AC于D，由旋转可知：∠B′AB＝90°，AB′＝AB＝2eq\r(5)，∴∠AB′D＋∠B′AD＝∠B′AD＋∠CAB＝90°，∴∠AB′D＝∠CAB，∵AB＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，∴AC＝5，∴AD＝AB′sin∠AB′D＝AB′sin∠CAB＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2，∴CD＝5－2＝3，∴B′D＝eq\r(（2\r(5)）2－22)＝4，∴B′C＝5，∴sin∠ACB′＝eq\f(B′D,B′C)＝eq\f(4,5).三、解答题(共66分)17．(8分)计算：(1)人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数