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第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形课时3矩形的性质与判定的综合1.[2021安徽安庆期末]如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,且∠AOB=2∠OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.答案1.(1)证明:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠AOB=∠OAD+∠ADO=2∠OAD,∴∠OAD=∠ADO,∴OA=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
2.[2021广西河池期末]如图,平行四边形ABCD的两条对角线交于点O,△AOB是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若OE⊥BD交BC于点E,CE=2,求AD的长.答案2.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵△AOB是等边三角形,∴OA=OB=AB,∴OA=OC=OB=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∠ABC=90°.∵△AOB是等边三角形,∴∠ABO=60°,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠BOC=120°.∵BD⊥OE,∴∠BOE=90°,∴BE=2OE,∠EOC=30°,∴∠EOC=∠ECO,∴OE=CE,∴BE=2OE=2CE=4,∴AD=BC=BE+CE=6.3.[2020陕西宝鸡一中月考]如图,在△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6.点D在AB边上(不包括端点),DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,连接EF.(1)判断四边形DECF的形状,并说明理由;(2)线段EF的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由.答案3.解:(1)四边形DECF是矩形.理由如下:在△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,∴BC2+AC2=82+62=102=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠C=90°.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,∴四边形DECF是矩形.
4.[2021广东梅州期末]如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1cm/s,运动时间为ts,0≤t≤5.(1)AE=
cm,EF=
cm.(用含t的式子表示)
(2)若G,H分别是AB,DC的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.(3)在(2)的条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形.答案
(3)解:如图,连接GH.
由(2)知四边形EGFH是平行四边形.∵点G,H分别是矩形ABCD的边AB,DC的中点,∴GH=BC=4cm,∴当EF=GH=4cm时,四边形EGFH是矩形,分两种情况:①当0≤t≤2.5时,EF=(5-2t)cm,即5-2t=4,解得t=0.5.②当2
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