人教A版双曲线及其标准方程

观察与思考

也许同学们并没有注意到，在我们所生活的大千世界里，双曲线也时常出现在我们的周围，请同学们观察以下图片…2.2.1双曲线及其标准方程发电厂冷却塔的外形可口可乐的下半部玉枕的形状

再一次认识了双曲线之后，我们将开始深入学习数学上的双曲线.

首先来看看本节双曲线的知识结构：双曲线的定义双曲线的标准方程双曲线的简单几何性质

由该知识结构图可知，我们应首先学习双曲线的定义.

我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的轨迹是椭圆.那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？

如图2.3-1，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，会得到怎样的曲线呢？2.3-1

这条曲线是满足下面条件的集合：P={M||MF1|-|MF2|=常数}（左边）P={M||MF2|-|MF1|=常数}（右边）这两支曲线合起来叫做双曲线.FF1F2M2.3-1让学生掌握双曲线的定义和标准方程.让学生掌握标准方程的推导．

教学目标知识与能力培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.抓住与椭圆的异同，掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的联系与区别.注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法.过程与方法情感态度与价值观双曲线的定义.双曲线的标准方程．

在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．教学重难点

重点

难点

类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？回顾旧知：yxMF1F2Occ图2.2-1椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.MOF1F2xy

我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做两个焦点间距离叫做这两个定点叫做双曲线双曲线的焦点双曲线的焦距yxMF1F2Occ图2.2-1由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？回顾旧知：

类比椭圆，我们根据双曲线的集合特征，选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程.MOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.3-2

如右图建立直角坐标系xOy，使x轴经过两焦点F1，F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线.设M(x,y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），那么焦点F1，F2的坐标分别是(-c,0)，(c,0).又设点M与F1，F2得距离差的绝对值等于常数2a.MOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.3-2例1：由定义可知，双曲线就是集合P={M||MF1|-|MF2|=2a}.因为|MF1|=，|MF2|=，所以类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),两边同除以(c2-a2），得①MOF1F2xy(-c,0)(c,0)

由双曲线的定义可知2c>2a，即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，我们令c2-a2=b2，其中b>0，代入上式，得②MOF1F2xy(-c,0)(c,0)

从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都能满足方程②，以方程②的解(x,y)为坐标的点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为2a，即以该解为坐标的点都在双曲线上，由曲线与方程的关系可知，方程②是双曲线的方程我们把它叫做它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0)F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.双曲线的标准方程

类比焦点在y轴上的椭圆，如图2.3-3，双曲线的焦点分别是F1(0,-c)，F2(0,c)，a，b的意义同上，这时双曲线的标准方程式什么？

此时双曲线的方程是：这个方程也叫双曲线的标准方程.MF1F2Oxy

已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0)F2(5,0)，双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.例2：解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5，所以b2=52-32=16.因此，双曲线的标准方程：设动点P到两定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离分别为d1和d2∠F1PF2=2θ，且存在常数λ(0<λ<1)，使得d1d2sin2θ=λ.求出动点P的轨迹的曲线方程.yF1POF2Px例2：

解：在三角形PF1F2中，|F1F2|=24=d12+d22-2d1d2cos2θ(d1-d2)2+4d1d2sin2θ(d1-d2)2=4-4λ|d1-d2|2=4-4λ(小于2的常数)故动点P的轨迹C是以F1,F2为焦点，实轴长的双曲线.方程为.课堂小结MOF1F2xy

我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，两个焦点间距离叫做双曲线的焦距.这两个定点叫做双曲线的焦点，双曲线就是集合：P={M||MF1|-|MF2|=2a}.其中|MF1|-|MF2|=2a

，c2-a2=b2.双曲线的标准方程：焦点在x轴上：MOF1F2xy(-c,0)(c,0)MF1F2Oxy其中|MF1|-|MF2|=2a

，c2-a2=b2.双曲线的标准方程：焦点在y轴上：（a>b>0）（a>0,b>0）椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别椭圆双曲线|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=±2a

a>c>0a2-c2=b2(b>0)c>a>0c2-a2=b2(b>0)课堂练习B.A.C.D.1.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且,则（）B2.

以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A.B.C.D.A填空题1.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0)，一条渐近线的方程是则双曲线C的方程是___________解：设双曲线C的方程为由题设得:解得，所以双曲线C的方程为解：设双曲线方程为(a>0，b>0)由已知得a=，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1故双曲线C的方程为2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为，则双曲线C的方程是______________

解答题1.AB是双曲线x2－＝1上的两点，N(1,2)是线段AB的中点，则直线AB的方程为_______________解：依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2代入x2－＝1，整理得(2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0①记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝由N(1,2)是AB中点得(x1＋x2)＝1∴k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知AB的方程为y＝x＋1.2.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点，若动点M满足（其中O为坐标原点）求点M的轨迹方程.解：由条件知F1(-2,0),F2(2,0),A(x1,y1),B(x2,y2)设M(x,y)，则,

由得即于是AB的中点坐标为当AB不与x轴垂直时即因为A,B两点在双曲线上，所以

x12-x22=2,y12-y22=2两式相减得(x