直线的倾斜角与斜率倾斜角与斜率

第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率内容要求

1.理解直线的倾斜角的定义，掌握直线倾斜角的范围.2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.能利用斜率解决具体问题.3.掌握直线斜率和倾斜角之间的关系：k＝tanα(α≠90°).正方向自

主

预

习1.直线的倾斜角(1)定义：一条直线l与x轴相交，我们取x轴作为基准，x轴__________与直线l____________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.一条直线与x轴____________时，规定它的倾斜角为0°.(2)取值范围：_______________.向上方向平行或重合0°≤α<180°2.直线的斜率定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的__________叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝__________.取值范围当α＝0°时，________；当0°<α<90°时，________；当90°<α<180°时，_______；当α＝90°时，斜率________.3.斜率公式正切值tanαk＝0k>0k<0不存在即

时

自

测1.判断题(1)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.(

)(2)直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.(

)(3)直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α.(

)√×××提示(2)当α＝90°时，直线的斜率不存在.(3)当0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角.2.下图中α能表示直线l的倾斜角的是(

)A.① B.①② C.①③ D.②④解析结合直线l的倾斜角的概念可知①可以，选A.答案A3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(

)答案A4.过点P1(3，－1)和P2(4，2)的直线的斜率k＝________.答案3题型一直线的倾斜角【例1】

设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.答案D规律方法1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.【训练1】

一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(

) A.α B.180°－α C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α解析如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.答案D题型二直线的斜率【例2】

已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.规律方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决.【训练2】

已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率[课堂小结]1.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴

垂直于x轴

α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0k＞0不存在k＜0k的增减情况

k随α的增大而增大

k随α的增大而增大(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2