福建省福州市玉田中学高三数学理期末试题含解析

福建省福州市玉田中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y分别满足：（x﹣3）3+2016（x﹣3）=a，（2y﹣3）3+2016（2y﹣3）=﹣a，则x2+4y2+4x的最小值是(

)A．0 B．26 C．28 D．30参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造函数f（x）=x3+2016x，判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性的性质建立方程关系，可得x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设f（x）=x3+2016x，则f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，∵（x﹣3）3+2014（x﹣3）=a，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣a，∴（x﹣3）3+2014（x﹣3）=﹣[（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）]，即f（x﹣3）=﹣f（2y﹣3），即f（x﹣3）=f（3﹣2y），∵f（x）=x3+2016x为增函数，∴x﹣3=3﹣2y，即x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x得到z=x2+（6﹣x）2+4x=2x2﹣8x+36=2（x﹣2）2+28≥28，当且仅当x=2，y=2时取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了函数奇偶性和二次函数的单调性的应用，根据条件构造函数f（x）=x3+2016x，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．2.在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】利用分段函数，求出输出的y≥3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率．【解答】解：由题意，0≤x≤6，2x﹣1≥3，∴2≤x≤6；6＜x≤8，，无解，∴输出的y≥3的概率为=，故选B．3.参考答案：C略4.以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（

）

A．

B.

C.

D.

参考答案：B右焦点即圆心为，渐近线方程，为半径，选B5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为

（）

A．

B．高考资源网

C．

D．参考答案：B略6.若是上周期为5的奇函数，且满足，则(

)A

-1

B1

C-2

D2

参考答案：A7.已知集合，则(

)A． B． C． D．参考答案：C试题分析：,考点：集合的运算8.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则

（）A.

B.

C.

D参考答案：A略9.在△中，若，则△是(

)A.等边三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形参考答案：D由，得，得，得，得,故.故△是直角三角形.10.下面四个命题中真命题的是（

）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程＝0.4x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大.A.①④

B.②④

C.①③

D.②③参考答案：【知识点】命题及其关系A2D根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程y=0.4x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，故③为真命题；对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，故④为假命题；故真命题为：②③，【思路点拨】根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据回归系数的几何意义，可判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x>0，y>0，且=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围 。参考答案：12.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为、，则、的大小关系是_____________.(填，，之一)．参考答案：略13.已知函数（）的部分图象如上图所示，则的函数解析式为

．参考答案：略14.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为．参考答案：【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．【解答】解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立对应，显然：P（A）==，P（B）==，P（AB）=．P（B|A）===．故答案为：【点评】本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．15.在等比数列中，若是方程的两根，则的值是

.参考答案：16.已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则

▲

．参考答案：2略17.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下,2;,3;,4;,5;,4;,2.则样本在上的频率是

． 参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点 （Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD （Ⅱ）求证：BE∥平面PAD （Ⅲ）假定PA=AD=CD，求二面角E﹣BD﹣C的正切值． 参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD （Ⅱ）取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE∥AF，然后证明BE∥平面PAD （Ⅲ）连接AC，取AC中点O，连接EO．过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．说明∠EGO为所求二面角E﹣BD﹣C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E﹣BD﹣C的平面角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC， ∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD， ∵DC?面PDC， ∴平面PDC⊥平面PAD （Ⅱ）证明：取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点， ∴在△PDC中：EF∥=，∴EF∥=AB， ∴四边形ABEF为平行四边形， 即BE∥AF， ∵AF?面PAD且BE?面PAD， ∴BE∥平面PAD． （Ⅲ）解：连接AC，取AC中点O，连接EO． 在△PAC中：EO∥=， ∴EO⊥面ABC，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG． 由三垂线定理知：∠EGO为所求二面角E﹣BD﹣C的平面角， 设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a 连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点， 过B′作B′G′⊥DB交BD于G′． ∴= 在△EOG中：， 故：二面角E﹣BD﹣C的平面角的正切值为． 【点评】本题考查二倍角的平面角的求法，直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力． 19.已知函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜|x|+1；（Ⅱ）若对于x，y∈R，有|x﹣y﹣1|≤，|2y+1|≤，求证：f（x）＜1．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由条件|2x﹣1|＜|x|+1，分类讨论，求得x的范围．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜|x|+1，等价于|2x﹣1|＜|x|+1，x≤0，不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，即x＞0，不成立；0，不等式可化为﹣2x+1＜x+1，即x＞0，∴0＜x≤；x＞，不等式可化为2x﹣1＜x+1，即x＜2，∴＜x＜2；故不等式f（x）＜|x|+1的解集为（0，2）．（Ⅱ）∵|x﹣y﹣1|≤，|2y+1|≤，∴f（x）=|2x﹣1|=|2（x﹣y﹣1）+（2y+1）|≤|2（x﹣y﹣1）|+|（2y+1）|≤2?+＜1．20.已知函数（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值．参考答案：【考点】指数函数单调性的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）a=﹣1，因为∈（0，1），根据指数函数的单调性，得t=﹣x2﹣4x+3的减区间就是f（x）的增区间，增区间就是f（x）的减区间，由此结合二次函数的单调性，不难得出f（x）的单调区间；（2）根据题意，得t=ax2﹣4x+3在区间（﹣∞，）上是增函数，在区间（，+∞）上是减函数，从而得到a＞0且f（x）的最大值为f（）=3，解之得a=1．【解答】解：（1）a=﹣1，得，∵∈（0，1），t=﹣x2﹣4x+3的增区间为（﹣∞，﹣2），减区间为（﹣2，+∞）∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣2），增区间为（﹣2，+∞）；（2）∵f（x）有最大值，∈（0，1），函数t=ax2﹣4x+3有最小值﹣1，∴函数t=ax2﹣4x+3在区间（﹣∞，）上是减函数，在区间（，+∞）上是增函数由此可得，a＞0且f（）==3，得﹣+3=﹣1，解之得a=1综上所述，当f（x）有最大值3时，a的值为1【点评】本题给出指数型复合函数，讨论函数的单调区间并求函数的最值，着重考查了指数函数的单调性和二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．21.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,

AA=2,

E、E分别是棱AD、AA的中点.

（1）

设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；（2）

证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

参考答案：证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=2,

F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，,△ACF为等腰三角形，且所以AC⊥BC,

又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,

所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.

22.（本小题满分12分）如图，已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，点M是边BC上的动点，动点N满足