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江苏省镇江市扬中体育中学高三数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)=xlnx的图象上有A、B两点,其横坐标为x1,x2(0<x1<x2<1)且满足f(x1)=f(x2),若k=5(),且k为整数时,则k的值为()(参考数据:e≈2.72)A.1 B.2 C.3 D.4参考答案:C【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】推导出f′(x)=1+lnx,x>0,由f′(x)=0,得x=,由x1lnx1=x2lnx2,得0<x1<<x2<1,由由,,得到<,由此能求出k为整数时,k的值.【解答】解:∵f(x)=xlnx,∴f′(x)=1+lnx,x>0,由f′(x)=0,得x=,∵函数f(x)=xlnx的图象上有A、B两点,其横坐标为x1,x2(0<x1<x2<1)且满足f(x1)=f(x2),∴x1lnx1=x2lnx2,(0<x1<<x2<1),如图所示,由,,<+=,∵t=关于x1单调递减,0<x1<,∴<,∴5(+)<,∴k≤3.∴k为整数时,则k的值为3.故选:C.2.双曲线的实轴长是(A)2

(B)

(C)4

(D)4参考答案:C

本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质,属简单题.双曲线方程可变为,所以,.故选C.3.函数y=x2+ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.参考答案:A【考点】3O:函数的图象.【分析】先求出函数为偶函数,再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断.【解答】解:∵f(﹣x)=x2+ln|x|=f(x),∴y=f(x)为偶函数,∴y=f(x)的图象关于y轴对称,故排除B,C,当x→0时,y→﹣∞,故排除D,或者根据,当x>0时,y=x2+lnx为增函数,故排除D,故选:A【点评】本题考查了函数图象的识别,关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势,属于基础题.4.若是锐角,且,则的值等于A.

B.

C.

D.参考答案:A5.函数的值域为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A6.设在函数的图象上的点处的切线斜率为k,若,则函数的图像大致为参考答案:A,即切线斜率,则函数为奇函数,图象关于原点对称,排除B,C.当时,,排除D,选A.7.O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若,则△ABC是(

)A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形参考答案:B【考点】三角形的形状判断.【专题】计算题.【分析】设BC的中点为D,由条件可得?2=0,故⊥,故△ABC的BC边上的中线也是高线,△ABC是以BC为底边的等腰三角形.【解答】解:设BC的中点为D,∵,∴?(2﹣2)=0,∴?2=0,∴⊥,故△ABC的BC边上的中线也是高线.故△ABC是以BC为底边的等腰三角形,故选B.【点评】本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的条件,三角形形状的判定,得到△ABC的BC边上的中线也是高线,是将诶提的关键.8.已知圆上的点到直线的最短距离为,则b的值为(

)A.-2或2 B.2或C.-2或 D.或2参考答案:D【分析】由圆的方程求得圆心坐标和半径,根据圆上的点到直线的最短距离为,得出,利用点到直线的距离公式,列出方程,即可求解.【详解】由圆,可得圆心坐标为,半径,设圆心到直线的距离为,则,因为圆上的点到直线的最短距离为,所以,即,解得或,故选D.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中把圆上的点到直线的最短距离转化为,再利用点到直线的距离公式,列出方程求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及运算与求解能力,属于基础题.9.近年来.随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧,我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退,在当前形势下,很多二线城市开始了“抢人大战”,自2018年起,像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前,至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个。某二线城市与2018年初制定人才引进与落户新政(即放宽政策,以下简称新政):硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴,本科学历毕业生可以直接落户,专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户。高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户。新政执行一年,2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍,为了深入了解新增落户人口结构及变化情况,相关部门统计了该市新政执行前一年(即2017年)与新政执行一年(即2018年)新增落户人口学历构成比例,得到如下饼图:

则下面结论中错误的是(

)A.新政实施后,新增落户人员中本科生已经超过半数B.新政实施后,高中及以下学历人员新增落户人口减少C.新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D.新政对专科生在该市落实起到了积极的影响参考答案:B【分析】通过分析两个饼图中各个学历人数的变化情况,得出正确选项.【详解】设2017人数为,则2018年人数为,根据两个饼图可知:年份高中及以下专科本科硕士及以上20172018

由表格可知,高中及以下的人增加了,故B选项判断错误.故本小题选B.10.已知抛物线的方程为y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若S△AOF=3S△BOF(O为坐标原点),则|AB|=()A.B.C.D.4参考答案:A考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角,利用S△AOF=3S△BOF,求得yA=﹣3yB,设出直线AB的方,与抛物线方程联立消去x,利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB,进而求得利用+,求得m,最后利用斜率和A,B的坐标求得|AB|.解答:解:设直线的AB的倾斜角为锐角,∵S△AOF=3S△BOF,∴yA=﹣3yB,∴设AB的方程为x=my+1,与y2=4x联立消去x得,y2﹣4my﹣4=0,∴yA+yB=4m,yAyB=﹣4.∴+==﹣2==﹣3﹣,∴m2=,∴|AB|=?=.故选:A.点评:本题主要考查了抛物线的概念和性质,直线和抛物线的综合问题.要注意解题中出了常规的联立方程,用一元二次方程根与系数的关系表示外,还可考虑运用某些几何性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的定义域和值域都是[-1,0],则

.参考答案:412.已知数列的前项和为,且,则=

.参考答案:413.(几何证明选讲选做题)在平行四边形中,点在线段上,且,连接,与相交于点,若△的面积为cm,则△的面积为

cm.参考答案:14.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为▲

.参考答案:(-1,+∞)略15.已知函数的图象关于对称,则a的值为

参考答案:4略16.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有

个.参考答案:40六个数中任取3个数共有种情况,每一种情况下将最大的一个数放在中间,又可以组成两个不同的三位数,所以符合“伞数”的情况共有种17.已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B,O是坐标原点,,那么实数m的取值范围是

.参考答案:【考点】直线与圆相交的性质.【专题】计算题.【分析】根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径,根据,利用平行四边形法则推断出和的夹角为锐角,利用直线的斜率可推断出其与x轴的夹角,看当和的夹角为直角时求得原点到直线的距离,进而可推断出d>1,最后综合可得d范围,然后过原点作一直线与x+y+m=0垂直,两直线交点可得,进而求得d和m的关系,进而根据d的范围求得m的范围.【解答】解:∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B,∴O点到直线x+y+m=0的距离d<,又∵,由平行四边形可知,夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短,∴和的夹角为锐角.又∵直线x+y+m=0的斜率为﹣1,即直线与x的负半轴的夹角为45度,当和的夹角为直角时,直线与圆交于(﹣,0)、(0,﹣),此时原点与直线的距离为1,故d>1综合可知1≤d<,过原点作一直线与x+y+m=0垂直,即y=x,两直线交点为(﹣,﹣),则d=|m|综上有:﹣2<m≤﹣或≤m<2故答案为:【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质,向量的几何意义等.考查了学生分析问题和解决问题的能力.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=sin2x﹣2cos2x﹣1,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值;(Ⅱ)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=,f(C)=0,sinB=2sinA,求a,b的值.参考答案:考点:余弦定理;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.专题:解三角形.分析:(Ⅰ)f(x)解析式利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式求出函数f(x)的最小正周期,利用正弦函数的值域确定出f(x)最小值即可;(Ⅱ)由f(C)=0及第一问化简得到的解析式,求出C的度数,利用正弦定理化简sinB=2sinA,得到b=2a,利用余弦定理列出关系式,把c,b=2a,cosC的值代入即可求出a与b的值.解答:解:(Ⅰ)f(x)=sin2x﹣(cos2x+1)﹣1=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin(2x﹣)﹣2,∵ω=2,﹣1≤sin(2x﹣)≤1,∴f(x)的最小正周期T=π;最小值为﹣4;(Ⅱ)∵f(C)=2sin(2C﹣)﹣2=0,∴sin(2C﹣)=1,∵C∈(0,π),∴2C﹣∈(﹣,),∴2C﹣=,即C=,将sinB=2sinA,利用正弦定理化简得:b=2a,由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2,把c=代入得:a=1,b=2.点评:此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.19.设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.参考答案:Ⅰ)当时,,

令,得,

当变化时,的变化如下表:极大值极小值

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.Ⅱ),令,得,,

令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,;当时,;所以

令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.

因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.略20.已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中a>0).(I)当a=4时,求不等式的解集;(II)若不等式有解,求实数a的取值范围.参考答案:(1)当a=4时,log2a=2,①当x<-时,-x-2≤2,得-4≤x<-;②当-≤x≤1时,3x≤2,得-≤x≤;③当x>1时,此时x不存在.所以不等式的解集为{x|-4≤x≤}.(2)设f(x)=|2x+1|-|x-1|=由f(x)的图象知f(x)≥-,∴f(x)min=-.∴log2a≥-,∴a≥.所以实数a的取值范围是[,+∞).21.(本题满分14分)已知数列满足,且,为的前项和.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)如果对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.参考答案:(Ⅰ);(Ⅱ).试题分析:(Ⅰ)根据已知条件变形可得,根据等比数列的定义可知数列为等比数列.从而可得.(Ⅱ)根据等比数列的前项和先求.再将变形恒成立.令,讨论的单调性求其最大值.只需即可.试题解析:解:(I)由题意得则成等比数列,首项为,公比为

………4分故

…………6分考点:1构造法求数列的通项公式;2等比数列的前项和.22.如图6所示,F1、F2为椭圆C:+=1(b0)的左、右焦点,D、E分别是椭圆C的右顶点和上顶点,椭圆的离心率e=,=1-.若点M(x0,y0)在椭圆C上,则点N(,)称为点M的一个“椭点”,直线l与椭圆交于A、B两点,A、B两点的“椭点”分别为P、Q,已知以PQ为直径的圆过坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)问是否存在过左焦点F1的直线l,使得以PQ为直径的圆过坐标原点?若存在,求出该直线的方程,若不存在,请说明理由.

参考答案:解:(I)e==

c=a,b=aSDEF2

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