2023年北京市西城区初三二模数学

北京市西城区2023年九年级模拟测试

数学试卷2023.5

1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，总分值100分，考试时间120分钟。

考2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和学号。

生3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题（此题共16分，每题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项与事■一个.

1.如下图，a//b,直线。与直线b之间的距离是

A.线段胡的长度B.线段的长度

C.线段PC的长度D.线段的长度

2.将某不等式组的解集-13表示在数轴上，以下表示正确的是

3.以下运算中，正确的是

A.X2+5X2=6X*4B5.x3-x2=x6C.(x2)3=x6D.(xy)3=xy3

4.以下实数中，在2和3之间的是

A.兀B.五一2c.^25D.^28

5.一副直角三角板如图放置，其中NC=/L>FE=90。，ZA

=45°,/E=60。，点尸在CB的延长线上.假设£>E〃CF,

那么NBDF等于

CB

A.35°B.30°

C.25°D.15°

网中由左向行依次为IN杆、水戊仪、限慑

6.中国古代在利用“计里画方"（比例缩放和直角坐

标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、

水准仪和照板来测量距离.在如下图的测量距

离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.

观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水

平线上，那么以下结论中，正确的是

AEFCF「EFCF

ABFBABCB

cCECFCECF

CAFBEACB

7.在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下:

选手12345678910

时间(min)129136140145146148154158165175

由此所得的以下推断不正顿的是

A.这组样本数据的平均数超过130

B.这组样本数据的中位数是147

C.在这次比赛中，估计成绩为130min的选手的成绩会比平均成绩差

D.在这次比赛中，估计成绩为142min的选手，会比一半以上的选手成绩要好

8.如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20

m/s

和v(m/s),起初甲车在乙车前a(m)处，两车同时出发，当乙

车追上甲车时，两车都停止行驶.设x(s)后两车相距y(m),

y

与x的函数关系如图2所示.有以下结论：

①图1中a的值为500；

②乙车的速度为35m/s；

③图1中线段EF应表示为500+5X；

④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100.

其中所有的正确结论是

A.①④B.②③

C.①②④D.①③④

二、填空题(此题共16分，每题2分)

9.如果/=有意义，那么x的取值范围是.

10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差异.从袋子中随机摸出一个

球，摸出蓝色球的概率为.

11.如图，等边三角形ABC内接于。。，假设。。的半径为2,那么图中

阴影局部的面积等于.

12.某校''百变魔方"社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”

大赛，准备购置A,B两款魔方.社长发现假设购置2个A款魔方和6个

B款魔方共需170元，购置3个A款魔方和购置8个B款魔方所需费

A款B款

用相同.求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为X元，B款魔方的单

价为y元，依题意可列方程组为.

13.如图，在矩形ABC。中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH.假设48=8,

AD=6,那么四边形EFG”的周长等于.

14.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=3(x+2『-1平移后得到抛物线y=3/+2.

请你写出一种平移方法.答：.

15.如图，A8为。。的直径，AC与。。相切于点4,弦BD//OC.

假设NC=36。，那么/OOC=。.

16.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy

中，矩形ABCO的边AB在x轴上，A(—3,0),8(4,0),边AO长

为5.现固定边48,“推”矩形使点。落在y轴的正半轴上(落点

记为。)，相应地，点C的对应点C'的坐标为.

三、解答题(此题共68分，第17~21题每题5分，第22、23题每题6分，第24题5分，第25、26题每

题6分，第27、28题每题7分)

17.计算：6cos60°-V27+(7t-2)°-|V3-2|.

18.解方程：上+—L=3.

x—22-x

19.如图，在四边形ABCO中，E为A8的中点，于点£,

ZA=66°,ZABC=90°,BC=ADf求NC的度数.

口C

20.先化简，再求值：(「嗔卜丁；：；+9,其中x=—5./

21.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLAB于点。，BEJ_AB于点B,/|_」BE=CD,

连接CE,DE.

(1)求证：四边形CQ8E为矩形；

(2)假设AC=2,tanZACD=-,求OE的长.

2

22.阅读以下材料：

材料一:

E

早在2023年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2023年全年网络售票仅占

1.68%.2023年至2023年，全年网络售票占比都在2%左右.2023年全年网络售票占17.33%,2023年全年

网络售票占比增长至41.14%.2023年8月实现网络售票占比77%.2023年10月2日，首次实现全部网上售

票.与此同时，网络购票也采用了“人性化〃的效劳方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单效劳.实

现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程方案，获得

更美好的文化空间和参观体脸.

材料二：

以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2023-2023年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.

年度20232023202320232023

参观人数(人次)74500007630000729000075500008060000

年增长率(%)38.72.4-4.53.66.8

他还注意到了如下的一那么新闻：2023年3月

8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸

质门票，观众持身份证预约即可参观.国博正在建中国国家博物馆

设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担忧的是：参观累

“虽然有故宫兔〔纸质〕票的经验在前，但对于国博

来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上

■•・AS”・•«•・•・★・

付费购置门票，他遵守预约的程度是不一样的.但

〔国博〕免费就有可能约了不来，挤占资源，所以

难度其实不一样尽管如此，国博仍将积极采取技术和效劳升级，希望带给观众一个更完美的体脸方式.

根据以上信息解决以下问题：

(1)补全以下两个统计图；

(2)请你预估2023年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y='(x<0)的图象经过点A(-4,〃)，A8J_x轴于点点

X

C与点A关于原点。对称，轴于点D,AABD的面积为8.

(1)求tn,n的值;

(2)假设直线旷=区+力(W0)经过点C,且与x轴，y轴的交点分别为点E,F,当CF=2CE时,

求点尸的坐标.

24.如图，AB是。。的直径，C是圆上一点，弦

且DC=AD.过点A作。。的切线，过点C

两直线交于点F,FC的延长线交AB的延长

(1)求证：FG与。0相切；

(2)连接EF,求tanN£FC的值.

25.阅读下面材料：

:如图，在正方形ABCQ中，边A3=q.

按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，

并且一个比一个小.

请解决以下问题：

(1)完成表格中的填空：

①；②；

(3);④；

(2)根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CH/J(不要求尺规作图).

26.抛物线例：丫=双2-4"+。一1(ar。)与x轴交于A,B两点(点4在点8左侧)，抛物线的顶点为D

(1)抛物线M的对称轴是直线；

(2)当AB=2时，求抛物线M的函数表达式；

(3)在(2)的条件下，直线/：y=^+6(kW0)经过抛物线的顶点。，直线y=〃与抛物线M有两个

公共点，它们的横坐标分别记为为，X],直线y=〃与直线/的交点的横坐标记为(七>0),

假设当一2W“W—1时，总有-々>0,请结合函数的图象，直接写出左的取值范围.

27.如图1,在等边三角形ABC中，CO为中线，点Q在线段C。上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，，

使得点A的对应点E落在射线BC上连接BQ,设ZD40=a(0°<a<60°Ka^30°).

(1)当(TVaV30。时,

①在图1中依题意画出图形，并求/BQE(用含a的式子表示)；

②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系，并加以证明；

(2)当3(T<a<60。时，直接写出线段CE,4C,CQ之间的数量关系.

图1备用图

28.对于平面直角坐标系xOy中的点

Q(x,y)(#0),将它的纵坐标y与横坐标

x的比上称为点。的“理想值”，记作.如。(-1,2)的“理想值"儿=2=-2.

X-1

(1)①假设点Q(l,a)在直线y=x-4上，那么点Q的“理想值〃等于；

②如图，C(瓜I),0c的半径为1.假设点Q在。C上，那么点。的“理想值”"的取值范围

是.

(2)点。在直线y=-^x+3上，。。的半径为1,点Q在。。上运动时都有OWL。〈石，求点。

的横坐标X"的取值范围；

(3)M(2,机)(w>0),。是以，•为半径的。M上任意一点，当0WL°W2及时，画出满足条件的最

大圆，并直接写出相应的半径r的值.(要求画图位置准确，但不必尺规作图)

北京市西城区2023年九年级模拟测试

数学试卷答案及评分标准2023.5

选择题(此题共16分，每题2分)

题号12345678

答案ABCCDBCA

二、填空题(此题共16分，每题2分)

-342x+6y=170,

9.xW2.10.11.-K.12J,13.20.

8313x=8y.

14.答案不唯一，例如，将抛物线y=3(x+2)2-1先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到

抛物线y=3f+2.

15.54.16.(7,4).

三、解答题(此题共68分，第17~21题每题5分，第22、23题每题6分，第24题5分，第25、26题每

题6分，第27、28题每题7分)

17.解：6cos60°-V27+(7t-2)°-1V3-2|

=6xl-3^+l-(2-^)

2.......................................................................................4分

=2-2y/31.........................................................................................................................5分

X]

18.解方程：3+—!—=3.

x—22—x

解：去分母，Wx-l=3(x-2)........................................................................................1分

去括号，得工一1=3*—6・.......................................................................................2分

移项，得3x—x=6—1.

合并同类项，得2x=5・...........................................................................................3分

系数化为1,得x=*................................................................................................4分

2

,/ZA=66°,

・•・Zl=66°.2分

YNABC=90。，

・•・Z2=ZABC-Z1=24°.3分

图1

,:AD=BC,

:.BD=BC.4分

：.ZC=Z3.

“=国产8。

5分

x2—6x+9

20.解:1-

x+2x+2

x-3x+2

----------X---------------3分

x+2(x-3)2?

1

分

=x^3'4

1

当x=-5口寸，原式=8-5分

21.(1)证明：如图2.

CD_L4B于点于点8,

•-•ZCDA=ZDBE=90°•

工CD//BE.1分

又•・・BE=CD,

图2

・・・四边形为平行四边形.2分

又・.・ZDBE=90。,

・・・四边形CO8E为矩形.3分

(2)解：:四边形CQ8E为矩形,

DE=BC.4分

,/在RlZVLBC中，ZACB=90°,CDLAB,

可得NACD=N1.

■:tanZAC£>=-

2

/.tanZ1=tanZACD=—

2

在RtZvlBC中，ZAC3=90°,4c=2,tanZl=-,

2

，BC=-^-=4.

tanZ1

DE=BC=4.5分

22.解：⑴补全统计图如图3.

参观人数I2013-2017年度中国国家博物馆增长率

比例㈣2011-2017年北京故宫网络售票占比统计图(人次)参观人数及年增长率统计图(%)

1208200000

806000045

(100)40

1008000000

35

(77)30

807800000

763000025

76000007550000

60745000020

15

41.1474000007290000

406.810

72000005

(17.33)0

20月月7000000

810-5

Lg8g2底底

0-2f2017丽7°

2011201220132014201520162017时间2013201420152016

年底年底年底年底年底年底

图3

4分

(2)答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可...................6分

23.解：⑴如图4.

,/点A的坐标为A(T,〃)，点C与点A关于原点。对称,

.•.点C的坐标为C(4,-“).

AB_Lx轴于点8,COLx轴于点

B,。两点的坐标分别为3(T,0),£>(4,0).

△ABD的面积为8,S.OTJ——ABxBD=—x(―〃)x8=-4/?,

22

-4n=8.

解得〃=-2................................................2分

V函数y='(x＜0)的图象经过点A(T,〃)，

x

m—-4n=8............................................3分

(2)由(1)得点C的坐标为C(4,2).

①如图4,当左＜0时，设直线y=丘+力与x轴，

y轴的交点分别为点g，

由CC_Lx轴于点。可得CD〃。耳.

△E,CD^AEtFtO.

.DCE、C

•,西=丽，

•/CF、=2CEi，

图4

DC1

酝一3

OF}=3DC=6.

二点6的坐标为耳(0,6).

②如图5,当左＞0时，设直线)=依+力与x轴，y轴的交点分别为

点E2,F2.

同理可得8〃0居，一:二，二.

OF2E2F2

・・,CF2=2CE2,

・,・E2为线段的中点，E2C=E2F2.

・OF2=DC=2

点用的坐标为玛(0,-2).................6分

综上所述，点尸的坐标为片(0,6),6(0,-2).图5

24.(1)证明：如图6,连接OC,AC.

A8是。。的直径，弦C£>J_AB于点E,

:.CE=DE,AD=AC.

,:DC=AD,

：.DC=AD=AC.

・・・△ACO为等边三角形.

ZD=ZDCA=Z£>AC=60°.

・•・Zl=-ZDC4=30°.

2

■:FG//DA,

图6

JNDCF+N£>=180。.

・•・ZDCF=180°-Z£)=120°.

，ZOCF=ZDCF-Zl=90°.

:.FGLOC.

：.FG与。O相切.3分

（2）解：如图6,作尸G于点H.

设CE=a,那么DE=a,AD=2a.

,：A/与O。相切,

AFVAG.

XVDCVAG,

可得A尸〃。C.

又：FG//DA,

：.四边形AFC。为平行四边形.

,/DC=AD,AD=2a,

，四边形AFCO为菱形.

，AF=FC=AD=2a,NAFC=N£>=60。.

EH=CEsin600=—aCH=CE-cos600=-a

由（1）得NOCG=60。，2,2

FH=CH+CF=）a

2

在RtZ\EFH中，NEHF=90°,

百

,/口”EH3"V3

tanZ.EFC=----=——=——

FH—5a5

：.2.....................................................5分

25.解：(1)①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等..............1分

②（应-1）《..............2分

③（无一I）%...........................3分

④（夜-1尸4.......................4分

(2)所画正方形C"〃见图7.

6分

26.解：如图8.

图7

(1)x=2.............................................1分

(2)V抛物线旷=以2-4双+“-1的对称轴为直线工;？，抛物线“与x轴的

交点为点A,B(点A在点B左侧)，AB=2,

A,B两点的坐标分别为A(1,O),8(3,0)..................................................2分

•点4在抛物线M上，

/.将A(l,0)的坐标代入抛物线的函数表达式，得a—4"+〃一1=0.

解得a=一■-.....................................................3分

2

y=--X2+2X--

・•・抛物线M的函数表达式为224分

⑶“4

27.解：⑴当0°<a<30°时,

①画出的图形如图

示.•............1分

「△ABC为等边三角形,

/4BC=60°.

1/CD为等边三角形的中线,

。为线段上的点,

由等边三角形的对称性得QA=QB.

ZDAQ=a,

・•・ZABQ=ZDAQ=a9ZQBE=60°-a.

图9

•；线段QE为线段QA绕点。顺时针旋转所得，

，QE=QA.

QB=QE.

可得ZBQE=180°-2ZQBE=180°-2<60°-«)=60°+2«..........2分

@CE+AC=y/3CQ................................................................................3分

证法一：如图10,延长C4到点凡使得AF=CE,连接QF,作QHLAC于点H.

,?ZBQE=600+2a,点E在BC上,

ZQEC=ZBQE+ZQBE=(60°+2a)+(60°-a)=120°+«.

♦.•点尸在C4的延长线上，ZDAQ=a,

：.ZQAF=ZBAF+ZDAQ^\20°+a.

，NQAF=NQEC.

又：AF=CE,QA=QE,

，/\QAF^/\QEC.

:.QF^QC.

:Q〃J_AC于点”，

，FH=CH,CF=2CH.

,：在等边三角形ABC中，C£＞为中线,

点。在CD上,

-ZACB

：.ZACQ=2=30°,图10

B|JAgCF为底角为30。的等腰三角形.

CH=CQ-cosZHCQ=CQ-cos30°=^~-CQ

:.CE+AC=AF+AC=CF=2CH=>/3CQ

即CE+AC=gCQ.6分

思路二：如图11,延长CB到点G,使得BG=CE,连接QG,可得

4QBG94QEC,ZXQCG为底角为30。的等腰三角形，与证法一

同理可得CE+AC=BG+