分层随机抽样获取数据的途径

9.1.2

分层随机抽样

9.1.3

获取数据的途径课标阐释思维脉络1.了解分层随机抽样的概念.(数学抽象)2.掌握分层随机抽样的一般步骤和相关的数据计算.(数学运算)3.理解简单随机抽样与分层随机抽样的异同.(逻辑推理)4.了解数据获取的基本途径.(数学抽象)激趣诱思知识点拨盲人摸象是一个很有名的典故,讲的是有四个盲人很想知道大象是什么样子,于是四个人就去摸大象.在庞大的大象面前,每个人只摸了自己前面的一部分,由于摸的部位不同,每个人都得出了与别人不同的结论,也就分别得到了对大象的四种形象.四个人争得面红耳赤,不可开交,这时一个过路人给他们指点了一下,要他们每个人按一定的间隔从左到右、从上到下去摸大象,结果每个人都得到了对大象正确的形象,你知道这是一种什么方法吗?激趣诱思知识点拨知识点一、分层随机抽样1.分层随机抽样的定义一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.激趣诱思知识点拨2.分层随机抽样中重要的关系式在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n.我们用X1,X2,…,XM表示第1层各个个体的变量值,用x1,x2,…,xm表示第1层样本的各个个体的变量值;用Y1,Y2,…,YN表示第2层各个个体的变量值,用y1,y2,…,yn表示第2层样本的各个个体的变量值,则第1层的总体平均数和样本平均数分别为激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨微思考

某地区有高中生2400人,初中生10900人,小学生11000人.当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因,要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查,为了抽样方便,能不能只从小学生或初中生或高中生中抽取中小学生总数的1%?你认为应当怎样获取样本才更为合理?提示:不能,因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异,为了使样本具有较好的代表性,应该分高中、初中、小学三个层次按人数比例进行分层随机抽样.激趣诱思知识点拨微练习(1)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是

.

答案:分层随机抽样

激趣诱思知识点拨(2)某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为

、

、

.

答案:15

10

20激趣诱思知识点拨知识点二、获取数据的途径获取数据的途径激趣诱思知识点拨微思考

下图是国家对某沙漠地区植树面积计划的统计图.(1)图中的树高表示什么?从图中能获得哪些信息?(2)各年份约种树多少万亩?(3)若每人每年平均植树10亩,在各时间段需要多少人?激趣诱思知识点拨提示:(1)树高表示植树亩数,从图上看,植树面积一年比一年多.(2)2015年种树约50万亩,2016年种树约75万亩,2017年种树约100万亩,2018年种树约150万亩,2019年种树约200万亩.(3)2015年需5万人,2016年需7.5万人,2017年需10万人,2018年需15万人,2019年需20万人.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分层随机抽样的概念例1某校有1700名高一学生,1400名高二学生,1100名高三学生.高一数学兴趣小组欲采用分层随机抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查,则下列说法正确的是(

)A.高一学生被抽到的可能性最大B.高三学生被抽到的可能性最大C.高三学生被抽到的可能性最小D.每名学生被抽到的可能性相等解析:在分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性相等.故每名学生被抽到的可能性相等,故选D.答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测例2(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查;(2)某社区有1200户家庭,其中高收入家庭420户,中等收入家庭470户,低收入家庭310户,为了调查该社区购买力的某项指标,要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本.上述问题中,各自宜采用什么抽样方法?分析抽样方法的确定要依据总体的构成、总体的容量以及样本容量等综合考虑,把握住各种抽样方法的特征是解决此类问题的关键.解:(1)采用抽签法,因为总体容量较小,宜采用抽签法.(2)采用分层随机抽样,因为购买力与收入有关,社区中家庭收入层次明显,宜采用分层随机抽样.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则(1)前提:分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.(2)遵循的两个原则:①将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;②分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本量与每层的大小成比例.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1某校高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康状况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是(

)A.简单随机抽样

B.抽签法C.随机数法

D.分层随机抽样解析:从男生500人中任意抽取25人,从女生400人中任意抽取20人,每层的样本量与层的大小成比例,因此用的是分层随机抽样.答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2为了保证分层随机抽样时,每个个体等可能地被抽取,必须要求(

)A.每层的个体数必须一样多B.每层抽取的个体数相等C.每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足ni=n·(i=1,2,…,k),其中k是层数,n是样本容量,Ni是第i层所包含的个体数,N是总体容量D.只要抽取的样本量一定,每层抽取的个体数没有限制解析:每层的个体数不一定都一样多,故A错误;由于每层的容量不一定相等,每层抽同样多的个体,从总体来看,各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了,故B错误;对于第i层的每个个体,它被抽到的可能性与层数i无关,即对于每个个体来说,被抽入样本的可能性是相同的,故C正确;每层抽取的个体数是有限制的,故D错误.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测分层随机抽样中的相关计算问题例3交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(

)A.101 B.808 C.1212 D.2012答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究

若将本例中“甲社区有驾驶员96人”改为“甲、乙社区驾驶员共99人”,则N的值是什么?探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3一个单位有职工800人,其中具有高级职称的有160人,具有中级职称的有320人,具有初级职称的有200人,其他人员有120人.为了解职工收入情况,决定采用分层随机抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是(

)A.12,24,15,9 B.9,12,12,7C.8,15,12,5 D.8,16,10,6解析:由题意知有各种职称的人数和其他人员的人数之比为160∶320∶200∶120=4∶8∶5∶3,所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测数据的获取与调查方案的设计例4为调查小区平均每户居民的月用水量,下面是三名学生设计的方案:学生甲:我把这张《月用水量调查表》放在互联网上,只要是上网登录该网站的人就可以看到这张表,他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中.这样,就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量.学生乙:我给我们居民小区的每一个住户发一张《月用水量调查表》,只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量.学生丙:我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码,然后逐个给这些住户打电话,问一下他们的月用水量,然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量.请你分析上述三名学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗?为什么?你有何建议?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:学生甲的方法得到的样本不能够反映不上网的居民的情况,它是一种方便样本,所得到的样本代表性差,不能准确地获得平均每户居民的月用水量.学生乙的方法实际上是普查,花费的人力、物力更多一些,但是如果统计过程不出错,可以准确地得到平均每户居民的月用水量.学生丙的方法是随机抽样.如果该小区的每户居民都装有电话,建议用随机抽样方法获得数据,即用学生丙的方法,既节省人力、物力,又可以得到比较精确的结果.反思感悟

分析各个方案是否合理,要从各方案中所得的样本是否具有代表性及获取样本的工作量大小两个方面来考虑.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分层随机抽样中对于不能整除的实际问题的方案设计典例1某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人.为了调查他们的身体状况,从他们中抽取容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是(

)A.抽签法B.随机数表法C.先从老年人中剔除1人,再用分层随机抽样D.以上三种方法均合适探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例2某电视台在网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12000,其中持各种态度的人数如下表所示:电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中再抽取60人进行更为详细的调查,应怎样进行抽样?很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛

(1)设计抽样方法时,最核心的问题是要考虑如何使抽取的样本具有较好的代表性,因此在设计抽样方法时,要充分利用对总体情况的已有了解.对于具有明显层次的总体,分层随机抽样充分保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性.在各层抽样时,可灵活地选用不同的抽样方法,并且注意当不能整除时,要么先进行剔除个别个体,要么进行近似计算.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)分层随机抽样实施的五个步骤:①将总体按一定标准进行分层;④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样);⑤最后将每一层抽取的样本汇总成总样本.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为3∶4∶7,现在用分层随机抽样的方法抽出容量为n的样本,样本中A型号产品有15件,则样本容量n为(

)A.50 B.60 C.70 D.80解析:由分层随机抽样方法得

×n=15.解得n=70.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.某学校的教师配置及比例如图所示,为了调查各类教师的薪资状况,现采用分层随机抽样的方法抽取部分教师进行调查.在抽取的样本中,青年教师有30人,则该样本中的老年教师人数为(

)A.10 B.12 C.18 D.20解析:设该样本中的老年教师人数为x,由分层随机抽样的特点得

,解得x=12.故选B.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.某学校有老师100人,男学生600人,女学生500人,现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本,已知女学生一共抽取了40人,则n的