2024届一轮复习数学新材人教A版 第三章 一元函数的导数及其应用 3-2　导数与函数的单调性 学案

§3.2导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上____________f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上____________f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是____________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的____________；第2步，求出导数f′(x)的________；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．()(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．()(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数．()教材改编题1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)3．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))，f(1)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的大小关系为________．(用“<”连接)题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝eq\f(3lnx,2)＋eq\f(9,2x)＋x的单调递减区间为________________．(2)若函数f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，则函数f(x)的单调递增区间为________________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x－lnx－eq\f(ex,x).判断函数f(x)的单调性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)试讨论函数f(x)的单调性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R，讨论f(x)的单调区间．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)下列不等式成立的是()A．2ln

eq\f(3,2)<eq\f(3,2)ln2 B.eq\r(2)lneq\r(3)<eq\r(3)lneq\r(2)C．5ln4<4ln5 D．π>elnπ(2)函数f(x)＝ex－e－x＋sinx，则不等式f(x)>0的解集是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，π) D．(－π，0)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x(a≠0)．(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cosx，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为()A．(－∞，1