线性代数知识点至章演示文稿

线性代数知识点至章演示文稿当前第1页\共有108页\编于星期二\12点（优选）线性代数知识点至章当前第2页\共有108页\编于星期二\12点分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．方法2方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和，即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．３计算排列逆序数的方法当前第3页\共有108页\编于星期二\12点定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．４对换当前第4页\共有108页\编于星期二\12点５n阶行列式的定义当前第5页\共有108页\编于星期二\12点当前第6页\共有108页\编于星期二\12点６n阶行列式的性质当前第7页\共有108页\编于星期二\12点当前第8页\共有108页\编于星期二\12点１）余子式与代数余子式７行列式按行（列）展开当前第9页\共有108页\编于星期二\12点２）关于代数余子式的重要性质当前第10页\共有108页\编于星期二\12点８克拉默法则当前第11页\共有108页\编于星期二\12点克拉默法则的理论价值定理定理当前第12页\共有108页\编于星期二\12点定理定理当前第13页\共有108页\编于星期二\12点１矩阵的定义当前第14页\共有108页\编于星期二\12点当前第15页\共有108页\编于星期二\12点２方阵列矩阵行矩阵当前第16页\共有108页\编于星期二\12点两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．３同型矩阵和相等矩阵当前第17页\共有108页\编于星期二\12点４零矩阵单位矩阵当前第18页\共有108页\编于星期二\12点交换律结合律５矩阵相加当前第19页\共有108页\编于星期二\12点运算规律６数乘矩阵当前第20页\共有108页\编于星期二\12点７矩阵相乘当前第21页\共有108页\编于星期二\12点运算规律当前第22页\共有108页\编于星期二\12点n阶方阵的幂８方阵的运算当前第23页\共有108页\编于星期二\12点方阵的行列式运算规律当前第24页\共有108页\编于星期二\12点转置矩阵９一些特殊的矩阵当前第25页\共有108页\编于星期二\12点对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵当前第26页\共有108页\编于星期二\12点正交矩阵对角矩阵对合矩阵当前第27页\共有108页\编于星期二\12点上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵．下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵．当前第28页\共有108页\编于星期二\12点伴随矩阵当前第29页\共有108页\编于星期二\12点定义１０逆矩阵当前第30页\共有108页\编于星期二\12点相关定理及性质当前第31页\共有108页\编于星期二\12点矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．１１分块矩阵当前第32页\共有108页\编于星期二\12点１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换当前第33页\共有108页\编于星期二\12点初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．当前第34页\共有108页\编于星期二\12点反身性传递性对称性２矩阵的等价当前第35页\共有108页\编于星期二\12点三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．当前第36页\共有108页\编于星期二\12点（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．当前第37页\共有108页\编于星期二\12点（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．当前第38页\共有108页\编于星期二\12点（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．当前第39页\共有108页\编于星期二\12点经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如４行阶梯形矩阵当前第40页\共有108页\编于星期二\12点经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如５行最简形矩阵当前第41页\共有108页\编于星期二\12点对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如６矩阵的标准形当前第42页\共有108页\编于星期二\12点所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．当前第43页\共有108页\编于星期二\12点定义７矩阵的秩定义当前第44页\共有108页\编于星期二\12点定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理当前第45页\共有108页\编于星期二\12点当前第46页\共有108页\编于星期二\12点定理定理９线性方程组有解判别定理当前第47页\共有108页\编于星期二\12点

齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．

非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10线性方程组的解法当前第48页\共有108页\编于星期二\12点定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论当前第49页\共有108页\编于星期二\12点分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１向量的定义定义当前第50页\共有108页\编于星期二\12点当前第51页\共有108页\编于星期二\12点向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量当前第52页\共有108页\编于星期二\12点向量加法２向量的线性运算当前第53页\共有108页\编于星期二\12点数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：当前第54页\共有108页\编于星期二\12点当前第55页\共有108页\编于星期二\12点除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：当前第56页\共有108页\编于星期二\12点若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义３线性组合当前第57页\共有108页\编于星期二\12点定义４线性表示当前第58页\共有108页\编于星期二\12点定理定义当前第59页\共有108页\编于星期二\12点定义５线性相关定理当前第60页\共有108页\编于星期二\12点定理当前第61页\共有108页\编于星期二\12点当前第62页\共有108页\编于星期二\12点定义６向量组的秩当前第63页\共有108页\编于星期二\12点等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１当前第64页\共有108页\编于星期二\12点推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组．当前第65页\共有108页\编于星期二\12点７向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．当前第66页\共有108页\编于星期二\12点当前第67页\共有108页\编于星期二\12点定义８子空间当前第68页\共有108页\编于星期二\12点定义９基与维数当前第69页\共有108页\编于星期二\12点当前第70页\共有108页\编于星期二\12点向量方程１０齐次线性方程组当前第71页\共有108页\编于星期二\12点当前第72页\共有108页\编于星期二\12点解向量当前第73页\共有108页\编于星期二\12点解向量的性质性质１性质２定义当前第74页\共有108页\编于星期二\12点定理定义当前第75页\共有108页\编于星期二\12点向量方程１１非齐次线性方程组当前第76页\共有108页\编于星期二\12点解向量的性质性质１性质２解向量向量方程的解就是方程组的解向量．当前第77页\共有108页\编于星期二\12点（１）求齐次线性方程组的基础解系１２线性方程组的解法当前第78页\共有108页\编于星期二\12点第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵当前第79页\共有108页\编于星期二\12点当前第80页\共有108页\编于星期二\12点第三步：将其余个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系当前第81页\共有108页\编于星期二\12点（２）求非齐次线性方程组的特解当前第82页\共有108页\编于星期二\12点将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得当前第83页\共有108页\编于星期二\12点即为所求非齐次线性方程组的一个特解．当前第84页\共有108页\编于星期二\12点定义１向量内积的定义及运算规律当前第85页\共有108页\编于星期二\12点当前第86页\共有108页\编于星期二\12点定义向量的长度具有下列性质：２向量的长度当前第87页\共有108页\编于星期二\12点当前第88页\共有108页\编于星期二\12点定义３向量的夹角当前第89页\共有108页\编于星期二\12点所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基．定理定义４正交向量组的性质当前第90页\共有108页\编于星期二\12点施密特正交化方法当前第91页\共有108页\编于星期二\12点第一步正交化当前第92页\共有108页\编于星期二\12点第二步单位化当前第93页\共有108页\编于星期二\12点定义５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交．当前第94页\共有108页\编于星期二\12点定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换．正交变换的特性在于保持线段的长度不变．当前第95页\共有108页\编于星期二\12点定义６方阵的特征值和特征向量当前第96页\共有108页\编于星期二\12点当前第97页\共有108页\编于星期二\12点７有关特征值的一些结论当前第98页\共有108页\编于星期二\12点定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．８有关特征向量的一些结论当前第99页\共有108页\编于星期二\12点定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性．９相似矩阵当前第100页\共有108页\编于星期二\12点１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．当前第101页\共有108页\编于星期二\12点

(4)能对角化的充分必要条件是有个线