江苏省常州市华罗庚中学2021年高三数学理联考试题含解析

江苏省常州市华罗庚中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，给出下列四个说法：

①若，则；

②的最小正周期是；

③在区间上是增函数；

④的图象关于直线对称．

其中正确说法的个数为（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B函数，若，即，所以，即，所以或，所以①错误；所以周期，所以②错误；当时，，函数递增，所以③正确；当时，为最小值，所以④正确，所以正确的有2个，选B.2.命题“对任意的”的否定是

（

）

A．不存在

B．存在

C．存在

D．对任意的参考答案：C9、从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C4.已知双曲线的渐近线为，则双曲线的焦距为

A．

B．2

C．

D．4参考答案：C5.下列程序执行后输出的结果是（）A．

–1

B．

0

C．

1

D．2参考答案：B略6.对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得（A）

（B）（C）

（D）参考答案：【解析】B解析：本小题主要考查立体几何中线面关系问题。∵两条不相交的空间直线和，∴存在平面，使得。7.已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）参考答案：B【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=ax+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．8.已知a，b∈R，则“”是“”的（

）（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A9.某程序框图如图所示，则运行后输出结果为（）A．504B．120C．240D．247参考答案：D10.等差数列中，若，则等于

（

）

A．3

B．4

C．5

D．6

参考答案：C因为等差数列，因此选C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16．8，则x+y的值为

参考答案：13略12.设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝

．参考答案：－

略13.已知集合，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．对于集合，若实数成等差数列，则________________参考答案：2n-3略14.已知点P到△ABC的三个顶点的距离相等，且，则·等于

。参考答案：略15.某几何体的三视图如图所示，它的体积为____________．参考答案：略16.实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为(

)A． B．2 C．1 D．参考答案：B略17.已知集合，集合，且，则a

．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分）123101设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.

(Ⅰ)数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；

表1(Ⅱ)数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；(Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之

表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.参考答案：解：（I）法1：

法2：

法3：

（写出一种即可）

…3分(II)

每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;

①如果操作第三列，则

则第一行之和为，第二行之和为，

,解得.

…6分

②如果操作第一行

则每一列之和分别为，，，

解得

…9分综上

…10分(III)证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立…13分19.已知抛物线过点，过点作斜率大于0的直线l交抛物线于M，N两点（点M在Q，N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B，与的面积分别记为，比较与的大小，说明理由.参考答案：抛物线过点，得，所以抛物线的方程为.设直线的方程为(其中)，由，得.设，则，，，又的方程为，故，所以，，有可得.由题意知，故，.又因为，，所以.20.（本小题满分10分）如图，圆O1与圆O2相交于A，B两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．

求证：（1）PA?PD=PE?PC；

（2）AD=AE．

参考答案：（1）①……2分

②……4分由①②得

……5分(2)连接AC,DE.，.由（1）知，……8分AB是圆的直径

弧AD=弧AE

.……………10分21.已知函数f（x）=x2+2alnx．（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，由导数的几何意义得f′（2）=1，解得即可；（2）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意x＞0；（3）根据函数的单调性与导数的关系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即﹣+2x+≤0在[1，2]上恒成立．即a≤﹣x2在[1，2]上恒成立．利用导数求出函数h（x）=﹣x2在[1，2]上的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+2alnx的导数为f′（x）=2x+，由已知f'（2）=1，即4+a=1，解得a=﹣3．（2）f（x）=x2﹣6lnx的导数为f′（x）=2x﹣，x＞0．由f′（x）＞0，可得x＞，f′（x）＜0，可得0＜x＜，即有f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；（3）由g（x）=+x2+2alnx，得g′（x）=﹣+2x+，由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即﹣+2x+≤0在[1，2]上恒成立．即a≤﹣x2在[1，2]上恒成立．令h（x）=﹣x2，在[1，2]上h′（x）=﹣﹣2x＜0，所以h（x）在[1，2]为减函数．h（x）min=h（2）=﹣，所以a≤﹣．22.已知函数f（x）=。(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，设函数，若函数h（x）恰有两个零点，求实数a的值。参考答案：(Ⅰ)根据已知，，若轴为曲线的切线，设切点横坐标为，则可得即，解得所以当时，轴为曲线的切线.