陕西省榆林市玉林陆川实验中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

陕西省榆林市玉林陆川实验中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是①；

②；③2；

④2.A.①②

B.③④

C.①④

D.②③参考答案：B经验证，只有③④正确.2.定义两个实数间的一种新运算“*”：.对任意实数给出如下结论：①；

②；③；其中正确的个数是（

）(A)

0

(B)1

(C)2

(D)3参考答案：D略3.设，且∥，则=A.

B.

C. D.参考答案：D4.计算：的结果是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A．(－1,3)

B．[－1,3]

C．(1.3)

D．[1,3]参考答案：B6.在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，则=(

) A．﹣7 B． C． D．7参考答案：B考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题；平面向量及应用．分析：在△ABC中，由∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，知BC==5，AD=5，故cos＜＞=cos∠ADB=﹣，由此能求出．解答： 解：在△ABC中，∵∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，∴BC==5，AD=，cos＜＞=cos∠ADB===﹣，∴=||?||?cos＜＞==﹣．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．7.已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于，两点，则（

）A． B．1 C．2 D．4参考答案：A由抛物线y2=8x可得焦点F(2,0)，因此直线y=k(x?2)过焦点。设P(x1,y1)，Q(x2,y2).，则，|FQ|=x2+2.联立.化为k2x2?(8+4k2)x+4k2=0(k≠0).∵△>0，∴.∴.本题选择A选项.8.向量，夹角为，且，，则(A)1.

(B).

(C)3.

(D)2.参考答案：D略9.如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2或1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：【考点】复数的基本概念．【分析】由复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，得，解得a=﹣2．∴实数a的值为：﹣2．故选：B．10.设z=1–i（i是虚数单位），则复数的虚部是A．1

B．－1

C．i

D．－i参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设直线3x+4y﹣5=0与圆C1：x2+y2=9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2半径的最大值是

．参考答案：2【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先根据圆C1的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C2的半径的最大时的情况：当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大，利用距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C2的半径最大值．【解答】解：由圆C1：x2+y2=9，可得圆心O（0，0），半径R=3如图，当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．则两圆心之间的距离OQ=d=．因为两圆内切，所以圆c2的最大半径r=3﹣d=3﹣1=2故答案为：212.的值域为

；参考答案：

13.若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线(a＞0)的右焦点，则实数a的值为

．参考答案：1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线的右焦点为（，0），由题意可得为=2，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，同时考查抛物线的焦点，考查运算能力，属于基础题．14.平面向量的夹角为，________________.参考答案：1略15.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为 .参考答案：或16.袋中装有大小、形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足：已知从袋中任取2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率.现从袋中任取2个球，设取到红球的个数为ξ，则ξ的期望=

．参考答案：17.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为lcm，那么该棱柱的表面积为

cm2。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)已知数列满足，．函数．（I）求数列的通项公式；（II）试讨论函数的单调性；（III）若，数列满足，求证：．参考答案：（I）∵，

∴当时，，∴，即，∴，对也成立，∴数列的通项公式为．………3分（II），………4分当时，，当时，；当时，，∴函数的单调增区间是，减区间是；…………5分当时，令，解得，．当时，，当时，；当时，；时，，∴函数的单调增区间是和，减区间是；………6分当时，，，∴函数的单调增区间是，无减区间．………7分综上所述，当时，∴函数的单调增区间是，减区间是；当时，函数的单调增区间是和，减区间是；当时，函数的单调增区间是，无减区间．（III）当时，，．由且，故．………8分要证，即证，即证．由（II）得在上单调递增，所以，所以，即成立．…………11分要证，由，即证，即证，即证．设，，所以在上单调递增，，从而，即成立．综上，．………14分19.已知等差数列{an}满足a4﹣a2=4，a3=8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}满足，求数列{bn}的前8项和．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵a4﹣a2=2d=4，∴d=2．又a3=a1+2d=8，可得a1=4，从而an=2n+2．（Ⅱ）∵，∴数列{bn}的前8项和为S8==4=1020．20.已知函数(Ⅰ)若时，函数在其定义域上是增函数，求b的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下，设函数的最小值；(Ⅲ)设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）依题意：∵上是增函数，∴恒成立，……2分∴∵∴b的取值范围为………4分（2）设，即…5分∴当上为增函数，当t=1时，…6分当…………7分当上为减函数，当t=2时，……………8分综上所述，当当…9分（3）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为

C-2-在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则，………12分设…………①令则∵

∴

所以上单调递增，故，

则这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.……14分21.（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？

（2）用分层抽样的方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？

（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.参考答案：解：(1)有关，收看新闻节目的观众多为年龄大的.

…………3分（2）应抽取的人数为：(人)……………………6分（3）由（2）知，抽取的5名观众中，有2名观众的年龄处于20至40岁，3名观众的年龄大