2021年安徽省芜湖市体育中学高一数学文期末试卷含解析

2021年安徽省芜湖市体育中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列中，首项公差，若，则的值为A．37

B．36

C．20

D．19

参考答案：A略2.若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（

）A.平行 B.异面 C.相交 D.以上皆有可能参考答案：D【分析】通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果.【详解】若，，，位置关系如下图所示：若，，则，可知两条直线可以平行由图象知，与相交，可知两条直线可以相交由图象知，与异面，可知两条直线可以异面本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题.3.两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为（）A．1：9 B．1：27 C．1：3 D．1：3参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式，直接求解即可．【解答】解：两个球的半径之比为1：3，又两个球的表面积等于两个球的半径之比的平方，（球的面积公式为：4πr2）则这两个球的表面积之比为1：9．故选：A．4.直线的倾斜角是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.集合的元素个数是(

)A．1

B．2 C．3 D．4参考答案：C略6.若集合，且，则实数的集合（

）.

.

.

.参考答案：C略7.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则f（）=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦函数的图象．【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质．【分析】由图象可知：T==，解得ω=．且f==1，取φ=﹣．即可得出．【解答】解：由图象可知：T==，解得ω=．且f==1，取φ=﹣．∴f（x）=，∴f（）===．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知二次函数在区间[－2,a]上的最小值为－5，最大值为4，则实数a的取值范围是（ ）A.(－2,1) B.(－2,4] C.[1,4] D.[1,+∞)参考答案：C9.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）参考答案：A【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．【解答】解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0，f（0）=Asin=Asin＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．10.判断下列各命题的真假：（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B=

．参考答案：{2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，4}，∴A∩B={2}，故答案为：{2}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12.已知函数，若对恒成立，则t的取值范围为

．参考答案：(0,1]试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.13.设全集U=R，集合，，若，则实数的取值范围是________参考答案：14.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(x,y)值依次记为(x1,y1)，(x2,y2)，……(xn,yn)，……(1)若程序运行中输出的一个数组是(

,t)，则t=

；

(2)程序结束时，共输出(x,y)的组数为

。参考答案：-4，100515.若实数、满足约束条件则的最大值是_________参考答案：316.已知函数，方程有4个不同实数根，则实数的取值范围是______

__．参考答案：17.如图，圆锥中，为底面圆的两条直径，交于，且，，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，角，，所对的边分别为，，．已知的周长为，且．（Ⅰ）求边的长；（Ⅱ）若的面积为，求角的大小．参考答案：（I）由题意及正弦定理，得，………2分，……………4分两式相减，得．……………………6分（II）由的面积，得，………………9分由余弦定理，得，…12分所以．……………14分19.某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？

参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）根据相似三角形得出NH，从而得出MH；（2）计算DG，EG，得出tan∠DMG和tan∠EMG，利用差角公式计算tanθ，得出tanθ关于x的解析式，利用不等式求出tanθ取得最大值时对应的x即可．【解答】解：（1）由题意可知MG=CH=x，由△CHN∽△CAB可得，即，∴NH=，∴M到地面的距离MH=MN+NH=．（2）DG=CD﹣CG=CD﹣MH=5﹣，同理EG=9﹣，∴tan∠DMG==，tan∠EMG=，∴tanθ=tan（∠EMG﹣∠DMG）===，∵0＜x≤8，∴5x+≥2=60，当且仅当5x=即x=6时取等号，∴tanθ≤=，∴当x=6时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．20..已知△ABC的顶点，AB边上的高所在直线为，为AC中点，且BD所在直线方程为.（1）求顶点B的坐标；（2）求BC边所在的直线方程。参考答案：(1)(2)【分析】（1）联立直线的方程，求出点坐标；（2）求出点，利用坐标求直线的斜率，再用点斜式求直线方程.【详解】由及边上的高所在直线为，得所在直线方程为又所在直线方程为由，得.（2）设，又，为中点，则，由已知得，得，又得直线的方程为.【点睛】考查直线的垂直关系、直线的交点坐标、直线方程的求法等，考查运算求解能力.

21.如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3

km，∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．（1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）在△OAB，根据OA=3km，OB=3

km，∠AOB=90°，可以求出,在△OAM中,运用余弦定理,求出,在△OAN中,可以求出,在△OMN中，运用正弦定理求出;（2）解法1：在△OAM中，由余弦定理可以求出的表达式,的表达式,在△OAN中,可以求出的表达式,运用正弦定理求出,运用面积求出的表达式，运用换元法、运用基本不等式，求出的最小值；解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜,在△OAM中，由正弦定理得OM的表达式．在△OAN中，由正弦定理得ON的表达式．利用面积公式可得出，化简整理求最值即可＝【详解】（1）在△OAB中，因为OA=3，OB=3，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°．在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO?AM?cosA=7，所以OM=，所以cos∠AOM==，在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．在△OMN中，由=，得MN=×=．（2）解法1：设AM=x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO?AM?cosA=x2-3x+9，所以OM=，所以=，在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．由=，得．所以S△OMN=OM?ON?sin∠MON=???=，（0＜x＜3）．令6-x=t，则x=6-t，3＜t＜6，则S△OMN==（t-9+）≥?（2-9）=．当且仅当t=，即t=3，x=6-3时等号成立，S△OMN的最小值为．所以M的位置为距离A点6-3

km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是

km2．解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜在△OAM中，由=，得OM=．在△OAN中，由=，得ON==．所以S△OMN=OM?ON?sin∠MON=???=====，（0＜θ＜）．当2θ+=，即θ=时，S△OMN的最小值为．所以应设计∠AOM=，可使△O