矩形的性质与判定

6.2矩形的判定当前第1页\共有36页\编于星期三\6点复习回顾四边形集合平行四边形集合矩形集合定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形当前第2页\共有36页\编于星期三\6点矩形的性质(1)边：对边平行且相等(2)角：四个角都是直角(3)对角线：相等且互相平分ABDC∵矩形ABCD,∴ABCD，ADBC．∵矩形ABCD∴AC=BD且OA=OB=OC=OD.∵矩形ABCD∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．O性质当前第3页\共有36页\编于星期三\6点课前热身1、矩形的四个内角都是______。2、矩形的对角线______且__________。直角相等互相平分3、矩形是______________对称图形。轴对称和中心4、在直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的_______。5、在直角三角形中，斜边上的______等于斜边的______。30°一半中线一半当前第4页\共有36页\编于星期三\6点矩形的判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.∵在ABCD中∠B=90°∴四边形ABCD是矩形由定义入手:ABCD∟当前第5页\共有36页\编于星期三\6点情境：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。当前第6页\共有36页\编于星期三\6点命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD证明:AB=CDBC=BCAC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）又∵

AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠ABC=∠DCB=90°

∴四边形ABCD是矩形∴

∠ABC=∠DCB∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,AB∥DC在△ABC和△DCB中当前第7页\共有36页\编于星期三\6点对角线相等的平行四边形是矩形。ABDC几何语言：∵在ABCD中

AC=BD∴ABCD是矩形0判定定理2：当前第8页\共有36页\编于星期三\6点有一个角是直角有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)探究猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。P15你能证明上述结论吗？当前第9页\共有36页\编于星期三\6点已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形。ABCD∟∟∟证明：∵

∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵

∠A=90°∴四边形ABCD是矩形命题：有三个角是直角的四边形是矩形。当前第10页\共有36页\编于星期三\6点有三个角是直角的四边形是矩形ABCD

∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言：矩形的判定方法（3）当前第11页\共有36页\编于星期三\6点有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：归纳：当前第12页\共有36页\编于星期三\6点任意一个四边形，三角直角定矩形。对于平行四边形，一个直角即可定；对线相等也矩形。矩形的判定口诀：当前第13页\共有36页\编于星期三\6点你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？【P16议一议】如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？当前第14页\共有36页\编于星期三\6点你来评判下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）（3）四个角都是直角的四边形是矩形。（）（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．()当前第15页\共有36页\编于星期三\6点例：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4cm，求这个□ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵△AOB是等边三角形∴OA=OB，∴AC=BD，∴□ABCD是矩形.在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm,∴BC=∴S□ABCD=AB·BC=4×4=16(cm2).ABCDO当前第16页\共有36页\编于星期三\6点已知：如图，在□ABCD中，

M是AD边的中点，且MB=MC。求证：四边形ABCD是矩形。ABCDMP17随堂练习当前第17页\共有36页\编于星期三\6点∠A=∠B=∠C=90°ABCDAC=BDABCD∠A=90°

ABCD是矩形四边形ABCD是矩形谈一谈，今天你有何收获？判定一个四边形是矩形的方法是：当前第18页\共有36页\编于星期三\6点作业P17习题6.5第1,2题当前第19页\共有36页\编于星期三\6点2．如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗(如图①)使AB=CD、EF=GH；(2)摆放成(如图②)的四边形，则这时窗框的形状是

，根据的数学道理是

。(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格这时窗框是

，根据的数学道理是

。有一个内角是直角相等矩形矩形两组对边分别相等的四边形平行四边形1．

的平行四边形是矩形．对角线

的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是

形。平行四边形有一个角是直角的的平行四边形是矩形当前第20页\共有36页\编于星期三\6点3、已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AD=BC，试说明四边形ABCD是矩形。证明：∵AD=CBAD∥CB∴四边形ABCD是平行四边形∵AB⊥BC∴∠B=90°

∴□

ABCD是矩形ABCD∟当前第21页\共有36页\编于星期三\6点4、如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，求证:四边形ABCD是矩形。DBCA证明：∵AB=6,BC=8,AC=10∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2∴

∠B=90°又∵四边形ABCD是平行四边形∴□

ABCD是矩形当前第22页\共有36页\编于星期三\6点5、BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，求证：四边形AEBD是矩形。证明：∵AE⊥BE，AD⊥BD∴∠E=90°,∠D=90°∵BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线∴∠1=∠ABC,∠2=∠ABP∴□

AEBD是矩形CBADEP∟∟⌒⌒12∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ABP)=×180°=90°即∠DBE=90°当前第23页\共有36页\编于星期三\6点AOBDC6、已知如图四边形ABCD中

AO=BO=CO=DO，试说明四边形ABCD是矩形。证明：∵AO=BO=CO=DO∴AO=CO，BO=DO∴四边形EFGH是平行四边形即AC=BD∴四边形ABCD是矩形又∵AO+CO=BO+DO当前第24页\共有36页\编于星期三\6点ABCDEFGHO7、已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。证明：∵四边形ABCD是矩形∴AO=BO=CO=DO又∵AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形又∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH是矩形当前第25页\共有36页\编于星期三\6点ABDCHEFG∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB+∠ABC=180°8、如图，ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由证明：同理：∠EFG=90°、∠FGH=90°∴四边形EFGH是矩形∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC∴∠EAB+∠EBA=90°即∠AEB=90°∴∠HEF=90°当前第26页\共有36页\编于星期三\6点ABDCHEFG8、如图，ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由证明：MPNQ∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠ADC又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分线∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM又∵AD∥BC∴∠AQB

∠QBC==∠ADM∴BQ∥DM∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC∴∠EAB+∠EBA=90°即∠AEB=90°∴∠HEF=90°∴四边形EFGH是矩形同理：AN∥CP∴四边形EFGH是平行四边形当前第27页\共有36页\编于星期三\6点变式：平行四边形ABCD，AF、BH、CH、DF分别是BAD、ABC、BCD、CDA的平分线。求证：EF=GH.MLKNFGHEDCBA当前第28页\共有36页\编于星期三\6点9、如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个动点,过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,ABCMN0)1)2(5(4(3(6(1)求证:0E=0F(2)当0运动到何处时,四边形AECF为矩形?说明理由EF证明：∵CF平分∠ACD∴∠1=∠2又∵MN∥BC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OC=OF同理可证：OC=OE∴OE=OFD答：当点0为AC的中点时，四边形AECF是矩形理由：由（1）知0E=0F，又AO=CO∴四边形AECF是平行四边形又∵EC平分∠ACB，FC平分∠ACD∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°∴四边形AECF是矩形当前第29页\共有36页\编于星期三\6点祝同学们学习快乐!当前第30页\共有36页\编于星期三\6点拓展：(1)对角线相等的四边形是矩形吗?

(2)需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗?归纳：对角线相等且互相平分的四边形是矩形

∵AC=BD且OA=OCOB=OD∴四边形ABCD是矩形等腰梯形当前第31页\共有36页\编于星期三\6点测量…？

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