平面的投影及平面上的点

[例题]求一点A到水平线BC的距离

dd'2yyAD2021/5/91[例题]过点E

作线段AB、CD

的公垂线EF。ffc2021/5/92b'[例题]作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcABab|yA-yB|bc=BCc'2021/5/93

平面的投影二、各种位置平面的投影特性一、平面的表示法

三、平面上的点和直线

四、直线与平面的相对位置五、平面与平面的相对位置2021/5/94一、平面的表示法1.几何元素表示法2.迹线表示法2021/5/95

一个平面的空间位置可以由下列任一组几何元素来确定:不在同一直线上的三个点；一直线和直线外的一个点；相交两直线；平行两直线；任意平面图形。1.几何元素表示法

平面的投影可以由其中一组几何元素的投影来表示。2021/5/96’a’abb’cc’x一直线和直线外的一个点x’a’abb’cc’相交两直线’a’abb’cc’x平行两直线c’’a’abb’cx任意平面图形

用各组几何元素所表示的同一平面的投影图。x’a’abb’cc’不在同一直线上的三点2021/5/97△ABC⊥P面投影积聚为一直线

abc△ABC∥P面投影反映实形△abc≌△ABC△ABC倾斜于P面投影为小于原平面的类似形

△abc＜△ABC平面对一个投影面的投影特性2021/5/98d(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMemfbcad2021/5/99a"b"c"ca'b'baABC一般位置面2021/5/910

与三个投影面都处于倾斜位置的平面。一般位置平面三个投影都是小于原平面的类似形。ab’b”XZYHOa’s’s”a”bsYw2021/5/911一般位置平面2021/5/912铅垂面--仅⊥H面的平面正垂面--仅⊥V面的平面侧垂面--仅⊥W面的平面1.投影面垂直面

垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面。各种位置平面的投影特性2021/5/913铅垂面--仅⊥H面的平面水平投影p积聚为一倾斜线段，并反映β、γ角。正面投影p’和侧面投影p”都是小于原平面的类似形。pp’p”XZYWYHOγβ2021/5/914铅垂面--仅⊥H面的平面2021/5/915正垂面--仅⊥V面的平面正面投影p’积聚为一倾斜线段，并反映α、γ角。水平投影p和侧面投影p”都是小于原平面的类似形。γαpq’p”XZYWYHOγqq”q’Qqq’’2021/5/916侧垂面--仅⊥W面的平面A.侧面投影r’’

积聚为一倾斜线段，并反映α、β角。B.水平投影r和正面投影r’

都是小于原平面的类似形。αpr”XZYWYHOγrr’βr’Rrr’’2021/5/917YHYWYHYWHαβ投影面垂直面的投影特性γβγα2021/5/918

投影面垂直面的投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，它与投影轴的夹角反映平面对另外两个投影面的倾角。（2）在另外两个投影面上的投影是小于原平面的类似形。2021/5/919Xabc’b’a’分析：铅垂面的水平投影为斜交于X轴的直线，有积聚性。本题铅垂面用三角形表示。c例1含直线AB(ab,a’b’)作铅垂面

(用平面图形表示)。2021/5/9202.投影面平行面

平行于某一投影面的平面。//H面的平面--水平面

//V面的平面--正平面//W面的平面–侧平面2021/5/921水平面--//H面的平面Zpp’p”XYHOYW水平投影p反映平面P的实形；正面投影p’和侧面投影p”都积聚为直线，分别∥OX轴和OYW轴。2021/5/922正平面--//V面的平面YWqq’q”XZYHO正面投影q’反映平面P的实形；水平投影q和侧面投影q”都积聚为直线，分别∥OX轴和OZ轴。q’Qqq’’2021/5/923侧平面--//W面的平面Rr‘r’‘HVWZrr’r”XYHOYW侧面投影r’’反映平面R的实形；水平面投影r和正面投影r’

都积聚为直线，分别∥OYH轴和OZ轴。r2021/5/924投影面平行面的投影特性2021/5/925

投影面平行面的投影特性：（1）在所平行的投影面上的投影反映实形。（2）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线，平行于相应的投影轴。2021/5/926aXa’bcc’b’例3含点A作△ABC//V面。

分析:

正平面的水平投影积聚为直线并∥OX轴，正面投影反映实形。

作法：作abc//OX轴。作△a’b’c’≌△ABC。2021/5/927O’OX圆平面为水平面（1）当圆∥投影面时，圆在该投影面上的投影反映实形--圆,另外两投影积聚为直线,长度等于圆的直径。4.圆的投影特性2021/5/928（2）当圆⊥投影面时，它在该面的投影积聚为倾斜于投影轴的直线，长度等于圆的直径。另外两个投影为椭圆。OO'X圆平面为正垂面2021/5/929（3）当圆倾斜于投影面时，它的投影为圆的类似形--椭圆。2021/5/930圆的投影的作图方法1）当圆∥投影面时OO'X圆平面为正平面反映圆的实形长度=圆的直径2021/5/931

投影椭圆的长、短轴是圆内一对

相互垂直的直径的投影。（1）正垂圆的投影椭圆

长轴:正垂直径AB的投影ab=AB

短轴:正平直径DE的投影de=DEcosα

2）当圆⊥投影面时长轴和短轴正垂直径AB正平直径DE2021/5/932OO”正垂圆的投影作图O'Xa’(b’)dee’d’αa”b”Dd”e”baD长轴:正垂直径AB的投影

ab=a”b”=AB短轴:正平直径DE的投影de=DEcosαd”e”=DEcosγγ

D2021/5/933铅垂面上圆的投影(b)(a)长轴：铅垂直径CD的投影c’d’=D短轴：水平直径AB的投影a’b’=Dcosβ（2）铅垂圆的投影铅垂直径CD水平直径AB2021/5/934短轴：水平直径AB的投影a’b’=Dcosβa”b”=Dcosγ长轴：铅垂直径CD的投影

c’d’=c”d”=DOXO'c’(d’)βb’a’abc’d’DD铅垂圆的投影作图O”c”d”Dβb”a”γ

2021/5/935

垂直面上圆的投影特性：（1）在与圆平面垂直的投影面上，圆的投影是直线段，长度等于圆的直径。（2）在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长轴是圆平面上平行于这个投影面的直径的投影，短轴是圆平面上与上述直径相垂直的直径的投影。2021/5/9364-7平面上的点和直线1.平面上取直线2.平面上取点3.投影面垂直面上的点和直线2021/5/937一、平面上的直线1.平面上的直线2.在平面上作正平线和水平线2021/5/938直线在平面上的几何条件：(1)通过平面上的两已知点。BACPMN直线MN在平面上1.平面上取直线2021/5/939EFDPNM

结论

--要在平面上取直线，应先在平面上的已知直线上取点，再过点作直线。直线MN在平面P上(2)通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线。2021/5/940bacb’Xc’a’1’12’2

作法1:

在平面内的两已知边上各取一点连成直线。例5在△ABC给定的平面上作一任意直线。直线ⅠⅡ即为所求。

作法2:

在平面内的一已知边上取一点，再过点作平面内另一直线的平行线。2021/5/941在平面上作正平线和水平线dd'e'e2021/5/942BACPL点在平面上的几何条件:

点在该平面的一已知直线上。M

在平面上取点的一般方法：含该点在平面上作辅助直线，然后在所作直线上取点。2.平面上取点∵直线L在P面上，∴M点在平面P上。2021/5/943a’b’c’cab1’1dd’例6已知点D在△ABC所决定的平面上，求作其正面投影d’。作法1ⅠCABD空间分析D点一定在该平面的一条直线上。2021/5/944a’b’c’cab2’2dd’例7已知点D在△ABC所决定的平面内，求作其正面投影d’。作法2ⅡCABD空间分析2021/5/945bb’Xc’a’ad’dc例8试完成平面四边形ABCD的水平投影。分析:平面ABCD的对角线一定相交。k’kC点一定在该平面的一条直线上。2021/5/946b’c”zywyHXOc’a”(b”)a’bc