离散型随机变量及其概率分布演示文稿

离散型随机变量及其概率分布演示文稿当前第1页\共有52页\编于星期三\7点（优选）离散型随机变量及其概率分布当前第2页\共有52页\编于星期三\7点一、离散型随机变量的概率分布研究离散型随机变量概率分布，即寻找随机变量所有可能的取值以及取每个值所对应的概率。1、离散型随机变量的定义分布函数可以研究离散型随机变量的概率分布，除此之外，针对离散型特点，我们引入研究离散型随机变量的重要工具——概率分布律（列）当前第3页\共有52页\编于星期三\7点一、离散型随机变量的概率分布2、离散型随机变量的概率分布

定义：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的分布律.概率分布列概率分布阵当前第4页\共有52页\编于星期三\7点一、离散型随机变量的概率分布3、性质用这两条性质判断一个函数是否是分布律注意：只有离散型才有概率分布列。思考：下列两个等式一样么？当前第5页\共有52页\编于星期三\7点解:依据分布律的性质P(X=k)≥0,

a≥0,从中解得即例1设随机变量X的分布律为k=0,1,2,…,试确定常数a.一、离散型随机变量的概率分布当前第6页\共有52页\编于星期三\7点例2

某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取值为0,1,2

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81一、离散型随机变量的概率分布即当前第7页\共有52页\编于星期三\7点一、离散型随机变量的概率分布例3

设随机变量X的分布列为求：常数a，P(X<1)，P(-2<X≤0)，P(X≥2).解：由归一性得P(X<1)P(-2<X≤0)=P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)=5/8=P(X=-1)+P(X=0)=1/2P(X≥2)=P(X=2)=1/4当前第8页\共有52页\编于星期三\7点一、离散型随机变量的概率分布小结：即：离散型随机变量落入任何区间内的概率，等于该区间内所有正概率点对应概率之和。当前第9页\共有52页\编于星期三\7点练习1

某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求射击发数X的分布律.解:X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,为计算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设于是一、离散型随机变量的概率分布分布律为当前第10页\共有52页\编于星期三\7点二、离散型随机变量的分布函数随机变量的分布函数同样可以描述随机变量落入任意区间的概率，那么分布函数与离散型分布列有什么关系呢？当前第11页\共有52页\编于星期三\7点二、离散型随机变量的分布函数当

x<0时，{X

x}=，故

F(x)=0例4设随机变量X

的分布律为当

0x<1时，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X

的分布函数F(x).当前第12页\共有52页\编于星期三\7点当

1x<2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=当

x2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1二、离散型随机变量的分布函数当前第13页\共有52页\编于星期三\7点故特点：下面我们从图形上来看一下.1.分段函数2.右连续3.X取值点为分界点4.分段区间左闭右开二、离散型随机变量的分布函数当前第14页\共有52页\编于星期三\7点的分布函数图二、离散型随机变量的分布函数特点：阶梯曲线在xk

处有跳跃跳跃值为P{X=xk

}=pkX当前第15页\共有52页\编于星期三\7点二、离散型随机变量的分布函数总结：设离散型随机变量

X

的分布律为P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)是X

取的诸值xk

的概率之和.则其分布函数为当前第16页\共有52页\编于星期三\7点例5

一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解二、离散型随机变量的分布函数当前第17页\共有52页\编于星期三\7点于是故X的分布函数为其图形为一连续曲线二、离散型随机变量的分布函数当前第18页\共有52页\编于星期三\7点二、离散型随机变量的分布函数练习2

设随机变量X的分布列为求：F(x).当前第19页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布1、单点分布（或退化分布）若随机变量X的全部可能取值为常数c，即“X=c”是必然事件，其概率分布为P(X=c)=1则称X服从单点分布(或退化分布).例如，从一批全是合格品的产品中，任取c件进行合格性检查，若以X表示所取到的合格品数，则“X=c”是必然事件，其概率分布为P(X=c)=1.当前第20页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布2、两点分布（或0-1分布、伯努利分布）设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(0-1)

分布或两点分布.当前第21页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布例如

200件产品中，有190件合格品,10件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从两点分布.

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.当前第22页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布3、独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”抽验产品：“是正品”，“是次品”

设在一次试验E中只考虑两个互逆的结果：A或这样的试验E称为贝努利试验

.（两点分布）

将伯努利试验E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验

.“重复”是指这n

次试验中P(A)=p保持不变.“独立”是指各次试验的结果互不影响

.当前第23页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布例如：某射手独立向目标连续射击4次，每次的命中率均为0.8，求其恰好命中3次的概率。分析：该实验为4重贝努利当前第24页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布

由此可见，n重贝努利试验中，所研究的事件在多次试验中“恰好发生k次”的概率，对于研究试验序列各种复杂的结果有着重要的意义。当前第25页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布

用X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则且两两互不相容.共有（2）二项分布当前第26页\共有52页\编于星期三\7点称这样的分布为二项分布，记为三、几种常见离散型随机变量的概率分布二项分布描述的是n重贝努利试验中事件A出现的次数X的分布律.当前第27页\共有52页\编于星期三\7点例6

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为则X~B(3,0.05)，三、几种常见离散型随机变量的概率分布当前第28页\共有52页\编于星期三\7点若将本例中的“有放回”改为“无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.注意：三、几种常见离散型随机变量的概率分布当前第29页\共有52页\编于星期三\7点分析

这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例7三、几种常见离散型随机变量的概率分布把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验，检查20只元件相当于做20重贝努利试验.当前第30页\共有52页\编于星期三\7点解：三、几种常见离散型随机变量的概率分布当前第31页\共有52页\编于星期三\7点注意：P(X=4)最大。三、几种常见离散型随机变量的概率分布当前第32页\共有52页\编于星期三\7点一般地，若在k0处，概率P{X=k}达到最大（称k0为随机变量X的最可能值），则k0应满足解上述不等式得(n+1)p-1≤k0≤(n+1)p

。因为k0必须为整数，所以当(n+1)p为整数，其它，本例中，n=20，p=0.2,所以，(n+1)p=4.2,故k0=4。三、几种常见离散型随机变量的概率分布当前第33页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布二项分布与两点分布的关系二项分布两点分布1、2、当前第34页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布当前第35页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布

练习4

某人进行射击，设每次击中的概率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率是多少？

解：这是一个独立重复试验概型，设击中的次数为X，则它服从参数为n=400，p=0.02的二项分布，即X～B(400，0.02)，其概率分布为当前第36页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布4、泊松分布泊松分布是1837年法国数学家泊松（Poisson）作为二项分布的近似计算机引入的。近年来日益显示其重要性，即它不仅是二项分面的泊松近似，它本身就是一种重要的分布。若随机变量X全部可能取值为一切非负整数，且当前第37页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X

服从泊松分布.在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.当前第38页\共有52页\编于星期三\7点,则对固定的

k，有设Possion定理:Poisson定理说明，若X~b(n,p),当n很大p很小时，

历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.二项分布与泊松分布的关系三、几种常见离散型随机变量的概率分布二项分布

泊松分布当前第39页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布在本节练习3中，如果射手命中率是0.01，连续射击400次，击中至少两次的概率为由于n=400较大，p=0.01较小，因此可用泊松分布近似计算，即于是当前第40页\共有52页\编于星期三\7点三、几种常见离散型随机变量的概率分布

例8

某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量X服从参数λ=3的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件此商品，才能以99％的概率充分满足顾客的需要？解：设月初库存k件，则即查表，得k+1=9，即k=8.当前第41页\共有52页\编于星期三\7点练习5

独立射击5000次,命中率为0.001,解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；命中次数不少于1次的概率.(至少命中1次的概率)三、几种常见离散型随机变量的概率分布当前第42页\共有52页\编于星期三\7点

(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)三、几种常见离散型随机变量的概率分布当前第43页\共有52页\编于星期三\7点解令X表示命中次数,则

令

此