演示文稿极限存在准则两个重要极限公式

演示文稿极限存在准则两个重要极限公式当前第1页\共有33页\编于星期二\10点极限存在准则两个重要极限公式当前第2页\共有33页\编于星期二\10点6/14/20233例1解当前第3页\共有33页\编于星期二\10点1.夹逼准则准则I证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故6/14/20234当前第4页\共有33页\编于星期二\10点我们可将准则I推广到函数的情形：准则I′且注意:准则I和准则I′统称为夹逼准则..,的极限是容易求的与并且与关键是构造出利用夹逼准则求极限6/14/20235当前第5页\共有33页\编于星期二\10点6/14/2023例2当前第6页\共有33页\编于星期二\10点例2解：由夹逼准则得6/14/20237当前第7页\共有33页\编于星期二\10点解:

利用夹逼准则.且由？1211lim222=øöçèæ++++++¥®pppnnnnnnL6/14/20238当前第8页\共有33页\编于星期二\10点夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法．下面利用它圆扇形AOB的面积证:

当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注证明一个重要的极限公式：

当前第9页\共有33页\编于星期二\10点6/14/2023当前第10页\共有33页\编于星期二\10点例3求解:例4

求（课本例）解:

令则因此原式注:利用变量代换，可得更一般的形式6/14/202311当前第11页\共有33页\编于星期二\10点例5求（补充题）解:例6

求（课本）解:6/14/202312当前第12页\共有33页\编于星期二\10点2.单调有界准则数列单调增加单调减少准则II

单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限单调下降有下界数列必有极限说明:(1)在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛．(2)利用准则II来判定数列收敛必须同时满足数列单调和有界这两个条件．6/14/202313当前第13页\共有33页\编于星期二\10点(3)准则II只能判定数列极限的存在性，而未给出求极限的方法．例如，数列，虽然有界但不单调；，虽然是单调的，但其无界，易知，这两数列均发散．数列(4)

对于准则II，函数极限根据自变量的不同变化过程也有类似的准则，只是准则形式上略有不同.例如，准则II′

设函数在点的某个左邻域内单调在的左极限必存在．并且有界，则6/14/202314当前第14页\共有33页\编于星期二\10点作为准则II的应用，我们讨论一个重要极限：首先，证是单调的．6/14/202315证当前第15页\共有33页\编于星期二\10点6/14/2023类似地,当前第16页\共有33页\编于星期二\10点6/14/2023其次，证有界．当前第17页\共有33页\编于星期二\10点通常用字母来表示这个极限，即也可以证明，当取实数而趋于或时，函数的极限都存在且都等于，即利用变量代换，可得更一般的形式6/14/202318当前第18页\共有33页\编于星期二\10点6/14/202319

三.两个重要极限当前第19页\共有33页\编于星期二\10点6/14/2023例1

求下列极限当前第20页\共有33页\编于星期二\10点6/14/202321例1

求下列极限当前第21页\共有33页\编于星期二\10点6/14/202322当前第22页\共有33页\编于星期二\10点6/14/202323当前第23页\共有33页\编于星期二\10点证证毕当前第24页\共有33页\编于星期二\10点例2求例3例4例5例6当前第25页\共有33页\编于星期二\10点例1解:例2求解:6/14/202326当前第26页\共有33页\编于星期二\10点例4解例3解令,则当时,,因此当前第27页\共有33页\编于星期二\10点例5例6当前第28页\共有33页\编于星期二\10点6/14/2023

课堂练习题一、求下列极限：1、4、2、5、3、二、已知当前第29页\共有33页\编于星期二\10点内容小结1.

极限存在的两个准则夹逼准则;单调有界准则.2.

两个重要极限或注:

代表相同的表达式6/14/202330当前第30页\共有33页\编于星期二\10点思考与练习1.填空题

(1～4)6/14/202331当前第31页\共有33页\编于星期二\10点解：原式=2.求6/14/2023