2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第16讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解析版

第16讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆、弦、半径等概念

确定圆的定理

点与圆的位置关系

圆心角、弧、三角形的外接圆

圆心角、弦、弧、弦心距等概念

圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理

课后作业I;圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的

卷^知识一、圆的确定

1.圆的概念

圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形.

圆心：以上概念中的“定点”；以点。为圆心的圆称为“圆0”，记作。。.

半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长.

2.点与圆的位置关系

设一个圆的半径长为R,点尸到圆心的距离为d,则有以下结论:

当点P在圆外时，d>R；

当点尸在圆上时，d=R；

当点P在国的时，OWd<R.

反之亦然.

3.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.三角形的三个顶点确定一个圆.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外

接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边

形叫做这个圆的内接多边形.

题型探究

【例1】若4(〃，-27)在以点8(-35,-27)为圆心，37为半径的圆上，求a的值.

【答案】2或一72.

(解析］：A点在0B上，，BA=37,即>/(«+35)2+(-27+27)2=37,

解得4=2,a2=—72.

【例2】在心△ABC中，ZC=90SAC=3,BC=4,CP、CM分别是AB上的高

和中线，如果圆A是以点4为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点、P、M均在圆A内;B.点P、M均在圆A外;

C.点尸在圆A内，点M在圆A外;D.点尸在圆A外，点M在圆A内.

【答案】c

【解析】

解：如图，；在RSABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,

c

AB=yl32+42=5,

•••CP,CM分别是AB上的高和中线,

/.AM=-AB=2.5,-AB.CP=-CB.CA,

222

/.5CP=12,

ACP=2.4,

*'-AP=dAd-CP2=，32-2.42=1.8,

VAP=l.8<2,AM=2.5>2,

...点P在圆4内、点M在圆4外.

所以A8,0都不符合题意，C符合题意.

故选：C.

［例3］如图，在△A8C中，AB=AC,8c=4,tanB=2,以AB的中点D为圆心,

为半径作。。，如果点3在。。内，点。在。。外，那么一可以取（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

如图，过点A作4尸，BC于点凡连接CO交A尸于点G,

9

：AB=ACfBC=4,

:・BF=CF=2,

VtanB=2,

=2,BPAF=4,:.AB=Q*S=2后，

•.•。为A8的中点,

BD=布,G是4ABC的重:心,

14

：.GF=-AF=-

33f

CG=J(^)2+22=,：.CD=^CG=y/[3,

•.•点8在。。内，点C在。。外,

小<r<y/i3,

故选8.

■【例4】如图，作出A3所在圆的圆心，并补全整个圆.

【答案】如图所示.

0

B

【解析】在AB上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆

心.

风【例5】如图所示，已知矩形A8CO的边=3cm,BC=4cm,以点A为圆心，4cm为

半径作。A,判断点B,C,。与。A怎样的位置关系.

【答案】点B在。A内，点C在。A外，点。在。A上

【解析】

解：连接AC,VAB=3cm,BC=AD=4cm,

AC=5cm,

；0A的半径为4,AB=3<4,

，点8在。A内,

£M=4,

...点。在。4上

C4=5>4,

・••点。在。A外.

BC

网【例6】如图，以点O'(1,1)为圆心，00'为半径画圆，判断点尸(-1,1),点0

(1,0),点R(2,2)和。0,的位置关系.

【答案】。'P>r,点尸在。O'外；。'0<「，点。在。。'内；07?=，，点R在。上.

【解析】

解：VOO,=r=Vl2+12=V2,O'P={(T_1)2+(1_1)2=2

同理可得：O'R=y[2，

点P在。。外;

O'Q<r,点。在。。，内;

O'R=r,点R在。。'上.

举一反三

1.如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B(-3,0),C(4,0),

则当点A在y轴上运动时，AABC的外心不可熊在()

A.第三象限B.第一象限C.第四象限D.x轴上

【答案】A

【解析】

解：,：B(-3,0),C(4,0),

:•边BC的垂直平分线在y轴的右侧,

三角形的外心0在不可能在第二象限或第三象限，故A错误;

当△ABC为锐角三角形时，三角形的外心。在三角形内部，并在第一象限，故8正确;

当△ABC为钝角三角形时，三角形的外心。在三角形外部，并在第四象限，故C正确;

当△ABC为直角三角形时，三角形的外心0在三角形斜边中点处，即在入轴上，故。正确,

故选：A.

2.已知△ABC中，AB=BC,若以点8为圆心，以A8为半径作圆，则点C在（)

A.在。8上B.在。8外C.在。8内D.不能确定

【答案】A

【解析】

"：AB=BC,

...点A,C均在以点8为圆心，以48为半径的圆上.

故选：A.

3.在直角坐标平面内，点A的坐标为(1,0),点8的坐标为3,0),圆A的半径为2.下列说

法中不氐晒的是()

A.当a=-l时，点8在圆A上B.当a<l时，点B在圆A内

C.当。<-1时，点8在圆A外D.当-l<a<3时，点B在圆A内

【答案】B

【解析】

如图:

VA(1,O),A的半径是2,

•\AC=AE=2f

：.0E=\f0C=3,

A.当。=-1时，点8在E上，即8在圆A上，正确，故本选项不合题意;

B.当〃=-3时、8在A外，即说当。<1时，点8在圆A内错误，故本选项符合题意;

C.当时、AB>2,即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意;

D.当T<“<3时，8在A内正确，故本选项不合题意;

故选:B.

4.下列命题中，错误的是（）

A.三角形重心是三条中线交点B.三角形外心到各顶点距离相等

C.三角形内心到各边距离相等D.等腰三角形重心、内心、外心重合

【答案】D

【解析】

试题分析：A、三角形的重心是三条中线的交点，正确;

B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等，故正确;

C、三角形的内心是三角平分线的交点，到各边的距离相等，故正确;

D、等边三角形的重心、内心和外心才重合，故错误,

故选D.

5.在RQAC8中，ZC=90°,AC=3,BC=3白，以点A为圆心作圆A,要使8、C两点中

的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长/•的取值范围是

【答案】3<r<6

【解析】

解：•.•RSACB中，ZC=90°,AC=3,BC=3后,

,AB=6,

如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，贝h>3,

点B在圆A外，则rV6,

因而圆A半径r的取值范围为3<r<6.

故答案为3<r<6；

6.如图，在“IBC中，ZC=90,AB=5cm,BC=4cm,以A为圆心，3cm为半径作圆.试

判断:

B

(1)点C与。A的位置关系;

(2)点B与。A的位置关系;

(3)A3的中点。与0A的位置关系.

【答案】⑴点C在。A上；(2)点8在。A外；⑶点。在。A内.

【解析】

VZC=90°,AB=5cm,BC=4cm,

AC=3cm,BA=5cm,DA=2.5cm,

(1)VAC=r=3cm,

・••点C在。A上;

(2)BA=5cm>3cm,

ABA>r,

・••点B在。A外;

(3)DA=2.5cm<3cm,

.\DA<r,

...点D在。A内.

o知识二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1.相关概念

弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧;

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径;

圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角;

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.半圆、优弧、劣弧

半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

优弧：大于半圆的弧叫做优弧.

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

如图，以A、C为端点的劣弧记作AC,读作“弧AC

以A、C为端点的优弧记作4BC,读作“弧ABC，.

3.等弧和等圆

能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等.若A8与是等弧，记作

AB=A'B'.

半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆.

4.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

5.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得

到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.

题型探究

【例7】（1）下列图形中的角是圆心角的是（)

【答案】B

【解析】

解：顶点在圆心的角叫做圆心角，4个选项中只有B符合要求.

故选:B.

(2)下列说法中，不正确的是()

A.圆心角的角度与它所对的弧的度数相等B.同圆中，所有半径都相等

C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形D.长度相同的弧是等弧

【答案】D

【解析】

A、圆心角的度数与它所对应的弧的度数相等，说法正确，故A不符合题意.

B、同圆中，所有半径都相等，说法正确，故B不符合题意.

C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故C不符合题意.

D、在同样大小的圆或同一个圆中，长度相同的弧是等弧，所以原说法错误，故D符合题意.

故选：D.

(3)下列四个命题:

①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等;

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等;

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等;

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.

真命题的个数有（)

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题

忌；

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意;

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意;

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意,

真命题有3个,

故选：C.

[例8]一条弦把圆分成I:3两部分，则弦所对的圆心角为

【答案】90.

【解析】•.•一条弦把圆分成1：3两部分,

整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360。+4=90。,

弦所对的圆心角为90。.

A，【例9】如图，在。0中，AB=AC,ZB=70。，则NS4C=

【答案】400.

【解析】•••在。0中，AB=AC,:.NC=NB,VZfi=7(T,

ZBAC=1800-ZB-ZC^40°.

【例10］如图，己知。。的半径是6,ZfiOD=30°,BD=BC,CD=

【答案】6.

【解析】•/BD=BC,ABOD=30°，：,NBOD=NBOC=30°,

...ZCOD=60°,,/OC=OD,\OCD是等边三角形,

CD=6.

Et【例11】如图，。«和0。2是等圆，P是。02的中点，过点P作直线4。交OQ于点A、

B,交。。2于点C、D.

求证：AB=CD.

D

A

【答案】详见解析.

【解析】作。iE_LAB于E,QF_LC£＞于尸，

P是002的中点，"EO、丝\PFO2,：.O,E=O2F,

,：oo,和。。2是等圆，...AB=8.

【例12】已知，如图，A3、CO是。。的直径，弦AE"CD,联结CE、BC.求证：BC

CE.

【答案】详见解析.

【解析】VOA=OEf：.ZA=ZOEAf

VAE//CD,：.ZBOC=ZA,/EOC=/OEA,

：.ZBOC=ZEOC,：.BC=CE.

风【例13】如图，。。是A4BC的外接圆，A。平分/84C,ZAOB=NBOC,判断AA8C

的形状，并说明理由.

【答案】等边三角形.

【解析】YA。平分N&LC，..•NaAOn/CAO,

■:OA=OC=OB,

:.ZABO=ZBAO=ZCAO=ZACO,

・•・ZAOB=ZAOC^

VZAOB=ZBOC.：.ZAOB=ZAOC=ZBOC,

AAB=BC=CA,，A4BC是等边三角形.

例14】己知，如图是。0直径,M、N分别是40、B。的中点，CM1AB,DNLAB.

求证：AC=BD.

【答案】详见解析.

【解析】连接。C、”>，则OC=O£>,

・・,例、N分别是A。、8。的中点，：,OM=0N,

u：CMLAB,DNtAB,\OCMAODN,

:・/COM=ZDON,/.AC=BD.

举一反三

1.下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两

个圆是同心圆，其中错误的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误;

②半圆是弧，正确;

③过圆心的弦是直径，故错误;

④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误,

故选：B.

2.如图，在。。中，AC=BD>乙4。£>=150。，/8OC=80。，则乙408的度数是（）

c

B

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】D

【解析】

・・・AC=BD，

:.AC-BC=BD-BC，

AB=CD，

・•.ZAOB=ZCOD.

VZAOD=\50°,ZBOC=80°,

...ZAOB=-X(150°-80°)=35°,

故选：D.

3.如图，已知AB是。O的弦，C是AB的中点，联结OA,AC,如果/OAB=20。，那么

ZCAB的度数是

【答案】35°

【解析】

连接C8,OB,CO.

C

B

由题意AC=CB，

，AC=C8,且AA8C是等腰三角形，ZCAO=ZCBO

■：AO=OB,在AAOB中

：.ZBAO=ZABO=20°

：.ZAOB=180°-NBAO-NABO=140。

•：AC=CB

ZAOC=NBOC=y408=70。

在AAOC中，AO=CO,

ZCAO=ZACO=(180°-70°)x1=55°

ZCAB=NCAO-NO48=55°—20°=35°

故答案为35°.

4.如图所示，AB.CD是。。的两条直径，CE//AB,求证：BC=AE-

D

【答案】见解析.

【解析】

证明:连接。石,

vCE/MB,

?.ZBOC=ZC,ZAOE=NE,

・；OC=OE,

/C=NE,

/.ZBOC=ZAOE,

BC=AE.

5.如图，弧ACMttCB,D,E分别是半径OA,OB的中点，求证：CD=CE

B

【答案】见解析.

【解析】

证明：连接oc.

-AC=8C，

AZAOC=ZBOC,

VOA=OB,D、E分别是半径OA和OB的中点,

.*.OD=OE,

VOC=OC（公共边），

/.△COD^ACOE,

.\CD=CE.

6.已知：如图，。是NAPC的角平分线PB上的一点，。。与P4相交于E,F点,PC相

交于G,H点,试确定线段反与G”之间的大小关系，并证明你的结论.

0GH

【答案】EF=GH,证明见解析

【解析】

解：EF=GH.

证明：作OMJ_EFfM,ON1,GH于N.

VO是NAOB的角平分线PB上的一点,

.'.OM=ON,

/.EF=GH

©

J课后作业

1.下列说法正确的是（）

A.一个三角形只有一个外接圆B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等

【答案】A

【解析】

解：A、一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确;

8、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误;

C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选

项错误;

。、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误;

故选：人

2.如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点。是△ABC外心的是（）

【答案】C

【解析】

解：A、此选项作图痕迹是作角平分线的交点，。是内心，不符合题意;

B、此选项作图痕迹是作角平分线和垂直平分线的交点，。不是外心，不符合题意;

C、此选项作图痕迹是作三角形边的垂直平分线的交点，。是外心，符合题意;

D、此选项作图痕迹只作了边BC上的垂直平分线，。不是外心，不符合题意,

故选：c.

3.在直角坐标平面内，点0是坐标原点，点A的坐标是（3,2）,点B的坐标是（3,-

4）.如果以点。为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内,

另一点在圆O外，那么r的值可以取（)

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

•••点A的坐标是（3,2）,点8的坐标是（3,-4）,

,。4=行商=9，

08=5/32+42=5,

•••以点。为圆心，r为半径的圆。与直线A8相交，且点A、8中有一点在圆。内，另一点

在圆。外,

AVi3<r<5,

，r=4符合要求.

故选B.

4.矩形A8CC中，AB=8,8c=36，点P在边A3上，且BP=3AP,如果圆尸是以点尸

为圆心，PO为半径的圆，那么下列判断正确的是（）.

A.点8、C均在圆P外;B.点8在圆P外、点C在圆P内;

C.点8在圆P内、点C在圆P外;D.点B、C均在圆P内.

【答案】C

【解析】

：AB=8,点P在边AB上，且BP=3AP

，AP=2,

根据勾股定理得出，r=PD=J(3舟+2-=7,

PC=yJpB2+BC2=762+(3>/5)2=j62+(3>/5)2=9,

VPB=6<r,PC=9>r

・••点B在圆P内、点C在圆P外，故选C.

5.下列说法中，正确的个数共有（)

(1)一个三角形只有一个外接圆;

(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;

(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等;

（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等;

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

(1)一个三角形只有一个外接圆，正确;

(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确;

(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确;

(4)三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误;

故选C.

6.在直角坐标平面内，点d的坐标为(LO),点3的坐标为(％0),圆d的半径为2.下

列说法中不正确的是()

A.当4=一1时，点3在圆dtB.当a<l时，点3在圆d内;

C.当4<-1时，点3在圆幺外D.当一1<[<3时，点3在圆幺内.

【答案】B

【解析】

VA(1,0),G)A的半径是2,；.AC=AE=2,；.OE=1,OC=3,

A、当a=-l时，点B在E上，即B在。A上，故本选项错误;

B、当a=-3时，B在。A外，即说当aVl时，点B在圆A内错误，故本选项正确;

C、当a<-l时，AB>2,即说点B在圆A外正确，故本选项错误;

D、当-l<a<3时，B在。A内正确，故本选项错误；故选B.

7.如图，在。。中，48是直径，AC是弦，连接。C,若NACO=25。，则N80C的度数是

()

A.40°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【解析】

解：・：OA=OC,

：.ZA=ZACO=25°,

・•・ZBOC=ZA+ZACO=250+25°=50°.

故选：B.

8.如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等“改写成“已知

求证……”的形式，下列正确的是（）

B

A.已知：在。O中，AD=BC•求证：NAOB=/COD,AD=BC.

B.已知：在。。中，AB=CD•求证：ZAOB=ZCOD,AB=CD.

C.已知：在。。中，AD=BC，NAOB=NCOD.求证：AD=BC.

D.已知：在。。中，/IB=CD>NAOB=NCOD.求证：AB=CD.

【答案】B

【解析】

A.AO所对的圆心角应为NAOD,BC所对的圆心角应为NBOC,相等的圆心角应为

=故A选项错误;

B.AB所对的圆心角为/AOB、所对的弦为AB,CO所对的圆心角为NCOD、所对的弦为

CD,故B选项正确:

C.由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故c选项错误;

D.由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误.

故选：B.

9.下列语句中正确的是（）

A.长度相等的两条弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所在直线是圆的对称轴

【答案】D

【解析】

解：人能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意;

8、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意:

C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以此选项不符合题意;

。、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以。选项正

确.

故选：D.

10.若。O所在平面内一点P到。O的最大距离为6,最小距离为2,则。0的半径为

【答案】2或4

【解析】

解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是(6-2)+2=2；

当点在圆内时，则这个圆的半径是(6+2)-2=4.

故答案为2或4.

11.已知RSABC中，ZC=90°,AC=3,BC=",CD±AB,垂足为点D,以点D为圆心

作OD,使得点A在。D外，且点B在G)D内.设。D的半径为r,那么r的取值范围是

79

【答案】丁一，

【解析】

解：,.,RSABC中，ZACB=90,AC=3,BC=77,

22

.•.AB=A/3+(>/7)=4.

VCD1AB,

.CD二辿

4

VAD«BD=CD2,

设AD=x,BD=4-x.

9

解得x="

，点A在圆外，点B在圆内,

79

『的范围是丁

79

故答案为5“

12.如图，△ABC中，ZA=70°,。。截△ABC的三条边所截得弦长相等，则/BOC=_.

【答案】125°

【解析】

•••△ABC中NA=70。，0截^ABC的三条边所得的弦长相等,

.,.O到三角形三条边的距离相等，即0是4ABC的内心,

.*./1=N2,N3=N4,N1+N3=g(180°-/A)=；(180°-70°尸55°；

ZBOC=180°-(Zl+Z3)=l80°-55°=125°.

故答案为125°.

13.已知。。的直径是4,。。上两点8、C分。。所得劣弧与优弧之比为1：3,则弦8c

的长为__________

【答案】20

【解析】

解：•••圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧,

劣弧的度数为：360按蓑9。？，

•••劣弧所对的圆心角的度数90。,

的直径是4,

AOB=OC=2,

•*-BC=yjoB2+OC2=A/22+22=2V2，

故答案为：2垃.

14.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZA=25°,以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点

D,交AC于点E,则BO的度数为

【答案】50°

【解析】

解：连接CD,如图,

B

\'ZC=90°,ZA=25°,

.'.ZB=90°-25°=65°,

■:CB=CD,

・・・N8=N8DC=65。,

，ZBCD=180o-65O-65o=50°,

•••8。的度数为50°.

15.如图，AABC内接于。。，NA=50。，点D是BC的中点，连接。。，OB,OC,则NBOO=

A

【答案】50。

【解析】

解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半,

ZA=-ZBOC,

2

/.ZBOC=100°,

•;OB=OC,

.•.△BOC为等腰三角形,

又・••点。是BC的中点，根据等腰三角形三线合一,

。为N80C的角平分线,

，ZfiO/)=50°,

故答案是：50°.

16.如图所示，己知矩形A8C£＞的边AB=3c、w,AD=4cm.

(1)以点A为圆心，4a”为半径作。A,则点8,C,。与