高中数学-向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

人教A版高中数学必修四第二章《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》教学设计一、教材分析：向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.二、学情分析：学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。三、教学目标：1、知识与技能

通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。四、教学重难点教学重点：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。五、教具选取三角板、投影仪、多媒体辅助教学。六、教学过程学习过程：一、课前准备（预习教材P87～P89，找出疑惑之处）二、新课导学探究：已知非零向量a，试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，你能说明它的几何意义吗？问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？向量数乘运算的定义：____________________________________长度和方向规定如下：（1）(2)问题2：你能说明它的几何意义吗？问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？问题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？共线向量定理：向量、共线，当且仅当有一个实数，使得.思考:1)为什么要是非零向量?2)可以是零向量吗?3)怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？小露一手：教材P90练习题4题三、典型例题例1、如图，点C在线段AB上，且AC=5,BC=2则有（1）(2)变式：平行四边形ABCD的两条对角线交于点M且，，你能用,表示;;例2、如图，已知,。试证明与共线。变式1：如图，已知,。试证明与共线。变式2：如图，已知，。试判断A、C、E三点位置关系。例3、已知任意两个非零向量，，试作，,。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？变式：在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD求证：M、N、C三点共线。练习：1、D是△ABC中BC边上的一点，且BD=BC,设，，则等于（）A、B、C、D、2、在平行四边形ABCD中，，，,M为BC的中点，则等于。课后思考课堂小结通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解向量共线定理，并能在解题中加以运用。人教A版高中数学必修四第二章《2.2.3向量的数乘运算及其几何意义》学情分析学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。1、知识掌握上，在学生掌握向量加减法的基础上，引进了向量的数乘运算及其几何意义，通过引进向量的数乘运算，进一步加强对共线向量的理解和应用。所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识的进一步应用提高学生的这些能力；2、心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且向量又是一个新生事物，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入时要能让学生们能够感兴趣；3、学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如向量的理解，向量数乘的引入是否具有实际意义，向量数乘的引入是否具有实际应用，共线向量定理的理解等。人教A版高中数学必修四第二章《2.2.3向量的数乘运算及其几何意义》效果分析问题设计及分值小组展示小组评价得分1.什么是向量的数乘运算？（5分）1组2组4组小组成员能较好开展合作学习，成员能基本参与到合作中来。3452.向量数乘的大小和方向是如何规定?（10分）3组5组6组小组成员能完成基本的交流，能基本完成学习任务8983.向量数乘的运算法则？（5分）4组2组小组内交流热烈，能通过讨论得到结论得到新的启示。444.向量数乘运算法则的应用？（5分）3组5组小组在分工和协作下基本完成任务。能够灵活的应用结论解决有关问题455.共线向量基本定理的内容？（10分）4组6组3组在小组分工协作下出色完成任务，并通过小组的讨论交流得到基本定理8976.共线向量定理的应用。（10分）2组1组小组分工协作下出色完成任务，并通过小组的讨论,大胆尝表达本组的讨论结果897.共线向量定理的综合应用。6组5组1组小组成员能完成基本的协作，能在老师引导下帮助本组同学完成任务121413学习小组学习效果评价表学校：班级：高一、20班总分：82.3分评价项目优秀（14—20分）合格（7—13分）差（0—6分）自我评价小组评价教师评价学习态度（20分）上课认真听讲，作业认真，参与讨论态度认真上课能认真听讲，作业依时完成，有参与讨论上课无心听讲，经常欠交作业，极少参与讨论16分18分18分主动发言（20分）积极主动发言或爬黑板，积极参与讨论与交流，大量掌握课内外知识能主动发言或爬黑板，有参与讨论与交流，掌握内课外知识。很少举手或爬黑板，极少参与讨论与交流，对课内外知识没兴趣17分16分17分敢于发问（20分）大胆提出和别人不同的问题，大胆尝试并表达自己的想法有提出自己的不同看法，能做出尝试不敢提出和别人不同的问题，不敢尝试和表达自己的想法17分16分16分合作效果（20分）在小组分工协作下出色完成任务，并通过小组的讨论交流得到新的想法。善于与人合作，虚心听取别人的意见小组在分工和协作下基本完成任务。能与人合作，能接受别人的意见。能达到预期的目的，证明得出结论小组学习任务完成比较差，缺乏与人合作的精神，难以听进别人的意见。没有体现小组分工和协作的合作精神。17分18分16分思维能力（20分）能有条理表达自己的意见，解决问题的过程清楚，做事有计划，具有创造性思维，能用不同的方法解决问题，独立思考能表达自己的意见，有解决问题的能力，但条理性差些，能用老师提供的方法解决问题，有一定的思考能力和创造性不能准确表达自己的意思，做事缺乏计划性，条理性，不能独立解决问题，思考能力差，缺乏创造性，不能独立解决问题15分14分16分【注】1.本评价量表对学生课堂表现情况的评价分为优良、合格、不合格三个等级，每个等级得分范围如表所示，可给出具体分数；总分为五项分数的累计；2.可根据课堂表现自我评价、小组评价、老师评价，最后取三者的平均分。3.分数每节统计一次，每两周公布一次，选出优秀小组成员和优秀小组。【评测分析】自己对学生形成性评价的认识结合班里的学生情况，我设计了课堂评价表，对学生自学和交流的学习过程以小组的形式进行评价。以往的教学中，教师总是根据以往的教学经验以及自己对教材的理解，直接将所谓的教学中的要点灌输给学生，并没有真正做到以学生为中心，根据学生的实际需要，实际的认知水平来设计自己的教学。同时我们对学生的评价不能只看一张考卷，不能只关注某一结果。也就是说我们对学生的评价既要关注结果，又要关注过程。同时对学生的评价也不能只靠老师一张嘴，要采取一种多元化的评价形式。《向量数乘运算及其几何意义》整节课的教学设计以我校提倡的“三段四步”课堂模式开展，并结合我校学生实际情况对教学模式有所变动。侧重通过教师的问题，引导学生积极参与课堂，发挥学生在学习中的主体性作用，体现新课标中所倡导的自主、合作和探究的精神。我们总共七个小组，每个小组大约七人，在课下已经下发导学案，所以对于每个题目的分数都很明确，另外，由于平时就使用小组教学，所以对小组的表现的课堂评价同学们都能熟练地使用。每组的组长、记录员在课下都已经安排好，所以课堂上并没有再体现。我们一直都是课下汇总，下节课之前公布结果，四周一大总结，评选出优秀小组，优秀个人。由于下发导学案，学生在自学环节，课堂表现优秀，因此能踊跃参与，准备充分，例如王传琪、王晓春、赵恒志、崔玲玲、肖菲、孟一汇等同学；在小组合作中，由于各组资源的均衡，组长能发挥积极的带头作用，各抒己见，表达观点。最后但是仍存在小发展组不均衡、个别小组讨论不够深入等问题，因此综合各小组本课地表现得出82.3分的成绩。今后在课堂中应加强小组合作和教师的课堂点拨，使小组更加合理、学习氛围更浓厚，对学生现状进行研究、探索，帮助学生正确认识自己、评价自己，拥有自信，实现个人价值。通过在数学教学中评价能力的培养，全面提高学生数学素养，以便及时对教与学的行为做出调节，提高学习的有效性。人教A版高中数学必修四第二章《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》教材分析（1）教材内容：“向量数乘运算及其几何意义”是普通高中课程标准试验教科书，人民教育出版社（A）版必修4，2.2.3节内容。主要内容是向量数乘运算的运算律及其向量共线定理。（2）地位与作用：“类比”的思想将向量数乘运算问题类比到实数运算问题，不仅是这节课的重要思想，也是我们学习新知识的一个重要方法。同时它是前面学过的向量加法减法运算法则的延续也为后面我们学习平面向量基本定理做好了铺垫。（3）教学重难点：这节内容的重点是向量数乘运算的意义，运算律及其向量共线定理。难点是向量共线定理的探究及其运用。（4）学情分析：通过前面对向量加减法德学习学生能轻易的处理向量加减法的作图问题，这对我们引领学生探究向量数乘运算的定义及其运算律大有帮助，但是另一方面用向量来解决一些平面几何的问题还是没有形成基本思路，作为高一的学生他们思维灵活，想象力丰富，求知欲强，对学习数学有一定的兴趣，能够积极参与探究，但在合作交流意识方面有待加强。为此我们应适当的多设计些共同完成的活动培养学生这方面的能力。人教A版高中数学必修四第二章《2.2.3向量的数乘运算及其几何意义》测评练习教学目标：1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。2、理解向量共线定理，能够运用定理解决共线等问题。3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。教学重点和难点：重点：向量数乘运算的意义、运算律，向量共线定理难点：向量共线定理的探究及其应用。教具：多媒体及课件准备一、自主学习问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？向量数乘运算的定义：____________________________________长度和方向规定如下：（1）(2)问题2：你能说明它的几何意义吗？小露一手：教材P90练习2、3题问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？（1）（2）（3）问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？例1．计算：（1）；（2）；（3）；小露一手：教材P90练习5题向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量，以及任意实数，恒有.题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？共线向量定理：向量、共线，当且仅当有一个实数，使得.思考:1)为什么要是非零向量?2)可以是零向量吗?3)怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？小露一手：教材P90练习题4题二、例题解析巩固概念例1、如图，点C在线段AB上，且AC=5,BC=2则有（1）(2)变式：平行四边形ABCD的两条对角线交于点M且，，你能用,表示;;例2、如图，已知,。试证明与共线。变式1：如图，已知,。试证明与共线。变式2：如图，已知，。试判断A、C、E三点位置关系。例3、已知任意两个非零向量，，试作，,。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？变式：如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD求证：M、N、C三点共线。

基础自测1、D是△ABC中BC边上的一点，且BD=BC,设，，则等于（）A、B、C、D、2、在平行四边形ABCD中，，，,M为BC的中点，则等于。3、在△ABC中，=,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则用a、b表示的形式是=_________.巩固提高5.在△ABC,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O是△ABC平面上的任意一点,若+=e1-e2,则=________.6.已知△ABC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,求证:=(a+b+c).拓展思考人教A版高中数学必修四第二章《2.2.3向量的数乘运算及其几何意义》课后反思向量数乘运算时向量的基本运算，由于向量数乘的几何意义，运算律，向量共线定理都依赖于向量数乘的定义，所以向量数乘运算的定义是本节课的重点。我的这次教学主要采用了教师引导，学生通过自己熟悉的物理知识进而感受数乘运算的几何意义，在次基础上抽象出向量数乘运算的定义，符合从特殊到一半的认识律。向量运算律的教学，主要是运算律的发现与验证。通过学生对运算律特例的画图验证，进一步理解向量数乘的意义和几何意义，这种猜想发现，直观验证的教学设计比较符合学生的实际水平，同时有助于培养学生的猜想探究能力。向量共线定理的是向量的重要定理，向量共线定理的发现并不困难，由向量数乘的定义不难看出，难点在于定理的论证和定理的应用。针对这个问题我用两个例题应到学生对向量共线定理的深入认识进而能够运用其来解决相关的集合问题。通过本次教学我也认识到一些自身存在的问题如：课堂语言不够简练，不够抑扬顿挫，以后在这方面还应多练习，多考究，让自己的语言更精练更有感染力，这样才能充分的调动学生的积极性，让自己的课堂更加充满活力。同时还要衷心的感谢我们数学组的各位老师为我出谋划策吗，以及无私的帮助。特别感谢杨永清老师和我的师傅任苍松老师给予我的指点和教导！通过这次赛课的准备过程，认识到了自己在上课中的不足新课的新理念还未贯彻到课堂中去；在教学方法上还要创新。教育教学是一项长期的工作，在今后的教学中还要多钻研，多听课，多研究，力争使自己早日成为一名优秀的中学教师！人教A版高中数学必修四第二章《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》课标分析一、《普通高中数学课程标准》（阶段目标）新课标明确提出数学教学要“全面提高学生的数学素养，充分发挥数学课程的育人功能”,高中数学课程应帮助学生获得内涵丰富的数学素养，在工作、学习和生活中有效地发挥其作用，能适应需要，继续发展，不断提高。引导学生积极参与实践活动，学习认识社会、认识自我、规划人生，在促进学生走向自立的教育中产生重要的作用。二、教材在课程价值实现中的定位向量的数乘运算是继向量的加、减运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排一课时，主要研究数乘运算及其几何意义、共线向量定理及其应用。本节课的主要学习任务是通过物理中“位移”的事例抽象出向量数乘运算的概念，在此基础上探究数乘运算的定义与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数乘运算的定义