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文档简介
期中考试时间定于5月5日，考试范围6，7，8章(具体时间，地点另通知）往年期中试卷在公共邮箱含参积分连续性表明:定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.即对任意x0
˛
[a,b],balimxfi
x0f
(x,
y)
d
y
=balim
f
(x,
y)
d
yxfi
x0机动目录上页下页返回结束含参积分可积性表明:累次积分可交换求积顺序,220y
cos(xy)
d
y例：limxfi
010ln
xabd
x
(0
<
a
<
b).x
-
x例.
求I
=bayx
d
y解:
由被积函数的特点想到积分:y=
ln
x
a
ln
xx
b
xb
-
xa=bayx
d
yd
x10\
I
=yb
1=
a
d
y0
xd
y0d
x
=
a
y
+1
b
x
y+1
11a
y
+1b=
a
+1d
y
=
ln
b
+1(x
y
在[0,1]·[a,b]上连续)机动目录上页下页返回结束矩形域R
=[a,b]·[定理3.
(可导性)若f
(x,y)及其偏导数f
x
(x,y)都在baf
(x,
y)
d
ya
,b]上连续,则j
(x)=在[a,b]上连续可连,且d
xj
¢(x)
=
dbf
(x,
y)
d
y
=aaxbf
(x,
y)
d
y证:令bag(x)
=f
x
(x,y)dy,则g(x)是[a,b]上的连续函数,故当x
˛
[a,b]时,axf
(x,
y)
d
y
]d
xa
x
x
bg(x)
d
x
=
[a[f
(x,
y)
d
x
]d
ya
¶x¶=b
xa机动目录上页下页返回结束[f
(x,
y)
-
f
(a,
y)
]d
ybaj
(x)
=
g(x)xag(x)
d
x
=
===
j
(x)
-j
(a)因上式左边的变上限积分可导,因此右边j
(x)可微，且有baf
x
(x,
y)
d
y此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,
求导与求积运算是可以交换顺序的
.机动目录上页下页返回结束例.10d
x.1
+
x2ln(1
+
x)求I
=解:
考虑含参变量
t
的积分所确定的函数10d
x.1
+
x2ln(1
+
x)j
(t)
=t显然,ln(1
+t
x)在[0,1]·[0,1]上连续,j
(0)=0,j
(1)=I
,由于xd
x0
(1
+
x2
)(1
+
t
x)1
+
x21j
¢(t)
=
[tt]d
x1
x101
+
t
x-1
+
x2+1
+
t
2
1
+
x2=机动目录上页下页返回结束21[1
ln(1
+
x2
)
+
t
arctan
x
-
ln(1
+
t
x)=102
41
+
t
211
+
t
2=
[1
ln
2
+
p
t
-
ln(1
+
t)10
1
+
t
21I
=
j
(1)
-j
(0)
=
[1
ln
2
+
p
t
-
ln(1
+
t)
]d
t2
40112=0128ln
2
arctan
t
+
ln(1
+
t
)pd
t101
+
t
2ln(1
+
t)-
4=
p
ln
2
-
I故8I
=
p
ln
2因此得机动目录上页下页返回结束二、积分限含参变量的积分在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,设f
(x,y)为定义在区域a
(x)
£
y
£
b(x)a
£
x
£
boyb
xay=a
(x)y
=
b(x)D上的连续函数,
则f
(x,
y)
d
yb
(
x)a
(
x)j
(x)
=D
:也是参变量x
的函数,其定义域为[a
,b
].利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.机动目录上页下页返回结束定理4.(连续性)若f
(x,y)在区域D
:{(
x,
y)
a
(x)
£
y
£
b
(x),
a
£
x
£
b}f
(x,
y)
d
y上连续,其中a
(x),b(x)为[a,b]上的连续函数,则函数b
(
x)a
(
x)j
(x)
=在[a,b]上连续.证:
令
y
=a
(x)
+
t
[b(x)
-a
(x)],
t
˛
[0,
1],
则1)j
(x)
=
0
f
(x,由于被积函数在矩形域[a,b]·[0,1]上连续,由定理1知,上述积分确定的函数j
(x)在[a,b]上连续.f
(x,
y)
d
ya
(
x)j
(x)
=在[a,b]上可微，且b
(
x)a
(
x)j
¢(x)
=f
x
(x,
y)
d
y
+
f
(x,
b(x))b
(x)-
f
(x,a
(x))a
(x)j
(x)
=
H
(x,a
,
b)=证:把j
(x)看作复合函数,令baf
(x,
y)
d
y,
b
=
b(x),
a
=a
(x)定理5.(可微性)
若
f
(x,
y)
及其偏导数
f
x
(x,
y)
都在矩形域
R
=[a,b]·[c,
d
]上连续,
a
(x),
b(x)为定义在[a,
b]上
其值域含于
[c,
d
]中的可微函数,
则b
(
x)机动目录上页下页返回结束利用复合函数求导法则及变限积分求导,得j
(x)
=
H
(x,a
,
b)
=bf
(x,
y)
d
y,
b
=
b(x),
a
=a
(x)a¶x
¶a
¶bj
¢(x)
=
¶H
+
¶H
a
¢(x)
+
¶H
b¢(x)=b
(
x)a
(
x)f
x
(x,
y)
d
y
+
f
(x,
b(x))b
(x)-
f
(x,a
(x))a
(x)机动目录上页下页返回结束yx2
sin
xyd
y
,求j
¢(x).例3.
设j
(x)=xx2解:
j
(x)
=xx2sin
x3cos
xy
d
y
+12x
-xsin
x2xx
sin
xy
x2=
x2sin
x3+xsin
x2-x3sin
x3
-
2sin
x2=机动目录上页下页返回结束例4.设f
(x)在x
=0
的某邻域内连续,验证当|
x
|
充分小时,函数x0(
x
-
t
)n-1
f
(t
)
d
t(n
-
1)!
1
j
(
x)
=的n
阶导数存在,且j
(n)(x)=f
(x).证:
令
F
(
x,
t
)
=
(
x
-
t
)n-1
f
(t
)
,
显然,
F
(
x,
t
)
及
F
(
x,
t
)x在原点的某个闭矩形邻域内连续,
由定理5
可得¢x0n-2
1
(n
-
1)!j
(
x)
=(n
-
1)(
x
-
t
)
f
(t
)
d
t1(
x
-
x)n-1
f
(
x)(n
-
1)!+=x0n-2f
(t
)
d
t(
x
-
t
)
1
(n
-
2)!¢x0n-2f
(t
)
d
t(
x
-
t
)
1
(n
-
2)!j
(
x)
=即同理0¢xn-3f
(t
)
d
t
,(
x
-
t
)
1
(n
-
3)!j
(
x)
=x0(
n-1)f
(t
)
d
tj
(
x)
=j
(
n)
(
x)
=
f
(
x)当x=0
时，有j
(0)
=
j
¢(0)
=
=
j
(
n-1)
(0)
=
0含参量反常积分1、含参量反常积分的定义若对每一个固定的
,
反常积分x
˛
[a,b]设f
(x,y)是定义在无界区域R{(x,y)a
£
x
£
b,c
£
y
<+¥}上+¥cf
(x,
y)dycf
(x,
y)dy,
x
˛
[a,
b]I
(x)
=都收敛,则它的值是x
在区间[a,b]上取值的函数,表为+¥称为定义在[a,b]
上的含参量
x的无穷限反常积分,
或简称为含参量反常积分.1.
积分顺序交换定理
+¥
+¥dcdca
adxdyf
(x,
y)
dyf
(x,
y)
dx
=2.
积分号下求连的定理+¥
+¥aa
d
dy¶
f
(x,
y)
dx¶yf
(x,
y)
dx
=例6
计算积分+¥02a
2-(
x
+
)
e
x
2
dx解+¥022dxexa
2-(
x
+
)=+¥02dxexa-(
x-
)
-2adxx-(
x-a
)2+¥=
e-2a
e令xa=
t0x
-+¥
e-t-¥2+¥(1
+)22
)dxxadt
=
e0ax-(
x-0adx-(
x
-
a
)
20+¥dx
-
e+¥=
ex-(
x-a
)2在第二项积分中令-
a
=
yx得02d
ax+¥
-(
x-a
)-
e
x0)2dy+¥=
eayx-(
y
-故+¥0)22dxexa2-(
x
+0dxx-(
x-a
)2+¥=
e-2a
e2-2a=
ep2-te
dt-2a=
e+¥0四、重积分的应用几何方面面积
(
平面域或曲面域
)
,
体积物理方面质量,转动惯量,质心,引力其它方面证明某些结论等机动目录上页下页返回结束1.
能用重积分解决的实际问题的特点所求量是分布在有界闭域上的整体量对区域具有可加性用重积分解决问题的方法用微元分析法(元素法)解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便机动目录上页下页返回结束一、立体的体积二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积．xzyoDz
=
f
(
x,y)占有空间有界域W
的立体的体积为V
=
W
dxd
ydzV
=
f
(
x,
y)ds
.D曲顶、曲底柱体体积v
=[f2(x,y)-f1(x,y)]dxdyD例1
求球体x2
+
y2
+
z2
£
4a2被圆柱面x2
+y2
=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。(a
>0)解 显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体积为V1
，则所求立体的体积为V
=
4V1
.yzo2a2a2axV1
可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为yzo2a2a2axz
=
4a2
-
x2
-
y2
.它的底D
由半圆周y
=2ax
-x22axyor
=
2a
cosqD及x
轴围成。用极坐标系表示D
:p0
£
q
£
2
,0
£
r
£
2a
cosq
.于是，4a2
-
x2
-
y2
dsrdrdqV1
=
D=
D4a2
-
r
22a
xyor
=
2a
cosqD4a2
-
x2
-
y2
dsrdrdqDV1
=
D=
4a2
-
r
2004a2
-
r
2
rdr=2a
cosqp
2dq
1
2004a2
-
r
2
d
(4a2
-
r
2
)=
-2a
cosqp
2dq=033
8
3p
2a3
2
3(1
-
sin
q
)dq
=
8
a3
(
p
-
2
)所求立体体积V
=
4V1=
32
a3
(
p
-
2
)3
2
3另解：V=4V1W
1Ddz4a2
-x2
-
y2V1
=
dv
=
dxdy0yzxzyxD4a2
-
x2
-
y2
dxdy=
D二、面积D1.
平面图形面积AD
=
ds解：例1.求由抛物线y=(x-2)2+1,
直线y=2x所围图形的面积.y=(x-2)2+1y=2x(1,
2),
(5,
10)A
=ds=2x(x-2)
+1512dydx=D512(6x
-
x
-5)dx323=y=(x-2)2+110012525=
A
A
dxdyD=
rdrd
qD以ds
边界为准线，母线平行于z轴的小柱面，截曲面s
为ds；截切平面S
为dA，则有dA
»ds.在xoy
面上的投影区域为D,如图，设小区域ds
˛
D,点(x,y)˛
ds
,S
为S
上过M
(x,y,f
(x,y))的切平面.Mx(
x,
y)
ydszsdASo2.
曲面面积１．设曲面的方程为：z
=f
(x,y)A
=
dS思考问题因为ds
为dA
在xoy
面上的投影,所以
ds
=
dA
cosg,x
y1
+
f
2
+
f
2
dA
=
1
+
f
2
+
f
2
dsx
yDA
=1
+
f
2
+
f
2
ds
,x
y---曲面S
的面积元素曲面面积公式为：xyDA
=
1
+
(
¶z
)2
+
(
¶z
)2
dxdy¶x
¶ycosg
=
1
,即为平面的法向量与z轴的夹角g为切平面与xoy平面的夹角，３．设曲面的方程为：y
=
h(z,
x)曲面面积公式为：D
¶y
2+
¶x
dzdx.
¶y
21
+
¶z
A
=
zx２．设曲面的方程为：x
=
g(
y,
z)曲面面积公式为：yzD
¶x
2+
¶z
dydz;
¶x
21
+
¶y
A
=
同理可得注：1、确定投影区域、曲面方程
2、计算曲面微元3、计算二重积分若光滑曲面方程为隐式则x
y(x,
y)
˛
D¶
z
=
-
Fy
,¶
y
Fz¶
z
=
-
Fx
,¶
x
Fz\
A
=
Dx
yFzFx
2
+
Fy
2
+
Fz
2且dx
d
y机动目录上页下页返回结束例1：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内部的那部分面积.yzxa2
-
x2
-
y2解：A=4A1S
:
z
=y≥0.yDxyxDxy:
x2+y2≤ax,zS22aa2
-
x2
-
y2)
=(
)
+(¶z¶x
¶y1+
¶za1Dxya2
-
x2
-
y2A
=22rdrdqaa
-rdxdy
=D*p020dqa
cosqdra2
-r2r=
a,xa2
-
x2
-
y2¶x¶z
=
-,ya2
-
x2
-
y2=
-¶y¶zzyxDxySp020dqa
cosqdra2
-r2r=
a00p=
a
2
[-
a2
-r2
]a
cosq
dq202(1-sinp=
a22-1)pq)dq
=
a
(\
A=4A1=2(p-2)a2例2.求由抛物线z=x2
上从x=1
到x=2
的一段绕z
轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积.解：S:z=x2+y2Dxy:
1≤x2+y2≤222)2
=
1+4x2
+4y¶z¶x
¶y1+(¶z
)
+(A
=
1+4(x2
+
y2
)dxdyDxy=
1+
4r2
rdrdqDxyz=x2012
xyzDxyS=Dxy22101+4r2
rdr1+
4r
rdrdq
=2pdq8
11+
4r2
d(1+
4r2
)=
2p
1
2214
33(1+4r2
)2=p
26=
p
(17 17
-5
5)例3.求半径相等且对称轴垂直相交的两个圆柱体的xyzRRoz
=
R2
-
x2公共部分的表面积.解:设两个圆柱体的方程为x2
+
y2
=
R2
,
x2
+
z
2
=
R2如图所示。其在第一象限内公共部分的表面积利用对称性,立体的表面积A1A
=16
A1A1
部分的曲面方程为投影区域为
D
={(x,
y)
|
x2
+
y2
£
R2
,
x
>
0,
y
>
0}DR2
-
x2A
=16
1+(
-x
)2
dxdyDR2
-
x2=16
R
dxdy=16R2201RR2
-x2R
-
xdx0
dy0Rdx=16R=16R2xyzRRo1AxR2
-
x2y得12
2DA
=16
A
=161+(
-x
)2R
-
x由
z¢=
-x
, z¢=
0,dxdy二、物体的质心设xoy平面上有n个质点，它们分别位于(x
,y
)，(x
,y
)，,(x
,y
)处，质量分别1
1
2
2
n
n为m
,
m
,,
m
．则该质点系的质心的坐标为1
2
nimMni=1Mx
=
y
=
i=1，in
ni
i
i
im
m
x
m
yMni=1y
=
Mx
=
i=1．2.
质心坐标的计算设薄板形成的有界区域为D,密度m
(x
,y
)问题:计算变密度平面薄板的质心坐标(x,y)yx0D将D
划分成n
个子区域:Ds
i
, i
=
1
,
2
,
,
n当Dsi
充分小时,密度m
(x
,y
)在Dsi
上近似不变任取(xi
,hi
)
˛
Ds
i
, i
=
1
,
2
,
,
nnnx
»
i
=1
m(xi
,hi
)Ds
ii
=1xi
m(xi
,hi
)Ds
inny
»
i
=1
m(xi
,hi
)Ds
ii
=1hi
m(xi
,hi
)Ds
i记
l
=
max{d
(Ds
i
)}
,
则有1£i£nnni
=1lfi
0m(xi
,hi
)Ds
ixi
m(xi
,hi
)Ds
ix
=
lim
i
=1
=
D
m(
x,
y)dsD
xm(
x,
y)dsni
i
ini
=1lfi
0m(x
,h
)Dshi
m(xi
,hi
)Ds
iy
=
lim
i
=1
=
D
m(
x,
y)dsD
ym(
x,
y)ds薄板的质心坐标:x
=
D
m(
x,
y)dsD
xm(
x,
y)dsy
=
D
m(
x,
y)dsD
ym(
x,
y)ds(1)若m(x
,y)=c,此时DDx
=
1
xdsDDy
=
1
yds称为图形D
的形心坐标空间物体占有空间区域V
,点(x,y,z)处的密度m(x,y,z)(连续),此空间物体的质心(重心)(x,y,zV
ym
(
x,
y,
z)
d
x
d
y
d
zy
=V
m
(
x,
y,
z)
d
x
d
y
d
zV
zm
(
x,
y,
z)d
x
d
y
d
zz
=V
m(
x,
y,
z)d
x
d
y
d
zV
xm
(
x,
y,
z)
d
x
d
y
d
zx
=V
m
(
x,
y,
z)
d
x
d
y
d
z解zyx
2
+
y2例求曲面az
=x
2
+y
2
,(a
>0)与曲面z
=所界区域的重心坐标(设密度m
为常数)重心坐标(x,y,z
)为
mdVWdVW
mxdV
xdVx
=
W
=
W
dVW
ydVy
=
W
dVWx
zdVz
=
W
由于Ω关于yz
,xz
平面对称
xdV
=
0
,
ydV
=
0
x
=
y
=
0W
W利用柱面坐标计算三重积分Ω在xoy
平面上的投影区域:ar
2az
=
x
2
+
y2
fi
z=z
=
x
2
+
y
2
fi
z
=
raW
0
0rr
22p
adV
=
dq
dr
rdzx
2
+
y
2
£
a
2zyxaW
0
0rr
22p
adV
=
dq
dr
rdza0r
26pa3=
2p
r(r
-
a
)dr
=arr
22p
a
aa021
zdV
=
dq
dr
rzdz
=
2p
r2
rz
r
2
dr421W
0
0a=
p
r(r
-
2
r
)dr0
apa
4=
122
z
=
a
重心坐标2(0
,
0
,
a
)例：设曲线y
=x2与直线x
=0,y=t(t>0)在第一象限围成一均匀薄片，求此薄片形心的轨迹.
yds
dsD5=
3
ty
=
x2(
t
,
t
)yxD解:x
=
xdsD
ds22xtxt
tdx
xdytdx
dy=0
0
38t=22txtxtdxydytdx
dyy
=
D
=
00
35
x
=
8
t质心轨迹的参数方程：
y
=
3
t64
15x
2直角坐标下：y
=例：半径为b的半球体挖去一个半径为a(a
<b)的同心半球体，求此均匀物体的质心.解：建立坐标系,\
x
=
y
=
0设密度r(x,y,z)=k(常数)以物体的球心为原点，对称轴为z轴，xyz由对称性，V
kxdV
=V
kydV
=
0,只需求
z
=
V
zkdVV02pdqzkdV
=k
0p2dj2bar
cosj
r
sinjdj3323Vkp
(bkdV
=-
a
),3(b4
-
a4
)z
=
W
=8(b3
-
a
3
)
zdV
dVW)3(b4
-
a4
)8(b3
-
a
3
)质心为(0,0,4=
p
k(b4
-
a4
)例：半径为R的半球上接半径相同的直圆柱它们由同样密度的均匀材料制成，问圆柱高h为多少时，形心在球心解：建立坐标系如图x
=
y
=
0
Wz
=
zdV
W
dVh由对称性，上
下W
W
W
zdV
=
zd
V
+
zdVW为
使
z
=
0，
只
需
zd
V
=
0xyzxyh上
下W
WW
zdV
=
zd
V
+
zdV24p
h
2
R2
p
R
4=-0hdz=020h-
R=
p
Rzdz
+
pz(
R2
-
z
2
)dzz2D
:
x2
+
y2
£
R2
-
z2z1D
:
x2
+
y2
£
R22R\
h
=Dz
1zdxdy0-
R+Dz
2zdxdydz
三、转动惯量J
=
mr
2质点组的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.rAl质点
A
对于轴
l
的转动惯量
J
等于
A
的质量
m和A
与转动轴l
的距离r
的平方的乘积,即因此该物体对z
轴的转动惯量:Jz
=
(
x
+
y
)r
(
x,
y,
z)
d
xd
ydz2
2V=
(
x2
+
y2
)r
(
x,
y,
z)
d
vzd
JxVyoz对z
轴的转动惯量为x
2
+
y2到z
轴的距离为x
2
+
y2从而设
r
(
x,
y,
z)为空间物体
V
的密度函数，求
V
对z
轴的转动惯量.
在该物体位于(
x
,
y
,
z
)
处取一微元，其体积记为
dV
，质量为
r
(
x,
y,
z)
dV•(
x,
y,
z)VJ
x
=
(
y2
+
z
2
)
r
(
x,
y,
z)
d
xd
ydz类似可得:对x
轴的转动惯量对y
轴的转动惯量(
x
2
+
z
2
)对原点的转动惯量JO
=
(
x2
+
y2
+
z2
)
r
(
x,
y,
z)
d
xd
ydzV一般说来，若V
中的点(x
,y
,z
)到转动轴l
的距离为r(x,y,z),
则转动惯量为r
2
(
x,
y,
z)J
xy
=
z
2
r
(
x,
y,
z)
d
xd
ydz对坐标平面的转动惯量分别为对xy
平面的转动惯量V对yz
平面的转动惯量x
2对xz
平面的转动惯量y2如果物体
D
是平面薄片,
面密度为
r
(
x,
y),
(
x,
y)
˛
Dxyo则转动惯量的表达式是二重积分.y2x
2一般说来，若D
中的点(x
,y
)到转动轴l
的距离为r(x,y),
则转动惯量为r
2
(
x,
y)•D(
x,
y)例4
求密度均匀的圆环
D
对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量zyx解设圆环D
为密度为ρ，则D
中任一点(x
,y
)与转轴的距离为于是转动惯量D1cos
2q0
£
r
£
ax0p442
240dqpcos
q
cos
2qdq=
ma230(cos
2p4ma4q
)dq=q
+
cos
22ma4
p
24
4
3=(
+
),1IO
=
4m
(
x
+
y
)ds2
2D8a4pm=例:设D是由曲线(
x2
+
y2
)2
=
a2
(
x2
-
y2
)所围的均匀薄片，求它对y轴和原点的转动惯量解：曲线的极坐标方程
r2
=
a2
cos
2qyDI
y
=
=
4mx2
mds
=
4m
x2ds0D1a
cos
2qr3
cos2qd
rW=
r
(
r
2
sin
2
f
cos2
q
+
r
2
sin
2
f
sin
2
q)Wr
2
sinj
drdj
dqolzxy22
13=
r2p0dq球体的质量3M
=
4pa3
rpsin
j
dj03ar
d
r04例.求均匀球体对于过球心的一条轴l
的转动惯量.解:
取球心为原点,
z
轴为
l
轴,
设球所占域为则(x2
+y
2
)r
dxd
ydz
(用球坐标)机动目录上页下页返回结束求密度为 的物体
V对物体外质量为
1的的单位质点
A
的引力设A
点的坐标为在该物体位于(x
,y
,z
)处取一微元，其体积记为dV
，质量为dm
=
r
(
x,
y,
z)
dV对质点A
的引力为四、引力xr
3dF
=
k
x
-x
r
dV(
x
-x,
y
-h,
z
-V)rr
21
dm
1dF
=
k=
k
r
(
x,
y,
z)dV
(
x
-x,
y
-h,
z
-V)r
3其中k
为引力常数，r
=
(
x
-
x)2
+
(
y
-h
)2
+
(z
-
V)2该引力在坐标轴上的投影为yr
3dF
=
k
y
-h
r
dVzr
3dF
=
k
z
-V
r
dV于是所求力在坐标轴上的投影分别为rVxF
=
kr
3x
-x
r
dVVyF
=
kr
3
y
-h
r
dVVzF
=
kr
3z
-V
r
dV所以F
=
(Fx
,
Fy
,
Fz
)xyzaRo例7.
求密度ρ
的均匀球体V
：的单位质量质点的引力.解:
利用对称性知引力分量
Fx
=
Fy
=
0F
=z
V[
x2
+
y2
+
(z
-
a)2
]3
2kr
z
-
a
dVR-R(z
-
a)dz=
krdq2p
R2
-z
2
0
0[r
2
+
(z
-
a)2
]3
2rdr对位于点Dz32
2
2[
x
+
y
+
(z
-
a) ]
2d
x
d
yADzR-R(z
-
a)dz=
kr2
2
2
2Dz
:
x
+
y
£
R
-
zR-
R(z
-
a)=
2p
kr
d
z-221R
-
2az
+
a1a
-
z=
2p
kr
1aR
(z
-
a)
d-
R3a2=
-
4
pR3krR2
-
2az
+
a2
-
2R
-dq2p
R2
-z
2
0
0[r
2
+
(z
-
a)2
]3
2rdrR-R(z
-
a)dz=
krR-R(-1
-
z
-
a
)
d
zR2
-
2az
+
a2=
2p
krdszDF
=
-aG32r(x,
y)(x
+
y2
+
a2
)2=
-aGrD23
ds(x
+
y
+
a
)1222oyzxF例
求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片：x2
+
y2
£
R2，z
=
0对位于z
轴上的点M
(0,0,a)处的单位质点的引力．(a
>
0)0解
由积分区域的对称性知
Fx
=
Fy
=
0,rdrR0032(r
2
+
a2
)12pdq=
-aGr11
-
.a+
aR2
2=
2pGar所求引力为1221
-
.aR
+
a0,
0,
2pGar利用对称性知引力分量Fx
=
Fy
=
0mdvxyD
:
0
£
r
£
R0300Rz2pdqrdr-h
(z
-
a)
d=
Gmm解Rxyoza
mdvRr)dr-r2
+
(a
+
h)2r2
+
a2=
2pGmm
(0zF
=
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