山东省青岛市第十五中学2021年高三数学理测试题含解析

山东省青岛市第十五中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某棵果树前n年的总产量与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。则m的值为

（

）（A）5

（B）6

（C）8

（D）11参考答案：C2.若不等式4x2﹣logax＜0对任意x∈（0，）恒成立，则实数a的取值范围为(

) A．[，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，]参考答案：A考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，x∈（0，）时，函数y=4x2的图象在函数y=logax的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得4×≤，解此对数不等式求得a的范围．解答： 解：∵不等式4x2﹣logax＜0对任意x∈（0，）恒成立，∴x∈（0，）时，函数y=4x2的图象在函数y=logax的图象的下方，∴0＜a＜1．再根据它们的单调性可得4×≤，即loga≤，∴≥，∴a≥．综上可得，≤a＜1，故选：A．点评：本题主要考查对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．3.雅礼中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k=20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（）A．177 B．157 C．417 D．367参考答案：B【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义进行计算即可得到结论．【解答】解：根据系统抽样的定义可知抽取的号码构成以17为首项，公差d=20的等差数列{an}，∴an=17+20（n﹣1）=20n﹣3，n=8，a8=157，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．4.6．设函数则不等式的解集是（）Ａ．

B．C．D．参考答案：A略5.函数y=ax-1+1(a>0且a≠1)的图象一定经过点()

A.（0，1）

B.

（1，0）

C.（1，2）

D.（1，1）参考答案：C6.已知数列{an}，an=2n+1，则=（）A． B．1﹣2n C． D．1+2n参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】先求出数列的第n项=，然后根据等比数列的求和公式进行求解即可．【解答】解：an+1﹣an=2n+1+1﹣（2n+1）=2n∴=∴=++…+=故选C．7.若复数(为虚数单位),是的共轭复数,则的实部为A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，在△ABC内任取一点，则此点取自正方形DEFC内的概率为A. B.C. D.参考答案：B【分析】先求出正方形DEFC的面积，再根据几何概型概率求结果.【详解】设正方形DEFC的边长为，则，因此所求概率为，选B.【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．9.在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列所给图象中可能正确的是（

）参考答案：D10.设是一次函数，若则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于（）A．n(2n+3) B．n(n+4) C．2n(2n+3) D．2n(n+4)参考答案：A由已知可得，f（x）=kx+b，（k≠0），∵f（0）=1=k×0+b，∴b=1．∵f（1），f（4），f（13）成等比数列，且f（1）=k+1，f（4）=4k+1，f（13）=13k+1．∴k+1，4k+1，13k+1成等比数列，即（4k+1）2=（k+1）（13k+1），即16k2+1+8k=13k2+14k+1，从而解得k=0（舍去），k=2，f（2）+f（4）+…+f（2n）=（2×2+1）+（4×2+1）+…+（2n×2+1）=（2+4+…+2n）×2+n

=4×+n=3n+2n2。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知两个非零向量

，定义，其中为的夹角．若，，则___▲___参考答案：612.、如图，是半圆的直径，与相交于点，且．若，则的长为

．参考答案：13.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若,，则

．参考答案：略14.若变量满足约束条件，且的最小值为，则.参考答案：求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,,当为最优解时,,因为,所以,故填.【考点定位】线性规划

15.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{an}中，a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）则a8=；若a2017=m2+2m+1，则数列{an}的前2015项和是（用m表示）．参考答案：21；m2+2m．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和特征方程可得an=C1x1n+C2x2n，由已知数据解方程组可得C1=，C2=﹣，可得an，代值计算可得a8，迭代法可得an+2=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+…+a2+a1+1，可得S2015=a2017﹣1，代值计算可得．【解答】解：由题意“斐波那契数列”是一个线性递推数列．线性递推数列的特征方程为：x2=x+1，解得x1=，x2=，则an=C1x1n+C2x2n，∵a1=1，a2=1，∴，解得C1=，C2=﹣，∴an=[（）n﹣（）n]，∴a8=[（）8﹣（）8]=21，∵an+2=an+an+1=an+an﹣1+an=an+an﹣1+an﹣2+an﹣1=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+an﹣2=…=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+…+a2+a1+1，∴S2015=a2017﹣1=m2+2m．故答案为：21；m2+2m．【点评】本题考查数列的递推公式，由特征方程得出系数是解决问题的关键，属中档题．16.已知向量若则

参考答案：17.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_________．参考答案：6π略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）设为各项不相等的等差数列的前n项和，已知.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列{}的前n项和，求.参考答案：解：（1）设数列的公差为d，则由题意知解得（舍去）或所以.(5分)（2）因为=，所以=++…+=.（10分）

19.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=（1）求证：平面AB1C⊥平面B1CB；

（2）求三棱锥A1﹣AB1C的体积．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）要证平面AB1C⊥平面B1CB，根据面面垂直的判定定理，只要在平面平面AB1C内找一直线垂直平面B1CB，根据已知条件可证BB1⊥AC，AC⊥BC，从而可得（2）由（1）可知B1C1⊥平面A1AC，故考虑利以B1为顶点求解体积，即利用进行求解【解答】解：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，则BB1⊥AB，BB1⊥BC，又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，所以有平面AB1C⊥平面B1CB；（2）三棱锥A1﹣AB1C的体积20.A、B、C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：A班12

13

13

18

20

21B班11

11.5

12

13

13

17.5

20C班11

13.5

15

16

16.5

19

21

（1）试估计A班的学生人数；（2）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（3）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.参考答案：（1）36；（2）；（3）.【分析】（1）利用分层抽样的方法即可得到答案；（2）利用古典概率的公式即可得到答案；（3）利用分类和分步计数原理和组合公式即可得到答案.【详解】（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样的方法可知班的学生人数估计为人．

（2）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+2+4=9种，所以.

由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为.

（3）设从班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有人一周上网超过15小时为事件,从班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件，则所求事件的概率为：.【点睛】本题主要考查分层抽样，古典概型及计数原理和组合公式，属基础题.21.如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC,点M,N分别为A1C1与A1B的中点.(Ⅰ)求证：MN平面BCC1B1;(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1．参考答案：解：(Ⅰ)连结BC1∵点M,N分别为A1C1与A1B的中点，∴∥BC1．........................................................4分∵，∴MN∥平面BCC1B1．........................................6分(Ⅱ)∵，

平面，∴．......................................................................................................9分又∵ABBC，，∴．.......................................................................................12分∵，∴平面A1BC平面A1ABB1．...............................................................................13分

略22.已知点，点在轴上，点在x轴的正半轴上，且满足，点M在直线PQ上，且满足，（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点作直线l与轨迹C交于A、B两点，为x轴上一点，满足，设线段AB的中点为D，且，求t的值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）设点的坐标为，求得、、、的坐标，运用向量垂直的条件