2021-2022学年山东省青岛市即墨通济中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年山东省青岛市即墨通济中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}的通项公式，则（）A.150 B.162 C.180 D.210参考答案：B【分析】由通项公式，首先判断数列的单调性，去掉要求和式的绝对值，再进行计算。【详解】由对勾函数的性质可知：当时，数列为递减；当时，数列为递增。所以====162【点睛】数列问题常见的方法和注意点：（1）求和常常要根据数列的通项公式的形式和特点，灵活选择方法，不可以用固定的思维模式去考虑问题。如含绝对值的求和问题的关键点在于先把绝对值去掉，再求和。（2）常见的求和方法有：倒序求和，错位相消，裂项法，分组求和法，公式法等。

2.点B是以线段AC为直径的圆上的一点，其中|AB|=2，则（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D故选D3.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是A.

B.

C.

D.

参考答案：D略4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.5.已知全集，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.函数的零点所在的一个区间是A．（-2，-1）

B.（-1,0）

C.（0,1）

D.（1,2）参考答案：B7.（5分）设a∈R．则“”是“|a|＜1”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件参考答案：C【考点】：其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：计算题．【分析】：由可得a＜1，不能推出“|a|＜1”成立．当“|a|＜1”时，﹣1＜a＜1，能推出a＜1，由此得出结论．解：由可得，即a﹣1＜0，即a＜1，故不能推出“|a|＜1”成立．当“|a|＜1”时，有﹣1＜a＜1成立，能推出a＜1．故“”是“|a|＜1”成立的必要不充分条件，故选C．【点评】：本题主要考察充分条件、必要条件、充要条件的定义，分式不等式的解法，属于中档题．8.（5分）复数i（1﹣2i）=（）A．.﹣2+iB．2+iC．2﹣iD．﹣2﹣i参考答案：B∵复数i（1﹣2i）=i﹣2i2=2+i，故选B．9.已知a是函数的零点，a，则的值满足(

)A．＝0

B．＞0

C．＜0

D．的符号不确定参考答案：10.对于数列{an}，若存在常数M，使得对任意，an与an+1中至少有一个不小于M，则记作，那么下列命题正确的是（

）．A.若，则数列{an}各项均大于或等于M；B.若，则；C.若，，则；D.若，则；参考答案：D【分析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当时，判断A；当时，判断B；当数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，时，可判断C；直接根据定义可判断D正确.【详解】A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，，数列各项均大于或等于不成立，故A不正确；B中在数列1，2，1，2，1，2…中，，此时不正确，故B错误；C中，数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，，而各项均为3，则不成立，故C不正确；D中，若，则中，与中至少有一个不小于，故正确，故选D．【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义是解题的关键，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，若，．且

，求△ABC的面积S的大小．参考答案：详见解析【分析】已知条件等式结合面积公式和余弦定理求出，若选①由正弦定理求出边，利用两角和正弦公式求出角，再由面积公式，即可求解.若选其它条件，结果一样.【详解】因为，，，所以．显然，所以，又，所以．若选择①，由，得．又，所以．若选择②，由，得，，所以．，所以．若选择③，所以，即，所以，又，所以，解得，所以【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.12.已知集合，．设集合同时满足下列三个条件：

①；②若，则；③若，则．当时，满足条件的集合的个数为

参考答案：13.如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是

；参考答案：a>-114.在四边形中，，，则四边形的面积为

．参考答案：由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为，且对角线对于边长的倍，即,,则,即,所以三角形的面积为，所以四边形的面积为.15.已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则（Ⅰ）

；

（Ⅱ）

.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）16.若函数上存在单调递增区间，则a的取值范围是

参考答案：．当时，的最大值为，令，解得，所以a的取值范围是17.若关于的不等式的解集为，则实数的值为。参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ。参考答案：解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知

，，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是

，（II）由题意知

整理得

，由，可得，.（III）由题意知

=

=

=略19.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，a1，a2，a4成等比数列，2a5=S3+8（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}的前n项和，对任意n≥2且n∈N*，不等式bn＜kTn恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用数列{an}是公差不为0的等差数列，a1，a2，a4成等比数列，2a5=S3+8，建立方程，求出a1=d=2，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）=1﹣=＞，利用对任意n≥2且n∈N*，不等式bn＜kTn恒成立，即可求实数k的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）∵数列{an}是公差不为0的等差数列，a1，a2，a4成等比数列，2a5=S3+8，∴=a1（a1+3d），2（a1+4d）=3a1+3d+8，d≠0，∴a1=d=2，∴an=2n；

（Ⅱ）∵数列{bn}的前n项和，∴n=1时，=1；n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1，∴=1﹣=＞，∵对任意n≥2且n∈N*，不等式bn＜kTn恒成立，∴k≥．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.（2016?广元一模）目前，埃博拉病毒在西非并逐渐蔓延，研究人员将埃博拉的传播途径结合飞机航班数据，埃博拉的潜伏时间等因素，计算出不限飞情况下，亚洲国家中印度、中国、阿联酋、黎巴嫩在一个月后出现输入性病例的概率分别是0.1、0.2、0.2、0.2，假定各地出现输入性病例是彼此独立的．（1）求上述四国中恰有1个国家出现输入性病例的概率；（2）从上述四国中任选两国调研疫情，求恰有一国选在西亚（阿联酋、黎巴嫩），一国选在中国和印度的概率；（3）专家组拟按下面步骤进行疫情调研，每一步若出现输入性病例，若出现则留下来研究，不在进行下一步调研；第一步，一次性选中国和印度两个国家同时进行调研；第二步，在阿联酋和黎巴嫩两个国家中随机抽取1个国家进行调研第三步，对剩下的一个国家进行调研．求该专家组调研国家个数的分布列和期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）四国中恰有1个国家出现输入性病例共有四种情况：选出一个国家出现输入性病例而另外三个国家没有出现输入性病例，利用相互独立和互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）恰有一国选在西亚（阿联酋、黎巴嫩）有种情况，一国选在中国和印度有中情况，因此共有种，而基本事件的总数为，利用古典概率的概率计算公式即可得出．（3）利用相互独立和相互对立事件的概率计算公式可得第一步出现输入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）；同理可得：若第一步没有出现输入性病例而第二步出现输入性病例的概率=（1﹣0.1）×（1﹣0.2）×0.2×2；若第一步及第二不没有出现输入性病例而第三步出现输入性病例的概率=1﹣0.28﹣0.288．【解答】解：（1）P=0.1×（1﹣0.2）3+（1﹣0.1）×0.2×（1﹣0.2）2×3=0.4096．（2）P==．（3）第一步出现输入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）=0.28；若第一步没有出现输入性病例而第二步出现输入性病例的概率=（1﹣0.1）×（1﹣0.2）×0.2×2=0.288．若第一步及第二不没有出现输入性病例而第三步出现输入性病例的概率=1﹣0.28﹣0.288=0.432．列出表格：ξ234P（ξ）0.280.2880.432∴E（ξ）=2×0.28+3×0.288+4×0.432=3.142．【点评】本题考查了相互独立、对立和互斥事件的概率计算公式、古典概率的计算公式、离散型随机变量的分布列及其数学期望计算，查看了推理能力与计算能力，属于难题．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－．（Ⅰ）若sinα＝，且＜α＜π，求f(α)的值；（Ⅱ）当f(x)取得最小值时，求自变量x的集合．参考答案：【知识点】平方关系；二倍角公式；三角函数的最值.C2C4C6【答案解析】【思路点拨】（Ⅰ）根据已知条件借助于平方关系计算出cosα再代入即可；（Ⅱ）把f(x)化简后即可求出最小值.22.已知命题：函数在上是增函数；命题：若函数在区间[0，+∞）没有零点．（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；（2）命题“”