浙江省宁波市荣安实验中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

浙江省宁波市荣安实验中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将一个长、宽分别是8，7的铁皮的四角均切去边长为的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，则当这个长方体的对角线最短时，则的值为

（

）A．1

B．2

C．

D．参考答案：C2.定义在R上的函数f(x)在（－∞，2）上是增函数，且f(x＋2)的图象关于轴对称，则

A．f(－1)＜f(3)B．f(0)＞f(3)

C．f(－1)＝f(3)

D．f(0)＝f(3)参考答案：A3.把函数f（x）=sin（2x+?）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于对称，则=(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）=sin（2x++?），再利用正弦函数的图象的对称性，求得?的值，可得的值．【解答】解：把函数f（x）=sin（2x+?）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=sin[2（x+）+?]=sin（2x++?）的图象．由g（x）的图象关于对称，可得sin（?﹣）=0，?﹣=kπ，k∈z．结合?∈（﹣，）可得?=，f（x）=sin（2x+）则=sin（π+）=﹣sin=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．5.设函数f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=sinx，则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的所有零点的和为（）A．6 B．7 C．13 D．14参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】确定函数的周期为4，且y=f（x）的图象关于直线x=1对称，g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的零点，即方程|cos（πx）|=f（x）的零点，利用图象可得结论．【解答】解：由题意，函数f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（2﹣x），则﹣f（﹣x）=f（2﹣x），可得f（x+4）=f（x），即函数的周期为4，且y=f（x）的图象关于直线x=1对称．g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的零点，即方程|cos（πx）|=f（x）的零点，画y=|cos（πx）|函数图象，∵两个函数的图象都关于直线x=1对称，∴方程|cos（πx）|=f（x）的零点关于直线x=1对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．【点评】本题考查函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．6.展开式中的系数为（

）A.-7 B.28 C.35 D.42参考答案：B【分析】的通项为,令分别得到系数，进而求和.【详解】∵二项式的通项为，分别令，则的系数为.故选B.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.7.圆的切线方程中有一个是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C考点：直线与圆的位置关系．8.已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C． D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，?=??=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．9.已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，由题意∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，共要循环7次，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循环7次，故j=7．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题．10.不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直角坐标平面内M、N两点满足：①点M、N都在函数f(x)的图像上；②点M、N关于原点对称，则称这两点M、N是函数f(x)的一对“靓点”。已知函数则函数f(x)有

对“靓点”。Ks5u参考答案：1略12.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：

①②③中满足“倒负”变换的函数是

.参考答案：①③当时，，所以①满足“倒负”变换的函数。当时，，所以②不满足“倒负”变换的函数。当时，当时，，，当时，，，所以③满足“倒负”变换的函数，所以满足条件的函数是①③。13.在中，已知是边上一点，若，则______．参考答案：14.数列，满足，则_

参考答案：略15.已知等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）由题意，，得．

…………3分

，，，两式相减，得数列为等比数列，．

…………7分（Ⅱ）．

……………8分

……………13分

略16.设向量，是两个不共线的向量，若3﹣与a+λ共线，则实数λ=．参考答案：【考点】平行向量与共线向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．分析；根据平面向量共线的定义，列出方程，求出λ的值．解：∵3﹣与a+λ共线，∴a+λ=μ（3﹣），μ∈R；∴a+λ=3μ﹣μ，∴，解得λ=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量共线的应用问题，是基础题目．17.设点是所在平面内动点，满足,（），．若，则的面积最大值是

．参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.(1)求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.参考答案：【答案解析】(1)；(2)解析：（1）设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”，

……………1分则.

……………4分（2）设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，……………5分由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，

……………6分分别记为，从中选出两人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共15个.

……………9分其中使得事件成立的为，，，，共4个

……………10分则.

……………12分【思路点拨】(1)利用古典概型公式，即可得到结论；(2)由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，列举基本事件，即可求这两人获得相等优惠金额的概率.

19.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.参考答案：解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（II），于是．20.如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA1=OC=2OA=4，点M是棱CC1上一点．（Ⅰ）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l∥AB；（Ⅱ）当M是棱CC1中点时，求证：A1O⊥DM；（Ⅲ）设二面角A1﹣BD﹣M的平面角为θ，当|cosθ|=时，求CM的长．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明l∥AB；（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明A1O⊥DM；（Ⅲ）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以A1B1BA是平行四边形．所以A1B1∥AB．因为A1B1?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以A1B1∥平面ABCD．因为平面A1BO∩平面ABCD=l，所以l∥A1B1．所以l∥AB．（Ⅱ）因为DB⊥AC于O，如图建立空间直角坐标系．因为AA1=4，且OC=2AO=4，

所以O（0，0，0），C（4，0，0），A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，4）．因为M是棱CC1中点，所以M（4，0，2）．设D（0，b，0），所以=（4，﹣b，2），=（﹣2，0，4）．所以?=﹣8+0+8=0．所以A1O⊥DM．（Ⅲ）设D（0，b，0），B（0，c，0），平面A1BD的法向量为=（x，y，z），又因为，，所以，即．因为b≠c，所以y=0，令z=1，则x=2，所以=（2，0，1）．设M（4，0，h），所以=（﹣4，b，﹣h），．设平面MBD的法向量为=（x，y，z），所以，即．因为b≠c，所以y=0，令z=1，则x=，所以=（，0，1）．又因为|cosθ|=，所以|cos＜＞|=，即==．解得h=3或h=．所以点M（4，0，3）或M（4，0，）．所以CM=3或CM=．【点评】本题主要考查空间直线垂直以及线面垂直平行的性质定理的应用，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间二面角的常用方法．21.如图所示，在正方体中，E、F分别为DD1、DB的中点.（I）求证：EF//平面ABC1D1；（II）求证：..

参考答案：（Ⅰ）连结，在中，、分别为，的中点，