湖北省恩施市李家河中学高三数学文上学期期末试题含解析

湖北省恩施市李家河中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.是虚数单位，若集合=，0，1，则（

）

A．

B．

C．

D．

∈

参考答案：A3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略4.平面向量与的夹角为，，，则＝（

）A． B． C．7 D．3参考答案：A略5.复数，，则复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A6.已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（）A． B．log2（x﹣y）＞0 C．x3＜y3 D．参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【分析】根据特殊值代入判断A、B、C，根据指数函数的性质判断D．【解答】解：对于A，令x=1，y=﹣1，显然不成立，对于B，由x＞y，得x﹣y＞0，log2（x﹣y）有意义，当x﹣y＜1时，不成立；对于C，令x=2，y=1，显然不成立，对于D，由＜，得2﹣x＜2﹣y，即﹣x＜﹣y，即x＞y，故D成立，故选：D．8.复数，则为(

)A．

B．1

C.

D．参考答案：C由题得，所以故答案为：C

9.给出15个数：1，2，4，7，1l，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入

A．

B．

C．

D．参考答案：10.设数列{an}的前n项和为Sn，且，，则数列的前10项的和是（

）A．290 B． C． D．参考答案：C由得，当时，，整理得，所以是公差为的等差数列．又，所以，从而，所以，数列的前项的和．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知满足约束条件,则的最大值为

▲.参考答案：212.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为

．参考答案：13.函数（）的最小值为

参考答案：2514.在等差数列{an}中，已知前20项之和S200=170，则a5+a16=

．参考答案：17【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵在等差数列{an}中，前20项之和S20=170，∴S20==10（a5+a16）=170，∴a5+a16=17．故答案为：17．【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15.设集合P={x|（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是

．参考答案：3考点：定积分；子集与真子集．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分公式，求出集合P，即可得到结论．解答： 解：（3t2﹣10t+6）dt=（t3﹣5t2t+6t）|=x3﹣5x2+6x=0，即x（x2﹣5x+6）=0，解得x=0（舍去）或x=2或x=3，即集合P={2，3}．∴集合P的非空子集为{2}，{3}，{2，3}．故答案为：3．点评：本题主要考查积分的计算依据集合子集个数的判断，比较基础．16.在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为

.参考答案：17.的展开式中含的项的系数为__________。（结果用数值表示）参考答案：17

本题考查求解二项展开式中指定项系数问题.考查了对基础知识的应用能力和计算求解能力.属中等题，令.所以所求系数为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,,

（1）证明:PA⊥平面ABCD（2）若PA=2,求二面角的余弦值。参考答案：证明:(1)连接AC,则和都是正三角形.

取BC中点E,连接AE,PE,

因为E为BC的中点,所以在中,,

因为,所以,

又因为,所以平面PAE,

又平面PAE,所以

同理,

又因为,所以平面......6分

解:(2)如图,以A为原点,建立空间直角坐标系

,

则,

设平面PBD的法向量为,

则,取

取平面PAD的法向量,

则,

所以二面角的余弦值是.......(12分)19.在△ABC中内角A所对边的长为定值a，函数f（x）=cos（x+A）+cosx的最大值为．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积的最大值为2+，求a的值．

参考答案：解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（x+A）+cosx=cosxcosA﹣sinxsinA+cosx=cosx（1+cosA）﹣sinxsinA=cos（x+θ）（θ为辅助角），则f（x）最大值为=，由于A为三角形的内角，则为2cos=，则=15°，则A=30°；（Ⅱ）由于a2=b2+c2﹣2bccos30°≥2bc﹣，即有bc≤，则bcsin30°=bc≤，当且仅当b=c取得最大值．则由△ABC的面积的最大值为2+，则有=2，解得a=2．

略20.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩.例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B等级的概率为0.18.ABCA7205B9186C4(Ⅰ)求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，

求的值；（Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知,,随机变量，求的分布列和数学期望.

参考答案：（Ⅰ）依题意，，

得

..……………（2分）

（Ⅱ）由，得.∵，∴

.…………（6分）（Ⅲ）由题意，知，且，∴满足条件的有：(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12)，共6组.∵，∴的取值为1,3,5,7.，，，.故的分布列为1357P∴

.……………（12分）略21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．（1）求证：AC⊥DE；（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角θ的正弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出DP⊥AC，从而BD⊥AC，进而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥DE．（2）连接OE，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EC与平面PAB所成角θ的正弦值．【解答】证明：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE?平面PBD，∴AC⊥DE．解：（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣，t）．设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），则，令y=1，得=（），平面PBD的法向量=（1，0，0），因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以|cos＜＞|==，所以t=2或t=﹣2（舍）），E（0，0，1），=（），，∴，∴EC与平面PAB所成角θ的正弦值为．22.如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．（1）求抛物线C和圆Q的方程；（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p值，可得抛物线方程，再由，代入抛物线方程有，抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，求出r，b，可得圆Q的方程；（2）设出直线方程y=kx+1且，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|，再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得|MN|?|AB|的最小值．【解答】解：（1）因为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），所以，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：x2+（y﹣b）2=r2，∵P1Q⊥P2Q，∴△P1QP2是等腰直角三角形，则，∴，代入抛物线方程有．由