2021-2022学年湖北省咸宁市崇阳县路口中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖北省咸宁市崇阳县路口中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（

）A.120种 B.240种 C.480种 D.600种参考答案：B【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种本题正确选项：【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.2.△ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是(

)A．12 B．10 C．8 D．不是定值参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】O为△ABC外接圆圆心，可取AB边中点E，AC边中点F，连接OD，OE，AO，从而有OD⊥AB，OE⊥AC，而，从而进行数量积的计算，便可得出该数量积的值．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；∴===．故选A．【点评】考查三角形外接圆及外接圆圆心的概念，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式，直角三角形边角的关系．3.下列命题中是假命题的是（

）

A.

B.,

C.,

D.参考答案：B略4.椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为A． B． C． D．参考答案：A5.如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为(

)参考答案：B6.已知定义在R上的函数是偶函数，对时，的值为（

）

A．2

B．－2

C．4

D．－4参考答案：B7.已知，则的值使得过A(1,1)可以做两条直线与圆相切的概率等于

（

）

A．

B．

C．

D．不确定参考答案：B8.复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+z等于（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i参考答案：A【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：+z=+1﹣i=+1﹣i=1+i+1﹣i=2．故选：A．9.若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值（）A.2

B.3

C.6

D.9参考答案：D函数的导数为，函数在处有极值，则有，即，所以，即，当且仅当时取等号，选D.10.若不等式≥对一切都成立，则的最小值为

(

)

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的值为___________．参考答案：0试题分析：由，解得，又．考点：三角函数的化简求值．12.若的展开式中含项，则最小自然数是

.参考答案：713.给出四个函数：①，②，③，④，其中满足条件：对任意实数及任意正数，都有及的函数为

▲

．（写出所有满足条件的函数的序号）参考答案：③由得，所以函数为奇函数。对任意实数及任意正数由可知，函数为增函数。①为奇函数，但在上不单调。②为偶函数。，③满足条件。④为奇函数，但在在上不单调。所以满足条件的函数的序号为③。14.方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是

.

参考答案：【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与交点为：；所以结合图象可得：；答案：15.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，在(0,5)上是减函数，又f(－3)＝0，则不等式xf(x)＜0的解集是______________．参考答案：(-5，-3]

(3,5]略16.若函数对定义域的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①是“依赖函数”；②（）是“依赖函数”；③是“依赖函数”；④是“依赖函数”；⑤，都是“依赖函数”，且定义域相同，则是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是_____________．参考答案：②③略17.经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位：km/h)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中这100辆汽车时速的范围是[30,80]，数据分组为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]．设时速达到或超过60km/h的汽车有x辆，则x等于________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在中,角的对边分别为,且(1)求的值；(2)若,,求向量在方向上的投影.参考答案：(1)由得,则,即

-----2分又,则

-----4分(2)由正弦定理,有,所以,

-----6分由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(负值舍去),

-----9分向量在方向上的投影为

-----12分19.（本小题满分12分）设关于的函数，其中且为常数，若函数在处取得极大值．(1)求实数的值；(2)若函数的图像与直线有两个交点，求实数的取值范围；(3)设函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：(1)函数的定义域为（0，+∞）……………1分

因为函数在处取得极大值所以,解

………4分20.已知点P（a，0），直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知a＞1，若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|?|PB|=1，求实数a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t可得普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：，由△＞0，解得a范围，利用|PA|?|PB|=1=|t1t2|，解出即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t可得x=y+a．由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得C的直角坐标方程：x2+y2=2x．（Ⅱ）把（t为参数），代入x2+y2=2x，得，由△＞0，解得﹣1＜a＜3．∴t1t2=a2﹣2a．∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|，∴a2﹣2a=±1，∵a＞1，∴a=1+．21.已知且；：集合且.若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.参考答案：解：对p：所以．若命题p为真，则有

；.....................2分对q：∵且∴若命题q为真，则方程无解或只有非正根．∴或,∴......................5分∵p,q中有且只有一个为真命题∴(1)p真，q假：则有；..................8分(2)p假，q真：则有；∴或．

....................14分22.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为个单位的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）且不高于（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为，为了使在天（从投放药剂算起包括第天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.参考答案：（1）由题设：投放的药