湖南省常德市汉寿县岩咀镇中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析

湖南省常德市汉寿县岩咀镇中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若x，y满足约束条件，则取值范围是（

）A.[－1，]

B.[－，]

C.[－，2）

D.[－，+）参考答案：C略2.点到直线的距离的最大值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.下图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为_________________。参考答案：，略4.焦距为，离心率，焦点在轴上的椭圆标准方程是

（

）

参考答案：D略5.在各项均为正数的等比数列中,,则的值是（

）A.1

B.

C.

D.4

参考答案：D6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．16 B．8 C．4 D．2参考答案：B【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值重新为2时变量n的值，并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

S

n

是否继续循环第一圈﹣1

2

是第二圈

0.5

4

是第三圈

2

8

否则输出的结果为8故选：B．7.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据导函数的图象，可得当时，，当时，，进而可得原函数的图象，得到答案．【详解】由题意，根据导函数的图象，可得当时，，则函数单调递增，当时，；函数单调递减，故选C．【点睛】本题主要考查了导函数图象与原函数图象之间的关系，其中解答中熟记导函数的函数值的符号与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8.若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是（

）A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形参考答案：D9.从甲、乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：根据以下数据估计(A)甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐(B)乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐(C)甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐(D)乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐

参考答案：D10.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）A．6块B．7块C．8块D．9块参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列函数中，对定义域内任意恒成立的有：①；②；③；④；

（填序号）参考答案：①②④12.如图，第一个多边形是由正三角形“扩展”而来，第二个多边形是由正四边形“扩展”而来，…，如此类推，设由正n边形“扩展“而来的多边形的边数记为an．则+++…+=_________．参考答案：13.过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为．参考答案：﹣2【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣kx+k﹣3=0．对y=x2求导，y′=2x，可得切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，再利用根与系数的关系可得：Q，其轨迹方程为：y=2x﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．求出圆心C到直线的距离d．即可得出圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为d﹣r．【解答】解：设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．联立，化为：x2﹣kx+k﹣3=0，∴x1+x2=k，x1x2=k﹣3．对y=x2求导，y′=2x，切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，相减可得：x==，相加可得：y=（x1+x2）x﹣[﹣2x1x2]=﹣=k﹣3．解得Q，其轨迹方程为：y=2x﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．圆心C到直线的距离d==＞2=r．∴圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．14.已知实数x，y满足不等式组，则的最小值是．参考答案：考点：简单线性规划的应用．专题：综合题．分析：先画出满足条件的可行域，再根据表示可行域内任一点与原点连线的斜率，借助图形分析出满足条件的可行域内点的坐标，代入即可得到答案．解答：解：满足不等式组可行域如下图所示：∵表示可行域内任一点与原点连线的斜率，由图可知当x=，y=时，有最小值故答案为：点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据已知中的约束条件画出满足条件的可行域，进而利用数形结合分析满足条件的点的坐标，是解答本题的关键．15.函数的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿参考答案：１５略16.若k＞1，a＞0，则k2a2+的最小值是

．参考答案：12考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两次利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：k2a2+=6≥=2，当且仅当k=2，a=时取等号．故答案为：12．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若有极值，则的取值范围是 .参考答案：a<-1或a>2

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）已知0＜x＜，证明：sinx＜x＜tanx；（2）求证：函数f（x）=在x∈（0，π）上为减函数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；三角函数线．【分析】（1）构造函数f（x）=x﹣sinx，g（x）=tanx﹣x，求导，即可证明；（2）直接求导，讨论两种情况（利用第一问结论）．【解答】证明：（1）当0＜x＜时，令f（x）=x﹣sinx，g（x）=tanx﹣x，则f′（x）=1﹣cosx＞0，g′（x）=﹣1＞0，故f（x）和g（x）在（0，）上单调递增，故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，∴x＞sinx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx．（2）f（x）=直接求导，f′（x）=0＜x＜，x＜tanx，∴xcosx＜sinx，∴xcosx﹣sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈（0，）上为减函数．≤x＜π，xcosx≤0，sinx＞0，∴xcosx﹣sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈[，π）上为减函数．综上所述，函数f（x）=在x∈（0，π）上为减函数．19.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：//平面．（5分）（Ⅱ）在线段上是否存在点使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.（10参考答案：（Ⅰ）连接，设与交于，连结.由已知，，，所以四边形是平行四边形，是的中点.又因为是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（5分）（Ⅱ）假设在线段上存在点，使二面角的大小为.（解法一）延长、交于点，过做于，连接.因为是矩形，平面⊥平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，平面所以，为二面角的平面角.由题意.在中，，，，则所以

又在中，，所以所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时的长为.（10分）

（解法二）

由于四边形是菱形，是的中点，所以为等边三角形，可得.又是矩形，平面⊥平面，所以⊥平面.如图建立空间直角坐标系.则，，，.，.设平面的法向量为.则

所以令.所以.又平面的法向量

所以.

即，解得所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时的长为.（10分）

略20.设函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，恒成立，求实的取值范围.参考答案：（I）时，，即，

当时，解得又，；当时，，解得又，当时，解得又，综上，原不等式的解集为………6分（II）当时，

即恒成立，

得在上恒成立。而在上为增函数，故当且仅当即时等号成立。故……………………12分21.设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x﹣b，求a，b的值；（2）若函数g（x）=f（x）+x2有两个极值点，且h（x）=ax﹣ex在（1，+∞）有最大值，求a的取值范围；（3）讨论方程f（x）=0解的个数，并证明你的结论．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导数，由题意可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，解方程可得a，b；（2）求出g（x）的导数，由题意可得x2﹣ax+1=0有两个正根，则△=a2﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，求得h（x）的导数，对a讨论，若2＜a≤e，若a＞e，判断h（x）的单调性，即可得到a的范围；（3）方程f（x）=0即为a=，令m（x）=（x＞0），求得导数，求出单调区间和最值，作出图象，通过图象对a讨论，即可得到解的个数．解答： 解：（1）函数f（x）=lnx﹣ax的导数f′（x）=﹣a，由函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x﹣b，可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，即为﹣a=1，ln2﹣2a=2﹣b，解得a=﹣，b=1﹣ln2；（2）g（x）=lnx﹣ax+x2的导数为g′（x）=﹣a+x=g（x）有两个极值点，即有x2﹣ax+1=0有两个正根，则△=a2﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，h（x）=ax﹣ex的导数为h′（x）=a﹣ex，若2＜a≤e，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）单调递减，无最大值；若a＞e，则当1＜x＜lna，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞lna时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x=lna处取得最大值h（lna），则有a＞e成立；（3）方程f（x）=0即为a=，由m（x）=（x＞0）的导数为m′（x）=，当x∈（0，e）时，m′（x）＞0，m（x）递增，当x∈（e，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）递减．即有m（x）的最大值为m（e）=，y=m（x）的图象如右．则当a＞时，y=a和y=m（x）无交点，即方程解的个数为0；当0＜a＜，y=a和y=m（x）有两个交点，即方程解的个数为2；当a≤0时，y=a和y=m（x）有一个交点，即方程解的个数为1．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．22.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．