【人教A版】2018版高考数学（文科）一轮设计：第六、七章教师用书（含答案）

L第六章数列

第1讲数列的概念及简单表示法

最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

基磕诊断梳理自力理篇记忆

知识梳理

1.数列的概念

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做

这个数列的项.

(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限

子集)为定义域的函数%=«〃),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应

的一列函数值.

(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.

2.数列的分类

分类原则类型满足条件

有穷数列项数有限

按项数分类

无穷数列项数无限

递增数列1

按项与项间的大

递减数列“+1V。”其中

小关系分类

常数列=斯

有界数列存在正数M,使

按其他标准分类从第二项起，有些项大于它的前一项，有

摆动数列

些项小于它的前一项的数列

3.数列的两种常用的表示方法

(1)通项公式：如果数列｛斯｝的第n项口与序号〃之间的关系可以用一个式子④

=/(〃)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

(2)递推公式：如果已知数列｛诙｝的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开

始的任一项即与它的前一项。,一(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那

么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

S\(〃=1),

4.已知数列｛诙｝的前"项和S〃，贝4斯=《二。

』一5,12).

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“J”或"X”)喳精彩PPT展示

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()

(2)一个数列中的数是不可以重复的.()

(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.()

(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()

解析(1)数列：1,2,3和数列：3,2,1是不同的数列.

(2)数列中的数是可以重复的.

(3)不是所有的数列都有通项公式.

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

2.(2017•长沙模拟)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不

可能是()

[2,〃为奇数，

A.«„=(-l)fl+1〃为偶数

C.斯=2sirryD.aa=cos(〃一l)7r+1

777r

解析对〃=1,2,3,4进行验证，aa=2sing不合题意，故选C.

答案C

3.设数列｛斯｝的前〃项和&=〃2,则备的值为()

A.15B.16C.49D.64

,22

解析当〃=8时，^8=58—57=8—7=15.

答案A

4.己知斯=/+解,且对于任意的〃GN*,数列｛斯｝是递增数列,则实数2的取值

范围是.

解析因为｛%｝是递增数列，所以对任意的«GN*,都有为+]＞斯，即5+1)2+

A(/?+l)>??2+/ln,整理，

得2〃+1+A>0,即2>-(2/7+1).(*)

因为〃21,所以一(2〃+l)W—3,要使不等式(*)恒成立，只需％>—3.

答案(-3,+°°)

5.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个

通项公式an=.

答案5M—4

I考点突破嗜精彩：PP1名师讲解分类讲练，以例求法

考点一由数列的前几项求数列的通项

【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)-1,7,-13,19,…；

246810

⑵亨丘35*63*99;…；

(3)g,2,1,8,学，…；

(4)5,55,555,5555,….

解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(一1)",观察各项的绝

对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为许

=(—1)"(6«—5).

⑵这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1X3,3X5,

5X7,7X9,9X11,…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,

6,…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为—.

1)(2〃十1)

(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观

察.即；1，会4%9,岩16年25，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式

乙乙乙乙乙

2

为a„=y.

(4)将原数列改写为烹X9,(X99,jx999,…，易知数列9,99,999,…的通项

yyy

为故所求的数列的一个通项公式为斯=|(10"-1).

规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方

面的特征:

(1)分式中分子、分母的各自特征;

(2)相邻项的联系特征；

(3)拆项后的各部分特征;

(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.

【训练】⑴数列246…的一个通项公式为(

10,p*)

A.a„=^q^(weN*)B.a“=；；+；(”£N*)

2(〃-1),*2〃*

=nEN

C.an=­(〃©N)D.atl2n+^)

(2)数列…的一个通项公式a”=

解析(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可.

(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，

偶数项为正，所以它的一个通项公式为斯=(-1)”〃(〃；1).

答案(DC(2)(一1)"77六17

考点二由S”与许的关系求知(易错警示)

【例2】(1)若数列｛恁｝的前〃项和S,=3〃2—2〃+1,则数列｛斯｝的通项公式诙=

,71

(2)若数列｛为｝的前〃项和S"=§a"+§,则｛为｝的通项公式an=.

解析(1)当〃=1时，0=3=3X12—2X1+1=2；

当〃22时，

2

a„=Sn—S"-i=3〃2—2〃+1—[3(〃—I)—2(n—1)+1]=6«-5,显然当〃=1时，不

满足上式.

=

2,n19

故数列的通项公式为斯=«

6〃一5,n22.

2121

⑵由S产铲〃+§,得当“22时，

两式相减，彳守cin3""3"〃T’

，当〃22时，an=-2an-x,即0=—2.

1

21

又力=1时，Si=m=铲i+§,ai=l,

・"〃=(-2)1

2,77=1

答案⑴A<⑵(一2尸

S\,〃=1,

规律方法数列的通项诙与前〃项和S”的关系是&=。。①当〃=1

、S〃一5^—19“12.

时，0若适合S”一Si,则〃=1的情况可并入〃22时的通项即；②当〃=1时，

m若不适合S”一S.T,则用分段函数的形式表示.

易错警示在利用数列的前〃项和求通项时，往往容易忽略先求出0,而是直接

把数列的通项公式写成%=s”一S"T的形式，但它只适用于〃22的情形.

【训练2】⑴(2017•河南八校一联)在数列｛斯｝中，S”是其前〃项和，且S,=2a”

+1,则数列的通项公式％=.

(2)已知数列｛%｝的前n项和S”=3"+l,则数列的通项公式a„=.

解析(1)依题意得S”+i=2%+i+l,Sn=2an+1,两式相减得Sn+\—Sn=2an+\—

2an,即为+1=2%,又Si=2ai+l=a”因此m=-1,所以数列｛斯｝是以m=一1

为首项、2为公比的等比数列，%=—2"7.

(2)当w=l时，ai=Si=3+l=4,

当〃22时，-SLI=3"+1—3"T-1=23'T.

显然当〃=1时，不满足上式.

._卜，〃=1,

，斯=1231,心2.

,[4,〃=1,

答案⑴一2一⑵

12,3，〃与2

考点三由数列的递推关系求通项公式

【例3】在数列｛斯｝中，

(1)若“1=2,an+i=an+n+1,则通项公式斯=.

〃-1

(2)若41=1,即=一74〃—1(拉22),则通项公式卬=.

(3)I*T—1,%+i=2a〃+3,则通项公式〃〃=.

解析(1)由题意得，当时，斯=。1+(。2—。1)+(俏—。2)+…+(4—即-1)=2

(〃一1)(2+〃)〃(/+1)IX(1+1)

〃.又

+(2+3+…+)=2卜221U\=2=2

,卜n(n+1)

+1,符t合上式，因此诙=2+1・

Yl—1n—21

(2)法一因为a4=一/a”-1(〃22),所以斯-1—„1•。〃―2，*以上(拉

n—1

-1)个式子的等号两端分别相乘得知……

aa~\a~2aja2〃—1〃-2n-\1

法二因为n•n•n••••••'Cl\~~,••••••1

a„~]a„-2。a-3a2"M—1n—2»­

(3)设递推公式a„+i=2a„+3可以转化为a„+i+/=2(a„+r),

即。"+i=2a”+£,解得f=3.

故a„+i+3=2(a,；+3).

令b”=aa+3,则仇=曰+3=4,

Fb”、i_4”11+3_

且丁=a〃+3=2,

所以步“｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

为=4•2"t=2"1,；.斯=2"।—3.

答案⑴〃”1)+1(2)：(3)2/,+1-3

规律方法(1)形如斯+1=即+大〃)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消

去多少项，保留多少项.

(2)形如即+i=%•/(〃)的递推关系式可化为如1:/5)的形式，可用累乘法，也可用

斯二2--"11.....--ai代入求出通项.

12“1

(3)形如an+]=pa,l+q的递推关系式可以化为(a”+i+x)=p(a"+x)的形式，构成新

的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.

【训练3］⑴已知数列｛斯｝满足。1=1,42=4,a„+2+2a„=3a„+i(nGN*),则数

列｛©,｝的通项公式a„=.

(2)在数列｛四｝中，0=3,斯+1=斯+"(〃；］),则通项公式斯=.

=

解析(1)由an+2+2an—3a/z+10,

斯+2a〃+i—2(a〃+iUfi)9

・•・数列｛斯+1—%｝是以。2—。1=3为首项，2为公比的等比数列，

*1

an+\—。〃=3X2",

・・〃22时，cin—斯—1=3X2"\•••,。3—々2=3X2,a?—。］=3,

将以上各式累加得

斯一ai=3X2"—2+…+3X2+3=3(2〃T—1),

・••斯=3X2〃7-2(当〃=1时,也满足).

(2)原递推公式可化为为+1=斯+：—*,

,11,11

则。2=〃1+［-2，。3=。2+/―§，

,11।11111m,

。4=的十鼻一7，…，斯-1=斯-2十a=a-\+~，遂项相力口

J4n—2n—1nnn—1〃

得，a“=m+l—故a”=4—

答案(1)3X2"T—2(2)4-^

课堂是结

［思想方法］

1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(一1)"或(一

1)，，+1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前

几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.

S\(〃=1),

2.强调%与S”的关系：a„=V°/、、、

［Sn—S,,-i(〃32).

3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两

种常见思路：

(1)算出前几项，再归纳、猜想；

(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.

［易错防范］

1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取

值，如数列许=/(")和函数歹=73)的单调性是不同的.

2.数列的通项公式不一定唯一.

I课时作业I分层训练，提升能力

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一'选择题

1.数列0,1,0,-1,0,1,0,一1,…的一个通项公式是许等于()

(—1)"+1mi

A.-------2-------B.cosE

71+1-〃+2

C.cos2兀D.cos2-

解析令〃=1,2,3,…，逐一验证四个选项，易得D正确.

答案D

2.数列|,一,…的第10项是()

16C18

A-正B.一再

_20_22

C.一五D・一五

解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部

分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列｛斯｝的通项公式%=(—1)〃+

।2〃20

'2n+V故So=一亓

答案C

3.(2016,保定调研)在数列｛%｝中，已知0=1,an+i=2a„+l,则其通项公式斯=

()

A.2"-1B.2"T+1

C.2〃一1D.2（〃一1）

解析法一由a„+i=2a/）+l,可求4/2=3,的=7,a4=15,…，验证可知an—

2"-1.

法二由题意知斯+i+l=2(a”+l),.•.数列｛%+1｝是以2为首项，2为公比的等

比数列，.••即+1=2",...斯=2"—1.

答案A

4.数列｛斯｝的前〃项积为〃2,那么当〃22时，a“等于()

A.2〃一1B.n

(〃+1)2

D，2

C.----n2-(n-1)

2

解析设数列｛斯｝的前〃项积为北，则Tn=n,

T〃2

当拉22时，4〃=亍=7\\2-

答案D

5.数列｛a〃｝:两足a〃+]+斯=2〃-3,若〃|=2,则恁—。4=()

A.7B.6C.5D.4

解析依题意得(斯+2+册+1)—(为+1+斯)=[2(〃+1)—3]—(2〃-3),即afJ+2-an=

2,所以。8一。4=(。8—。6)+(。6一。4)=2+2=4.

答案D

二、填空题

134

6.若数列｛许｝满足关系。〃+1=1+广，。8=万，则。5=_______.

a”乙1

91]?Q

解析借助递推关系，则。8递推依次得到。7=正，%=亘，。5=彳

1JOJ

答案I

7.已知数列｛处｝的前〃项和S,=〃2+2〃+l(〃GN*),则a„=.

解析当〃22时，an=S„—Sn-i=2n+l,当〃=1时，©=S=4W2X1+1,因此

4,/7=1,

4,〃=1,

答案

2〃+1,〃22.

8.(2017•北京海淀期末)已知数列｛%｝的前〃项和为S”且斯#0(〃£N*),又斯即+i

=Sn9则。3-a1=.

解析因为a〃a〃+i=S〃，所以令〃=1得。i〃2=Si=〃i,即。2=1，令〃=2,得a2a3

=S2="l+a2,即"3=1+。1,所以的-41=1.

答案1

三、解答题

9.数列｛为｝的通项公式是a“=〃2—7”+6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

解(1)当〃=4时，04=42—4X7+6=-6.

(2)令④=150,即〃2—7〃+6=150,解得〃=16或〃=一9(舍去)，即150是这个

数列的第16项.

⑶令即=〃2—7〃+6>0,解得〃>6或〃<1(舍).

从第7项起各项都是正数.

YI+2

10.已知数列｛斯｝中，幻=1,前〃项和a=二一斯.

(1)求。2，的；

(2)求｛斯｝的通项公式.

4

解(1)由52=1a2得3(〃[+。2)=4〃2，

解得。2=3。1=3.

由$3=铲3得3(。]+。2+。3)=5。3，

解得的=|(。1+。2)=6.

(2)由题设知tzi=l.

~1〃三2时，有"a”SfjSu—\1>

〃1

整理得斯=一汹

n-1

于是

4]=1,

3

。2=尸1，

4

〃3=于2，

n

-〃_2，

n+1

—iCln-1•

将以上〃个等式两端分别相乘，

n（〃+1）

整理得a„=----------

显然，当〃=1时也满足上式.

n（”+1）

综上可知，｛为｝的通项公式处=―5—

能力提升题组

（建议用时：20分钟）

11.设@=-3〃2+15〃一18,则数列｛斯｝中的最大项的值是（）

A.号B.号C.4D.0

2

解析,.&=一3（"—|）+,，由二次函数性质，得当"=2或3时，斯最大，最大

为0.

答案D

12.（2017,石家庄质检）已知数列｛以｝满足斯+2=。〃+1—a,1，且〃i=2,々2=3,则a?

016的值为.

解析由题意得，的=。2-。1=1,。4=的—。2=—2,。5=。4—。3=—3,。6=。5—

〃4=-1，。7=。6—々5=2,・••数列｛斯｝是周期为6的周期数列，而2016=

6X3369••。2016=〃6=-1.

答案T

13.（2017•太原模拟）已知数列｛4“｝满足ai=l,an—an+i=na„an+1（neN*）,则。产

—

解析由an~cini\=nanan+\得/—；=〃，则由累加法得;一；=1+2H---F（M

n2-nr「、i<”…1〃~一〃,犷一〃+22

T尸丁又因为田=],所以：Cl/l=-N5-+]=乙5所以可=〃2_“+2

答案?4+2

1*

14.(2016・开封模拟)已知数列｛%｝中，an=l+a+2(neN,a^R且

aWO).

(1)若a=—1,求数列｛©,｝中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的〃GN*,都有为〈劭成立，求a的取值范围.

解(l)：a”=l+八-TV(〃WN*,aGR,且aWO),

Q十2(J〃一1)

1*

又a=-7,a=\+----式〃WN).

n2〃一9

结合函数/(X)=1+-g的单调性，可知，。5>。6>。7>…>

J数列｛斯｝中的最大项为6/5=2,最小项为。4=0.

1

，八、…12

(2)斯=1+.+2(〃-1)=1+-2^'

n~^2~

已知对任意的〃CN*,都有a”Wa6成立，

1

2

结合函数段)=1+―五的单调性，

x~^~

可知5<-y~<6,即一10<«<—8.

即a的取值范围是(一10,-8).

第2讲等差数列及其前忆项和

最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公

式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识

解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.

|基础诊断梳理自测，理解记忆

知识梳理

1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这

个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母"表示.

数学语言表达式：4+1—a”=d(〃eN*,d为常数)，或an—an-\=d(n^2,d为常

数).

(2)若a,A,b成等差数列，则/叫做a,b的等差中项，且/=审.

2.等差数列的通项公式与前«项和公式

(1)若等差数列｛为｝的首项是m，公差是d,则其通项公式为a“=a1+(〃-Dd.

通项公式的推广：an=ain+,〃eN*).

(2)等差数列的前〃项和公式

S"="("I""")二四吐〃z1)4(其中“GN*,m为首项，d为公差，a”为第〃

项).

3.等差数列的有关性质

已知数列｛恁｝是等差数列，工是｛斯｝的前n项和.

(1)若/"+“=p+q(加，n,p,qGN*),则有4,”+斯=与+%.

(2)等差数列｛为｝的单调性：当d>0时，｛斯｝是递增数列；当dVO时，｛斯｝是递

减数列；当d=O时，是常数列.

(3)若｛斯｝是等差数列，公差为4,则4左，a*+,",a&+2m，…(左，加WN*)是公差为返

的等差数列.

(4)数列5”，S2m-Sm,S3,"—S2,",…也是等差数列.

4.等差数列的前n项和公式与函数的关系

S"=%+(ai-拆

数列｛6｝是等差数列=，=/〃2+胡(4B为常数).

5.等差数列的前〃项和的最值

在等差数列｛斯｝中，ai>0,d<0,则S,存在最大值；若供<0,40,则S”存在

最小值.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“J”或"X”)喑精彩PPT展示

(1)数列｛斯｝为等差数列的充要条件是对任意〃GN*,都有2a〃+|=斯+即+2.()

(2)等差数列｛斯｝的单调性是由公差d决定的.()

（3）已知数列｛斯｝的通项公式是a”=p〃+q（其中p,q为常数），则数列｛斯｝一定是

等差数列.（）

（4）数列｛©,｝为等差数列的充要条件是其通项公式为〃的一次函数.（）

（5）等差数列的前〃项和公式是常数项为0的二次函数.（）

解析（4）若公差d=0,则通项公式不是〃的一次函数.

（5）若公差d=0,则前〃项和不是二次函数.

答案（1）V（2）V（3）V（4）X（5）X

2.（2015・重庆卷）在等差数列｛%｝中，若的=4,如=2,则沏等于（）

A.-lB.OC.lD.6

解析由等差数列的性质，得46=244-42=2X2—4=0,选B.

答案B

3.（2017•长沙模拟）设等差数列｛为｝的前〃项和为S”若&=2的，$5=15,则奥016

解析在等差数列｛为｝中，由$3=2内知，3a2=243，而$5=15,则6=3,于是

（72=2,从而其公差为1,首项为1,因此4"=〃，故42016=2016.

答案2016

4.在等差数列｛%｝中，a\=7,公差为d,前〃项和为S”当且仅当〃=8时S”取得

最大值，则d的取值范围为.

解析由题意知。<。且g8即>0，匕[7+叱7t/>0。,，解得一7

答案IT）

5.（必修5P68A8改编）在等差数列｛为｝中，若的+。4+。5+。6+。7=450,则做+小

解析由等差数列的性质，得03+44+05+06+47=545=45(),，6(5=90,+

。8=2。5=180.

答案180

1考点突破喳的彩PPT名牌讲解:分类讲练,以例求法

考点一等差数列基本量的运算

【例1】（1）（2016•全国I卷）已知等差数列｛%｝前9项的和为27,见0=8,则©oo

=()

A.100B.99C.98D.97

(2)(2016・唐山模拟)设等差数列｛为｝的前n项和为S”，S3=6,S4=12,贝IS6=

9<?।+36d=27,

解析⑴设等差数列｛知｝的公差为d,由已知，得,AJ_O所以

所以000=0+994=—1+99=98.

(2)法一设数列｛处｝的首项为m,公差为丈由S3=6,

S3=3a1+3d=6,41=0,

5=12,可得〈解得<

4$4=441+64=12,d=2,

即S6=6ai+15d=30.

法二由｛恁｝为等差数列，故可设前〃项和S"=/〃2+8”,

S3=9/+3B=6,

由S3=6,$4=12可得j.D—m

S4—16A+4B—129

A=l,,

解得即S=n~-n,贝！］56=36—6=30.

15=-1,n

答案(1)C⑵30

规律方法(1)等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量四，a„,d,n,

Sn,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

(2)数列的通项公式和前〃项和公式在解题中起到变量代换作用，而内和d是等差

数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

【训练1](2015•全国I卷)已知｛斯｝是公差为1的等差数列，S〃为｛为｝的前n项

和.若S8=4S4，则so等于()

1719

A5~B.5~C.10D.12

8X7(4义3、i

解析由S8=4S4,得8〃I+-2-义1=4*(&/]+-2-X1J,解得。1=',

19

+9d=g,故选B.

答案B

考点二等差数列的判定与证明(典例迂移)

【例2](经典母题)若数列｛&｝的前n项和为Sn,且满足斯+2S"S”T=0(〃22),

1

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列｛为｝的通项公式.

⑴证明当〃22时，由斯+255-1=0，

=

得Sn—Sn]=-2S„Sn-1，所以三一7；2,

又上=/2,故尚是首项为2,公差为2的等差数列.

(2)解由⑴可得七=2”，.•.S"==

当〃22时，

___1_]_______—-1-—______1____

斯='一邑-1=五一2(〃-1)=2n(〃-1)=-2z?(n-1),

当〃=1时，4]=3不适合上式.

1

5，n=\,

故斯=<]

「2〃(〃-1)'"义.

【迁移探究1]将本例条件“知+255,_|=0(〃22),"改为“S”(S“一诙)+

2a„=0(n$:2),4=2”,问题不变,试求解.

⑴证明当“22时，an=S"—S"7且&(&一%)+2%=0.

S"[S〃一⑸-Si)]+2(S”-S"-1)=0,

即S£T+2(S,—S”T)=0.

nm111311

即氏•又

故数列塔是以首项为多公差为刎等差数列.

_1n2

(2)解由(1)知不=/,:・Sn=7,当拉22时，

一S〃-SL1n(〃—1)

当〃=1时，41=2不适合上式,

r2,/I—1,

故斯=j____2____

〃22.

[n(n—1)

【迁移探究2］已知数列｛斯｝满足2斯7—斯斯T=1(〃22),ai=2,证明数列

：言|是等差数列，并求数列S"｝的通项公式.

解当〃22时，斯=2一」一，

1

._J_____1_________1________1_______11*1

'"a„—12——1।1—\tzn-i_1an-\~\

a〃-ia〃-i

41(常数)•

数列［三］是以首项为1,公差为1的等差数列.

1)X1,

._.+］

：'a',=n-

规律方法等差数列的四种判断方法：

(1)定义法：对于〃N2的任意自然数，验证诙一诙_1为同一常数.

(2)等差中项法：验证2%-1=册+4”-2(〃23,”eN*)都成立.

(3)通项公式法：验证an=pn+q.

(4)前n项和公式法：验证S"=/〃2+8〃.后两种方法只能用来判断是否为等差数

列，而不能用来证明等差数列，主栗适合在选择题中简单判断.

考点三等差数列的性质及应用

【例3】(1)(2015•全国H卷)设S”是等差数列｛即｝的前〃项和，若。+的+的=3,

则55=()

A.5B.7C.9D.11

(2)(2016・洛阳统考)设等差数列｛为｝的前〃项和为S”若$3=9,$6=36,则为+

例十的等于()

A.63B.45C.36D.27

(3)已知S”是等差数列｛斯｝的前〃项和，若内=—2014,输一镰=6,则S2

017_•

解析(1)：｛6｝为等差数列，.•.内+。5=2。3,得3a3=3,则的=1,，S5=

5(。|+45)__

~-5<23=5,故选A.

(2)由｛为｝是等差数列，得S3,S6—S3,S9—S6为等差数列.

即2(S6-53)=53+(S9-56),

得到S9—S6=2S6-3S3=45,故选B.

(3)由等差数列的性质可得｛却也为等差数列.

设其公差为d.则今昔一关黑=6d=6,：.d=\.

ZU14ZUUo

故f^=¥+2016d=-2014+2016=2,

.•.52017=2X2017=4034.

答案(1)A(2)B(3)4034

规律方法等差数列的性质是解题的重要工具.

(1)在等差数列｛诙｝中，数列Sm,S2m-Sm,S3,”一S2,“也成等差数列.

(2)在等差数列中，数列拗也成等差数列.

【训练3】(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项

的和为390,则这个数列的项数为()

A.13B.12C.llD.10

(2)(2015•广东卷)在等差数列｛0?｝中，若43+04+45+46+47=25,贝ij々2+a8=

解析⑴因为。1+。2+的=34,。〃一+斯=146,

a\+。2+。3+。〃-2+斯-1+斯=34+146=180,

又因为。1+即=42+斯-1=。3+。〃-2，

=

所以3(〃i+%)=180,从而ci\~\~un60,

n(m+斯)〃X60

=

所以Sn2=2=390,Ep/I—13.

(2)因为｛斯｝是等差数列，所以的+。7=。4+。6=。2+。8=2。5，的+如+的+恁+0

=5。5=25,即死=5,42+。8=2。5=10.

答案(1)A⑵10

考点四等差数列前〃项和及其最值

【例4】(1)(2017•衡水月考)等差数列｛为｝的前〃项和为S”，已知m=13,S3=

Sn，当S“最大时，〃的值是()

A.5B.6C.7D.8

⑵设数列｛为｝的通项公式为an=2n-10(«GN*),则+闷+…+何目=

解析(1)法一由S3=S”，得网+死十…+。”=0，根据等差数列的性质，可得

劭+48=0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到。7>0,«8<0,故〃=7

时S,最大.

法二由S3=Si”可得30+3d=11句+55",把卬=13代入，得d=—2,故S“

=13〃一〃1)=—〃2+14〃.根据二次函数的性质，知当〃=7时工最大.

法三根据m=13,S3=S”，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先

递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前〃项和是关于〃的二次函数，以及二

3+11

次函数图象的对称性，可得只有当岸=一下一=7时，&取得最大值.

(2)由a"=2〃-10(〃GN*)知｛z｝是以-8为首项，2为公差的等差数列，又由斯=

2〃一1020得〃25,二〃W5时，当〃>5时，a„>0>+…+田5|

=—(a\+a2+a3+a4)+(a5+a6+~+ai5)=20+100=130.

答案(1)C(2)130

规律方法求等差数列前〃项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调

性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)将等差数列的前〃项和S"=/〃2+8〃(/,8为常数)看作二次函数，根据二次函

数的性质求最值.

【训练4】(2017•长春质量检测)设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”，卬>0且案=去

则当£取最大值时，〃的值为()

A.9B.10C.11D.12

解析由言=V，得S”=S9,即so+au=O,根据首项m>0可推知这个数列递

减，从而mo>O，an<0,故〃=10时，S”最大.

答案B

课堂里结

［思想方法］

L在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于m，d的方程组进行求解.

2.证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前〃项和公

式法判定一个数列是否为等差数列.

3.等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量.

［易错防范］

1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了即+i—诙=或〃22）

时，应注意验证念一。1是否等于丈若a2—a】Wd,则数列｛。“｝不为等差数列.

2.利用二次函数性质求等差数列前“项和最值时，一定要注意自变量〃是正整数.

I课时作业I1分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：40分钟）

一'选择题

1.（2016・武汉调研）已知数列｛&｝是等差数列,。|+劭=-8,改=2,则数列｛恁｝的

公差d等于（）

A.-1B.-2C.-3D.—4

［a\+（Qi+6d）=一8,

解析法一由题意可得

十d—2,

解得0=5,-3.

:去—。］+。7=244=-8,・・。4=-4,

6/4—。2=-4—2=2",:.d=-3.

答案C

2.已知等差数列｛《7｝的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有偶数

项之和为25,则这个数列的项数为（）

A.10B.20C.3OD.40

解析设项数为2〃，则由SLS奇得，25—15=2〃解得〃=5,故这个数列

的项数为10.

答案A

3.已知等差数列｛许｝满足m+.2+。3H----Faioi=0,则有（）

A.«i+<2|oi>0B.z+aiooVO

（2.43+099=0D.<?5I=51

解析由题意，得QI+Z+WH---卜。101="’2,所以。1+。101=。2+

。100=。3+。99=°・

答案C

4.设数列｛斯｝,｛儿｝都是等差数列，且勾=25,仇=75,。2+岳=100,则。37+如

等于（）

A.OB.37C.100D.-37

解析设｛斯｝,出〃｝的公差分别为d\,"2,贝（1（。"+1+仇+1）—（如+6"）=（“"+1—a”）+

（bn+i—hn）=d\+d2,

：.｛an+bn]为等差数列，又见+仇=为+岳=100,

...｛斯+兀｝为常数列，...437+637=100.

答案c

5.（2017・泰安模拟）设等差数列｛诙｝的前〃项和为S”,若。2=—11，的+。9=一安

则当S”取最小值时，〃=（）

A.9B.8C.7D.6

解析设等差数列｛为｝的首项为m,公差为d,

/42=-11,勾+1=-11,

由1。5+的=—2,付.2m+i2d=-2,

«1=-13,

解得彳，c/.a„=—15+2/2.

[d=2.

由斯=-15+2后0,解得后号又〃为正整数,

二当S”取最小值时，〃=7.故选C.

答案C

二'填空题

6.(2016•南昌模拟)已知每项均大于零的数列｛斯｝中，首项0=1且前n项和S”满

足SayS"-1—S"—l'\[^n=2qSnS"-l(〃wN且〃22),则。61=.

解析由已知S八底3—S"Ta=2归3可得，低一*3=2,所以｛低｝是

以1为首项，2为公差的等差数列，故退=2〃-1,S”=(2〃-Ip，所以。6i=S6i

-5,6O=1212-1192=48O.

答案480

7.正项数列｛&"｝满足41=1,42=2,2a„=a„+i+a„-i(n£N*,心2),则a7=

解析由2*=£+i+a3(〃WN*,”22),可得数列｛%｝是等差数列，公差d=Oi

一所=3,首项届=1,所以%=1+3(〃-1)=3〃-2,cin—"\j3rt2,ciy—yj19.

答案回

8.设等差数列｛为｝的前n项和为Sn,若S.T=-2,Sm=0,S”+i=3,则m=

解析法一由已知得，am=Sm—Sm-\=2,am+i=Sni+i—Sm=3,因为数列｛斯｝

为等差数列，所以"=即+1—斯=1,又因为金二'-"#*-=o,所以机（s+2）

=0,因为MWO,所以m=-2,又a„,=ai+（w—l）d=2,解得w=5.

==:

法二因为Sm\——2,Snj=O,Sm+\—3,所以am—Sm—Sm\2,am+iSnl+\一

n（九一1）n（YI-1）

=

Sm—3,所以公差d=a〃i+]-dm1»由S〃=拉。|+d~na\4~，

m（加一1）

ma1+---------=0,①

（加—1）（加―2）

（m―1）a\+-2.②

1—m

由①得。1=丁，代入②可得〃?=5.

法三因为数列｛斯｝为等差数列，且前〃项和为S”,

所以数列榭也为等差数列.

S”L1।+1-23

所以攀，即

m-1TM+1m-1TM+1

解得加=5,经检验为原方程的解.

答案5

三'解答题

9.(2016・全国H卷)等差数列｛©,｝中，的+。4=4,a5+«7=6.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)设bn=[a„],求数列｛e｝的前10项和，其中[幻表示不超过x的最大整数，如

[0.9]=0,[2.6]=2.

解(1)设数列｛为｝首项为0，公差为力

=1,

2a।+5d=4,

由题意有解得2

ci\+5d=3.[d=5-

所以｛为｝的通项公式为知="3