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文档简介
L第六章数列
第1讲数列的概念及简单表示法
最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
基磕诊断梳理自力理篇记忆
知识梳理
1.数列的概念
(1)数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做
这个数列的项.
(2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限
子集)为定义域的函数%=«〃),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应
的一列函数值.
(3)数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
2.数列的分类
分类原则类型满足条件
有穷数列项数有限
按项数分类
无穷数列项数无限
递增数列1
按项与项间的大
递减数列“+1V。”其中
小关系分类
常数列=斯
有界数列存在正数M,使
按其他标准分类从第二项起,有些项大于它的前一项,有
摆动数列
些项小于它的前一项的数列
3.数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式:如果数列{斯}的第n项口与序号〃之间的关系可以用一个式子④
=/(〃)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式:如果已知数列{诙}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开
始的任一项即与它的前一项。,一(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那
么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
S\(〃=1),
4.已知数列{诙}的前"项和S〃,贝4斯=《二。
』一5,12).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“J”或"X”)喳精彩PPT展示
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()
(2)一个数列中的数是不可以重复的.()
(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.()
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()
解析(1)数列:1,2,3和数列:3,2,1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的.
(3)不是所有的数列都有通项公式.
答案(1)X(2)X(3)X(4)V
2.(2017•长沙模拟)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不
可能是()
[2,〃为奇数,
A.«„=(-l)fl+1〃为偶数
C.斯=2sirryD.aa=cos(〃一l)7r+1
777r
解析对〃=1,2,3,4进行验证,aa=2sing不合题意,故选C.
答案C
3.设数列{斯}的前〃项和&=〃2,则备的值为()
A.15B.16C.49D.64
,22
解析当〃=8时,^8=58—57=8—7=15.
答案A
4.己知斯=/+解,且对于任意的〃GN*,数列{斯}是递增数列,则实数2的取值
范围是.
解析因为{%}是递增数列,所以对任意的«GN*,都有为+]>斯,即5+1)2+
A(/?+l)>??2+/ln,整理,
得2〃+1+A>0,即2>-(2/7+1).(*)
因为〃21,所以一(2〃+l)W—3,要使不等式(*)恒成立,只需%>—3.
答案(-3,+°°)
5.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个
通项公式an=.
答案5M—4
I考点突破嗜精彩:PP1名师讲解分类讲练,以例求法
考点一由数列的前几项求数列的通项
【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
246810
⑵亨丘35*63*99;…;
(3)g,2,1,8,学,…;
(4)5,55,555,5555,….
解(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(一1)",观察各项的绝
对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为许
=(—1)"(6«—5).
⑵这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1X3,3X5,
5X7,7X9,9X11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积,分子依次为2,4,
6,…,相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为—.
1)(2〃十1)
(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观
察.即;1,会4%9,岩16年25,…,分子为项数的平方,从而可得数列的一个通项公式
乙乙乙乙乙
2
为a„=y.
(4)将原数列改写为烹X9,(X99,jx999,…,易知数列9,99,999,…的通项
yyy
为故所求的数列的一个通项公式为斯=|(10"-1).
规律方法根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住以下几方
面的特征:
(1)分式中分子、分母的各自特征;
(2)相邻项的联系特征;
(3)拆项后的各部分特征;
(4)符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
【训练】⑴数列246…的一个通项公式为(
10,p*)
A.a„=^q^(weN*)B.a“=;;+;(”£N*)
2(〃-1),*2〃*
=nEN
C.an=(〃©N)D.atl2n+^)
(2)数列…的一个通项公式a”=
解析(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可.
(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,
偶数项为正,所以它的一个通项公式为斯=(-1)”〃(〃;1).
答案(DC(2)(一1)"77六17
考点二由S”与许的关系求知(易错警示)
【例2】(1)若数列{恁}的前〃项和S,=3〃2—2〃+1,则数列{斯}的通项公式诙=
,71
(2)若数列{为}的前〃项和S"=§a"+§,则{为}的通项公式an=.
解析(1)当〃=1时,0=3=3X12—2X1+1=2;
当〃22时,
2
a„=Sn—S"-i=3〃2—2〃+1—[3(〃—I)—2(n—1)+1]=6«-5,显然当〃=1时,不
满足上式.
=
2,n19
故数列的通项公式为斯=«
6〃一5,n22.
2121
⑵由S产铲〃+§,得当“22时,
两式相减,彳守cin3""3"〃T’
,当〃22时,an=-2an-x,即0=—2.
1
21
又力=1时,Si=m=铲i+§,ai=l,
・"〃=(-2)1
2,77=1
答案⑴A<⑵(一2尸
S\,〃=1,
规律方法数列的通项诙与前〃项和S”的关系是&=。。①当〃=1
、S〃一5^—19“12.
时,0若适合S”一Si,则〃=1的情况可并入〃22时的通项即;②当〃=1时,
m若不适合S”一S.T,则用分段函数的形式表示.
易错警示在利用数列的前〃项和求通项时,往往容易忽略先求出0,而是直接
把数列的通项公式写成%=s”一S"T的形式,但它只适用于〃22的情形.
【训练2】⑴(2017•河南八校一联)在数列{斯}中,S”是其前〃项和,且S,=2a”
+1,则数列的通项公式%=.
(2)已知数列{%}的前n项和S”=3"+l,则数列的通项公式a„=.
解析(1)依题意得S”+i=2%+i+l,Sn=2an+1,两式相减得Sn+\—Sn=2an+\—
2an,即为+1=2%,又Si=2ai+l=a”因此m=-1,所以数列{斯}是以m=一1
为首项、2为公比的等比数列,%=—2"7.
(2)当w=l时,ai=Si=3+l=4,
当〃22时,-SLI=3"+1—3"T-1=23'T.
显然当〃=1时,不满足上式.
._卜,〃=1,
,斯=1231,心2.
,[4,〃=1,
答案⑴一2一⑵
12,3,〃与2
考点三由数列的递推关系求通项公式
【例3】在数列{斯}中,
(1)若“1=2,an+i=an+n+1,则通项公式斯=.
〃-1
(2)若41=1,即=一74〃—1(拉22),则通项公式卬=.
(3)I*T—1,%+i=2a〃+3,则通项公式〃〃=.
解析(1)由题意得,当时,斯=。1+(。2—。1)+(俏—。2)+…+(4—即-1)=2
(〃一1)(2+〃)〃(/+1)IX(1+1)
〃.又
+(2+3+…+)=2卜221U\=2=2
,卜n(n+1)
+1,符t合上式,因此诙=2+1・
Yl—1n—21
(2)法一因为a4=一/a”-1(〃22),所以斯-1—„1•。〃―2,*以上(拉
n—1
-1)个式子的等号两端分别相乘得知……
aa~\a~2aja2〃—1〃-2n-\1
法二因为n•n•n••••••'Cl\~~,••••••1
a„~]a„-2。a-3a2"M—1n—2»
(3)设递推公式a„+i=2a„+3可以转化为a„+i+/=2(a„+r),
即。"+i=2a”+£,解得f=3.
故a„+i+3=2(a,;+3).
令b”=aa+3,则仇=曰+3=4,
Fb”、i_4”11+3_
且丁=a〃+3=2,
所以步“}是以4为首项,2为公比的等比数列.
为=4•2"t=2"1,;.斯=2"।—3.
答案⑴〃”1)+1(2):(3)2/,+1-3
规律方法(1)形如斯+1=即+大〃)的递推关系式利用累加法求和,特别注意能消
去多少项,保留多少项.
(2)形如即+i=%•/(〃)的递推关系式可化为如1:/5)的形式,可用累乘法,也可用
斯二2--"11.....--ai代入求出通项.
12“1
(3)形如an+]=pa,l+q的递推关系式可以化为(a”+i+x)=p(a"+x)的形式,构成新
的等比数列,求出通项公式,求变量x是关键.
【训练3]⑴已知数列{斯}满足。1=1,42=4,a„+2+2a„=3a„+i(nGN*),则数
列{©,}的通项公式a„=.
(2)在数列{四}中,0=3,斯+1=斯+"(〃;]),则通项公式斯=.
=
解析(1)由an+2+2an—3a/z+10,
斯+2a〃+i—2(a〃+iUfi)9
・•・数列{斯+1—%}是以。2—。1=3为首项,2为公比的等比数列,
*1
an+\—。〃=3X2",
・・〃22时,cin—斯—1=3X2"\•••,。3—々2=3X2,a?—。]=3,
将以上各式累加得
斯一ai=3X2"—2+…+3X2+3=3(2〃T—1),
・••斯=3X2〃7-2(当〃=1时,也满足).
(2)原递推公式可化为为+1=斯+:—*,
,11,11
则。2=〃1+[-2,。3=。2+/―§,
,11।11111m,
。4=的十鼻一7,…,斯-1=斯-2十a=a-\+~,遂项相力口
J4n—2n—1nnn—1〃
得,a“=m+l—故a”=4—
答案(1)3X2"T—2(2)4-^
课堂是结
[思想方法]
1.由数列的前几项求数列通项,通常用观察法(对于交错数列一般有(一1)"或(一
1),,+1来区分奇偶项的符号);已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前
几项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.
S\(〃=1),
2.强调%与S”的关系:a„=V°/、、、
[Sn—S,,-i(〃32).
3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有两
种常见思路:
(1)算出前几项,再归纳、猜想;
(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.
[易错防范]
1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取
值,如数列许=/(")和函数歹=73)的单调性是不同的.
2.数列的通项公式不一定唯一.
I课时作业I分层训练,提升能力
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一'选择题
1.数列0,1,0,-1,0,1,0,一1,…的一个通项公式是许等于()
(—1)"+1mi
A.-------2-------B.cosE
71+1-〃+2
C.cos2兀D.cos2-
解析令〃=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确.
答案D
2.数列|,一,…的第10项是()
16C18
A-正B.一再
_20_22
C.一五D・一五
解析所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部
分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{斯}的通项公式%=(—1)〃+
।2〃20
'2n+V故So=一亓
答案C
3.(2016,保定调研)在数列{%}中,已知0=1,an+i=2a„+l,则其通项公式斯=
()
A.2"-1B.2"T+1
C.2〃一1D.2(〃一1)
解析法一由a„+i=2a/)+l,可求4/2=3,的=7,a4=15,…,验证可知an—
2"-1.
法二由题意知斯+i+l=2(a”+l),.•.数列{%+1}是以2为首项,2为公比的等
比数列,.••即+1=2",...斯=2"—1.
答案A
4.数列{斯}的前〃项积为〃2,那么当〃22时,a“等于()
A.2〃一1B.n
(〃+1)2
D,2
C.----n2-(n-1)
2
解析设数列{斯}的前〃项积为北,则Tn=n,
T〃2
当拉22时,4〃=亍=7\\2-
答案D
5.数列{a〃}:两足a〃+]+斯=2〃-3,若〃|=2,则恁—。4=()
A.7B.6C.5D.4
解析依题意得(斯+2+册+1)—(为+1+斯)=[2(〃+1)—3]—(2〃-3),即afJ+2-an=
2,所以。8一。4=(。8—。6)+(。6一。4)=2+2=4.
答案D
二、填空题
134
6.若数列{许}满足关系。〃+1=1+广,。8=万,则。5=_______.
a”乙1
91]?Q
解析借助递推关系,则。8递推依次得到。7=正,%=亘,。5=彳
1JOJ
答案I
7.已知数列{处}的前〃项和S,=〃2+2〃+l(〃GN*),则a„=.
解析当〃22时,an=S„—Sn-i=2n+l,当〃=1时,©=S=4W2X1+1,因此
4,/7=1,
4,〃=1,
答案
2〃+1,〃22.
8.(2017•北京海淀期末)已知数列{%}的前〃项和为S”且斯#0(〃£N*),又斯即+i
=Sn9则。3-a1=.
解析因为a〃a〃+i=S〃,所以令〃=1得。i〃2=Si=〃i,即。2=1,令〃=2,得a2a3
=S2="l+a2,即"3=1+。1,所以的-41=1.
答案1
三、解答题
9.数列{为}的通项公式是a“=〃2—7”+6.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
解(1)当〃=4时,04=42—4X7+6=-6.
(2)令④=150,即〃2—7〃+6=150,解得〃=16或〃=一9(舍去),即150是这个
数列的第16项.
⑶令即=〃2—7〃+6>0,解得〃>6或〃<1(舍).
从第7项起各项都是正数.
YI+2
10.已知数列{斯}中,幻=1,前〃项和a=二一斯.
(1)求。2,的;
(2)求{斯}的通项公式.
4
解(1)由52=1a2得3(〃[+。2)=4〃2,
解得。2=3。1=3.
由$3=铲3得3(。]+。2+。3)=5。3,
解得的=|(。1+。2)=6.
(2)由题设知tzi=l.
~1〃三2时,有"a”SfjSu—\1>
〃1
整理得斯=一汹
n-1
于是
4]=1,
3
。2=尸1,
4
〃3=于2,
n
-〃_2,
n+1
—iCln-1•
将以上〃个等式两端分别相乘,
n(〃+1)
整理得a„=----------
显然,当〃=1时也满足上式.
n(”+1)
综上可知,{为}的通项公式处=―5—
能力提升题组
(建议用时:20分钟)
11.设@=-3〃2+15〃一18,则数列{斯}中的最大项的值是()
A.号B.号C.4D.0
2
解析,.&=一3("—|)+,,由二次函数性质,得当"=2或3时,斯最大,最大
为0.
答案D
12.(2017,石家庄质检)已知数列{以}满足斯+2=。〃+1—a,1,且〃i=2,々2=3,则a?
016的值为.
解析由题意得,的=。2-。1=1,。4=的—。2=—2,。5=。4—。3=—3,。6=。5—
〃4=-1,。7=。6—々5=2,・••数列{斯}是周期为6的周期数列,而2016=
6X3369••。2016=〃6=-1.
答案T
13.(2017•太原模拟)已知数列{4“}满足ai=l,an—an+i=na„an+1(neN*),则。产
—
解析由an~cini\=nanan+\得/—;=〃,则由累加法得;一;=1+2H---F(M
n2-nr「、i<”…1〃~一〃,犷一〃+22
T尸丁又因为田=],所以:Cl/l=-N5-+]=乙5所以可=〃2_“+2
答案?4+2
1*
14.(2016・开封模拟)已知数列{%}中,an=l+a+2(neN,a^R且
aWO).
(1)若a=—1,求数列{©,}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的〃GN*,都有为〈劭成立,求a的取值范围.
解(l):a”=l+八-TV(〃WN*,aGR,且aWO),
Q十2(J〃一1)
1*
又a=-7,a=\+----式〃WN).
n2〃一9
结合函数/(X)=1+-g的单调性,可知,。5>。6>。7>…>
J数列{斯}中的最大项为6/5=2,最小项为。4=0.
1
,八、…12
(2)斯=1+.+2(〃-1)=1+-2^'
n~^2~
已知对任意的〃CN*,都有a”Wa6成立,
1
2
结合函数段)=1+―五的单调性,
x~^~
可知5<-y~<6,即一10<«<—8.
即a的取值范围是(一10,-8).
第2讲等差数列及其前忆项和
最新考纲1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公
式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识
解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数的关系.
|基础诊断梳理自测,理解记忆
知识梳理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这
个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母"表示.
数学语言表达式:4+1—a”=d(〃eN*,d为常数),或an—an-\=d(n^2,d为常
数).
(2)若a,A,b成等差数列,则/叫做a,b的等差中项,且/=审.
2.等差数列的通项公式与前«项和公式
(1)若等差数列{为}的首项是m,公差是d,则其通项公式为a“=a1+(〃-Dd.
通项公式的推广:an=ain+,〃eN*).
(2)等差数列的前〃项和公式
S"="("I""")二四吐〃z1)4(其中“GN*,m为首项,d为公差,a”为第〃
项).
3.等差数列的有关性质
已知数列{恁}是等差数列,工是{斯}的前n项和.
(1)若/"+“=p+q(加,n,p,qGN*),则有4,”+斯=与+%.
(2)等差数列{为}的单调性:当d>0时,{斯}是递增数列;当dVO时,{斯}是递
减数列;当d=O时,是常数列.
(3)若{斯}是等差数列,公差为4,则4左,a*+,",a&+2m,…(左,加WN*)是公差为返
的等差数列.
(4)数列5”,S2m-Sm,S3,"—S2,",…也是等差数列.
4.等差数列的前n项和公式与函数的关系
S"=%+(ai-拆
数列{6}是等差数列=,=/〃2+胡(4B为常数).
5.等差数列的前〃项和的最值
在等差数列{斯}中,ai>0,d<0,则S,存在最大值;若供<0,40,则S”存在
最小值.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“J”或"X”)喑精彩PPT展示
(1)数列{斯}为等差数列的充要条件是对任意〃GN*,都有2a〃+|=斯+即+2.()
(2)等差数列{斯}的单调性是由公差d决定的.()
(3)已知数列{斯}的通项公式是a”=p〃+q(其中p,q为常数),则数列{斯}一定是
等差数列.()
(4)数列{©,}为等差数列的充要条件是其通项公式为〃的一次函数.()
(5)等差数列的前〃项和公式是常数项为0的二次函数.()
解析(4)若公差d=0,则通项公式不是〃的一次函数.
(5)若公差d=0,则前〃项和不是二次函数.
答案(1)V(2)V(3)V(4)X(5)X
2.(2015・重庆卷)在等差数列{%}中,若的=4,如=2,则沏等于()
A.-lB.OC.lD.6
解析由等差数列的性质,得46=244-42=2X2—4=0,选B.
答案B
3.(2017•长沙模拟)设等差数列{为}的前〃项和为S”若&=2的,$5=15,则奥016
解析在等差数列{为}中,由$3=2内知,3a2=243,而$5=15,则6=3,于是
(72=2,从而其公差为1,首项为1,因此4"=〃,故42016=2016.
答案2016
4.在等差数列{%}中,a\=7,公差为d,前〃项和为S”当且仅当〃=8时S”取得
最大值,则d的取值范围为.
解析由题意知。<。且g8即>0,匕[7+叱7t/>0。,,解得一7
答案IT)
5.(必修5P68A8改编)在等差数列{为}中,若的+。4+。5+。6+。7=450,则做+小
解析由等差数列的性质,得03+44+05+06+47=545=45(),,6(5=90,+
。8=2。5=180.
答案180
1考点突破喳的彩PPT名牌讲解:分类讲练,以例求法
考点一等差数列基本量的运算
【例1】(1)(2016•全国I卷)已知等差数列{%}前9项的和为27,见0=8,则©oo
=()
A.100B.99C.98D.97
(2)(2016・唐山模拟)设等差数列{为}的前n项和为S”,S3=6,S4=12,贝IS6=
9<?।+36d=27,
解析⑴设等差数列{知}的公差为d,由已知,得,AJ_O所以
所以000=0+994=—1+99=98.
(2)法一设数列{处}的首项为m,公差为丈由S3=6,
S3=3a1+3d=6,41=0,
5=12,可得〈解得<
4$4=441+64=12,d=2,
即S6=6ai+15d=30.
法二由{恁}为等差数列,故可设前〃项和S"=/〃2+8”,
S3=9/+3B=6,
由S3=6,$4=12可得j.D—m
S4—16A+4B—129
A=l,,
解得即S=n~-n,贝!]56=36—6=30.
15=-1,n
答案(1)C⑵30
规律方法(1)等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量四,a„,d,n,
Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前〃项和公式在解题中起到变量代换作用,而内和d是等差
数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1](2015•全国I卷)已知{斯}是公差为1的等差数列,S〃为{为}的前n项
和.若S8=4S4,则so等于()
1719
A5~B.5~C.10D.12
8X7(4义3、i
解析由S8=4S4,得8〃I+-2-义1=4*(&/]+-2-X1J,解得。1=',
19
+9d=g,故选B.
答案B
考点二等差数列的判定与证明(典例迂移)
【例2](经典母题)若数列{&}的前n项和为Sn,且满足斯+2S"S”T=0(〃22),
1
(1)求证:成等差数列;
(2)求数列{为}的通项公式.
⑴证明当〃22时,由斯+255-1=0,
=
得Sn—Sn]=-2S„Sn-1,所以三一7;2,
又上=/2,故尚是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解由⑴可得七=2”,.•.S"==
当〃22时,
___1_]_______—-1-—______1____
斯='一邑-1=五一2(〃-1)=2n(〃-1)=-2z?(n-1),
当〃=1时,4]=3不适合上式.
1
5,n=\,
故斯=<]
「2〃(〃-1)'"义.
【迁移探究1]将本例条件“知+255,_|=0(〃22),"改为“S”(S“一诙)+
2a„=0(n$:2),4=2”,问题不变,试求解.
⑴证明当“22时,an=S"—S"7且&(&一%)+2%=0.
S"[S〃一⑸-Si)]+2(S”-S"-1)=0,
即S£T+2(S,—S”T)=0.
nm111311
即氏•又
故数列塔是以首项为多公差为刎等差数列.
_1n2
(2)解由(1)知不=/,:・Sn=7,当拉22时,
一S〃-SL1n(〃—1)
当〃=1时,41=2不适合上式,
r2,/I—1,
故斯=j____2____
〃22.
[n(n—1)
【迁移探究2]已知数列{斯}满足2斯7—斯斯T=1(〃22),ai=2,证明数列
:言|是等差数列,并求数列S"}的通项公式.
解当〃22时,斯=2一」一,
1
._J_____1_________1________1_______11*1
'"a„—12——1।1—\tzn-i_1an-\~\
a〃-ia〃-i
41(常数)•
数列[三]是以首项为1,公差为1的等差数列.
1)X1,
._.+]
:'a',=n-
规律方法等差数列的四种判断方法:
(1)定义法:对于〃N2的任意自然数,验证诙一诙_1为同一常数.
(2)等差中项法:验证2%-1=册+4”-2(〃23,”eN*)都成立.
(3)通项公式法:验证an=pn+q.
(4)前n项和公式法:验证S"=/〃2+8〃.后两种方法只能用来判断是否为等差数
列,而不能用来证明等差数列,主栗适合在选择题中简单判断.
考点三等差数列的性质及应用
【例3】(1)(2015•全国H卷)设S”是等差数列{即}的前〃项和,若。+的+的=3,
则55=()
A.5B.7C.9D.11
(2)(2016・洛阳统考)设等差数列{为}的前〃项和为S”若$3=9,$6=36,则为+
例十的等于()
A.63B.45C.36D.27
(3)已知S”是等差数列{斯}的前〃项和,若内=—2014,输一镰=6,则S2
017_•
解析(1):{6}为等差数列,.•.内+。5=2。3,得3a3=3,则的=1,,S5=
5(。|+45)__
~-5<23=5,故选A.
(2)由{为}是等差数列,得S3,S6—S3,S9—S6为等差数列.
即2(S6-53)=53+(S9-56),
得到S9—S6=2S6-3S3=45,故选B.
(3)由等差数列的性质可得{却也为等差数列.
设其公差为d.则今昔一关黑=6d=6,:.d=\.
ZU14ZUUo
故f^=¥+2016d=-2014+2016=2,
.•.52017=2X2017=4034.
答案(1)A(2)B(3)4034
规律方法等差数列的性质是解题的重要工具.
(1)在等差数列{诙}中,数列Sm,S2m-Sm,S3,”一S2,“也成等差数列.
(2)在等差数列中,数列拗也成等差数列.
【训练3】(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项
的和为390,则这个数列的项数为()
A.13B.12C.llD.10
(2)(2015•广东卷)在等差数列{0?}中,若43+04+45+46+47=25,贝ij々2+a8=
解析⑴因为。1+。2+的=34,。〃一+斯=146,
a\+。2+。3+。〃-2+斯-1+斯=34+146=180,
又因为。1+即=42+斯-1=。3+。〃-2,
=
所以3(〃i+%)=180,从而ci\~\~un60,
n(m+斯)〃X60
=
所以Sn2=2=390,Ep/I—13.
(2)因为{斯}是等差数列,所以的+。7=。4+。6=。2+。8=2。5,的+如+的+恁+0
=5。5=25,即死=5,42+。8=2。5=10.
答案(1)A⑵10
考点四等差数列前〃项和及其最值
【例4】(1)(2017•衡水月考)等差数列{为}的前〃项和为S”,已知m=13,S3=
Sn,当S“最大时,〃的值是()
A.5B.6C.7D.8
⑵设数列{为}的通项公式为an=2n-10(«GN*),则+闷+…+何目=
解析(1)法一由S3=S”,得网+死十…+。”=0,根据等差数列的性质,可得
劭+48=0.根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到。7>0,«8<0,故〃=7
时S,最大.
法二由S3=Si”可得30+3d=11句+55",把卬=13代入,得d=—2,故S“
=13〃一〃1)=—〃2+14〃.根据二次函数的性质,知当〃=7时工最大.
法三根据m=13,S3=S”,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先
递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前〃项和是关于〃的二次函数,以及二
3+11
次函数图象的对称性,可得只有当岸=一下一=7时,&取得最大值.
(2)由a"=2〃-10(〃GN*)知{z}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由斯=
2〃一1020得〃25,二〃W5时,当〃>5时,a„>0>+…+田5|
=—(a\+a2+a3+a4)+(a5+a6+~+ai5)=20+100=130.
答案(1)C(2)130
规律方法求等差数列前〃项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调
性,求出其正负转折项;
(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;
(3)将等差数列的前〃项和S"=/〃2+8〃(/,8为常数)看作二次函数,根据二次函
数的性质求最值.
【训练4】(2017•长春质量检测)设等差数列{斯}的前〃项和为S”,卬>0且案=去
则当£取最大值时,〃的值为()
A.9B.10C.11D.12
解析由言=V,得S”=S9,即so+au=O,根据首项m>0可推知这个数列递
减,从而mo>O,an<0,故〃=10时,S”最大.
答案B
课堂里结
[思想方法]
L在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于m,d的方程组进行求解.
2.证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前〃项和公
式法判定一个数列是否为等差数列.
3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量.
[易错防范]
1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”,如证明了即+i—诙=或〃22)
时,应注意验证念一。1是否等于丈若a2—a】Wd,则数列{。“}不为等差数列.
2.利用二次函数性质求等差数列前“项和最值时,一定要注意自变量〃是正整数.
I课时作业I1分层训练,提升能力
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一'选择题
1.(2016・武汉调研)已知数列{&}是等差数列,。|+劭=-8,改=2,则数列{恁}的
公差d等于()
A.-1B.-2C.-3D.—4
[a\+(Qi+6d)=一8,
解析法一由题意可得
十d—2,
解得0=5,-3.
:去—。]+。7=244=-8,・・。4=-4,
6/4—。2=-4—2=2",:.d=-3.
答案C
2.已知等差数列{《7}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数
项之和为25,则这个数列的项数为()
A.10B.20C.3OD.40
解析设项数为2〃,则由SLS奇得,25—15=2〃解得〃=5,故这个数列
的项数为10.
答案A
3.已知等差数列{许}满足m+.2+。3H----Faioi=0,则有()
A.«i+<2|oi>0B.z+aiooVO
(2.43+099=0D.<?5I=51
解析由题意,得QI+Z+WH---卜。101="’2,所以。1+。101=。2+
。100=。3+。99=°・
答案C
4.设数列{斯},{儿}都是等差数列,且勾=25,仇=75,。2+岳=100,则。37+如
等于()
A.OB.37C.100D.-37
解析设{斯},出〃}的公差分别为d\,"2,贝(1(。"+1+仇+1)—(如+6")=(“"+1—a”)+
(bn+i—hn)=d\+d2,
:.{an+bn]为等差数列,又见+仇=为+岳=100,
...{斯+兀}为常数列,...437+637=100.
答案c
5.(2017・泰安模拟)设等差数列{诙}的前〃项和为S”,若。2=—11,的+。9=一安
则当S”取最小值时,〃=()
A.9B.8C.7D.6
解析设等差数列{为}的首项为m,公差为d,
/42=-11,勾+1=-11,
由1。5+的=—2,付.2m+i2d=-2,
«1=-13,
解得彳,c/.a„=—15+2/2.
[d=2.
由斯=-15+2后0,解得后号又〃为正整数,
二当S”取最小值时,〃=7.故选C.
答案C
二'填空题
6.(2016•南昌模拟)已知每项均大于零的数列{斯}中,首项0=1且前n项和S”满
足SayS"-1—S"—l'\[^n=2qSnS"-l(〃wN且〃22),则。61=.
解析由已知S八底3—S"Ta=2归3可得,低一*3=2,所以{低}是
以1为首项,2为公差的等差数列,故退=2〃-1,S”=(2〃-Ip,所以。6i=S6i
-5,6O=1212-1192=48O.
答案480
7.正项数列{&"}满足41=1,42=2,2a„=a„+i+a„-i(n£N*,心2),则a7=
解析由2*=£+i+a3(〃WN*,”22),可得数列{%}是等差数列,公差d=Oi
一所=3,首项届=1,所以%=1+3(〃-1)=3〃-2,cin—"\j3rt2,ciy—yj19.
答案回
8.设等差数列{为}的前n项和为Sn,若S.T=-2,Sm=0,S”+i=3,则m=
解析法一由已知得,am=Sm—Sm-\=2,am+i=Sni+i—Sm=3,因为数列{斯}
为等差数列,所以"=即+1—斯=1,又因为金二'-"#*-=o,所以机(s+2)
=0,因为MWO,所以m=-2,又a„,=ai+(w—l)d=2,解得w=5.
==:
法二因为Sm\——2,Snj=O,Sm+\—3,所以am—Sm—Sm\2,am+iSnl+\一
n(九一1)n(YI-1)
=
Sm—3,所以公差d=a〃i+]-dm1»由S〃=拉。|+d~na\4~,
m(加一1)
ma1+---------=0,①
(加—1)(加―2)
(m―1)a\+-2.②
1—m
由①得。1=丁,代入②可得〃?=5.
法三因为数列{斯}为等差数列,且前〃项和为S”,
所以数列榭也为等差数列.
S”L1।+1-23
所以攀,即
m-1TM+1m-1TM+1
解得加=5,经检验为原方程的解.
答案5
三'解答题
9.(2016・全国H卷)等差数列{©,}中,的+。4=4,a5+«7=6.
(1)求{斯}的通项公式;
(2)设bn=[a„],求数列{e}的前10项和,其中[幻表示不超过x的最大整数,如
[0.9]=0,[2.6]=2.
解(1)设数列{为}首项为0,公差为力
=1,
2a।+5d=4,
由题意有解得2
ci\+5d=3.[d=5-
所以{为}的通项公式为知="3
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