2022-2023学年广东省珠海市斗门重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年广东省珠海市斗门重点中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=2A.−13 B.−10 C.10 2.设函数f(x)的导数为f′(x)A.−23 B.23 C.−3.中国空间站(ChinaSpaceStation)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31A.72种 B.90种 C.360种 D.450种4.在含有2件次品的30件产品中，任取3件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有(

)A.C21C281 B.C25.若(x+a)5的展开式中x2的系数是80A.1 B.2 C.3 D.46.已知1和4为等比数列{an}前5项中的两项，则第5项a5A.−64 B.−8 C.1647.若正项数列{an}满足an+1=an−lnan，0<aA.对任意的正整数n，恒有0<Sn<1 B.对任意的正整数n，恒有Sn>n

C.对任意的正整数n8.已知函数f(x)=exA.5 B.6 C.7 D.3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在(3x+1xA.8 B.12 C.13 D.1510.已知数列{an}满足an+1+1anA.若a=2，则a2023=12

B.若a=2，则S2023=1013

C.存在实数a，使{an}11.以下四个命题，其中满足“假设当n=k(k∈N*,k≥n0A.2n>2n+1(n≥2)

B.2+12.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(A.f(23)=0 B.f三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x−ax在x=114.随着科技的发展，记录每天运动步数的APP逐步走入人们的生活.在4月，如果某人每天的运动步数都比前一天多相同的数量，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则此人在4月份的运动步数是______万步．15.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则i=1n+12i16.五一期间，某公园准备用不同的花卉装扮一个有五个区域的矩形花坛(如图)，要求同一个区域用同一种花卉，相邻区域不能使用同种花卉.现有5种花卉可供选择，则不同的装扮方法共有______种(用数字作答)．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知(2x−1)n=a0+a1x+a18.(本小题12.0分)

某景区下周一至周六空气质量预报情况如下表所示.该市有甲、乙、丙三人计划在下周一至周六选择一天到该景区旅游，①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择周四出游；③丙不选择周一出游；④甲与乙不选择同一天出游，从这四个条件中任选其中三个，求这三人出游的不同方法的种数．

周一至周六天空气质量预报：周一周二周三周四周五周六优优优优良良19.(本小题12.0分)

已知数列{an}是首项为1，公差d>0的等差数列，{bn}是首项为2，公比q>0的等比数列，且a4=b2，a8=b3．

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)若数列{bn}的第20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=aln21.(本小题12.0分)

已知数列{an}，满足nan+1−(n+1)an=n(n22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=lnx+2，g(x)=x2．

(1)求曲线y答案和解析1.【答案】B

【解析】解：在等差数列{an}中，由a1=2，S5=−20，

得S5=5(a1+a2.【答案】B

【解析】解：根据题意，f(x)=x2−2xf′(1)，

则f′(x)=2x−2f3.【答案】B

【解析】解：由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱中都有2人，

所以共有C62C42C22A33⋅4.【答案】B

【解析】解：根据题意，含有2件次品的30件产品中，任取3件，

则恰好取到1件次品即2件正品，1件次品，有C21C282种取法．

故选：B．

根据题意，恰好取到1件次品即2件正品，5.【答案】B

【解析】解：由于(x+a)5的展开式中x2的系数是C53⋅a3=80，解得6.【答案】B

【解析】解：∵1和4为等比数列{an}前5项中的两项，则第5项a5最小时，公比为负值．

故第一、第三、第五项为负值，而1和4分别为第二项和第四项，

故有a2=1，a4=4，此时，公比为−2，

∴a5=a2⋅7.【答案】C

【解析】解：设函数f(x)=x−lnx，(x>0).则f′(x)=1−1x=x−1x，

所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

故f(x)min=f(1)=1．

又an8.【答案】B

【解析】解：令f(x)=t，则有f(t)=te2+1，

作出f(x)的图象，如图所示：

设直线y=kx+1与y=ex相切，切点为(x0,y0)，

则有ex0=kex0=kx0+1，解得x0=0，k=1，

设直线y=kx+1与y=lnx相切，切点为(x1,y1)，

则有1x1=kkx1+1=lnx1，解得x1=e2，k=9.【答案】AC【解析】解：(3x+1x)n(n∈N*)展开式通项为Tr+1=Cnr(3x)n−r(1x)r=Cnr⋅x2n−5r6(0≤r≤n)，

对于A，当n=8时，展开式通项为Tr+1=C8r⋅x16−5r6，

所以由10.【答案】BD【解析】解：当a=2时，a1=2，a2=12，a3=−1，a4=2，…，

∴{an}是周期为3的周期数列，a2023=a3×674+1=a1=2，故A错误．

由A可知，S3=a1+a2+a3=32，S2023=674S3+a1=1013，故B11.【答案】AB【解析】解：对于命题A，2n>2n+1(n≥2)，当n=2的时有4<5，故当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；

对于命题B，2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1)，

假设n=k时命题成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+2，

当n=k+1时有2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+2+2(k+1)=k2+2k+1+k+3=(k+1)2+12.【答案】AB【解析】解：∵f(x+23)为奇函数，∴f(−x+23)=−f(x+23)，

令x=0得，f(23)=−f(23)，即f(23)=0，故A正确；

∵f(2x−13)的图象关于y轴对称，∴f(2x−13)为偶函数，

∴f(−2x−13)=f(213.【答案】1

【解析】解：由f(x)=x−ax，得f′(x)=1+ax2，

由于切线与直线y14.【答案】26.7

【解析】解：由题意可得某人每天的运动步数构成数列{an}，且{an}的前n项和为Sn，

则数列{an}是等差数列，S10，S20−S10，S30−S20成等差数列，

所以2(S2015.【答案】3n【解析】解：根据题意，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，

若第n行的第i个数为ai，则ai=Cni−1，

当n≥1时，i=1n+16.【答案】420

【解析】解：根据题意，先在A中种植，有5种不同的选择，

再在B中种植，有4种不同的选择，

再在C中种植，有3种不同的选择，

再在D和E中种植，分2种情况讨论：

若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，

若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，

故不同的布置方案有5×4×3×(3+2×2)=420种．

故答案为：420．

根据题意，利用分步计数原理分析：先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有317.【答案】解：(1)∵二项式系数的和为1024，∴2n=1024，

故n=10；

(2)(2x−1)n=(2x−1)10=a0+a1【解析】(1)直接由2n=1024得答案；

(2)通过展开式的通项可得x的奇数次方的系数为负，x的偶数次方的系数为正，再分别通过令18.【答案】解：若选择①②③，甲、乙、丙分别有不同的选法为4，5，5，则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100；

若选择①②④，则需分两类，第一类，若甲选择周四出游，则三人出游的不同方法数N1=5×6=30，

第二类，若甲不选择周四出游，则三人出游的不同方法数N2=3×4×6=72【解析】选择不同的条件，根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理计算求解．

本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，是基础题．

19.【答案】解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，因为a4=b2，a8=b3，

所以1+3d=2q，1+7d=2q2，联立消q得9d2−8d−1=0，解得d=1或d=−19与d>0矛盾，

故d=1，代回计算得q=2，

所以an=a1+(n−1)d=n,b【解析】(1)根据等差和等比数列的通项公式，列出基本量方程组，即可求解；

(2)若选择①，得m=2k，k∈N*，可知剩下的项就是原数列的奇数项，代入等比数列求和公式，即可求解；若选择②，可得220.【答案】解：∵f(x)=alnx+12x2−(a+1)x，其中x>0，

∴f′(x)=ax+x−(a+1)=(x−1)(x−a)x，x>0，

∴①当a≤0时，x−a>0，

又x∈(0,1)时，f′(x)<0；x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；

②当【解析】先求导函数，再讨论导函数的两个零点的大小关系，从而得导函数的符号，进而得原函的单调性，即可得解．

本题考查利用导数研究函数的单调性，分类讨论思想，化归转化思想，属中档题．

21.【答案】解：(1)∵数列{an}，满足nan+1−(n+1)an=n(n+1)(n∈N*)，且a1=1，

∴令n=1，求得a2=4，

令n=2，求得a3=9，

令n=3，求得a4=16，猜想an=n2．

证明：显然，当n=【解析】(1)由