有理数混合运算简便算法与技巧

44有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。一、四个原则：整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运二、运算技巧归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算,如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。例：计算：一(0.5)—(—31)+2.75—(71)2解法一：一(0.5)—(—31)+2.75—(71)42=(—0.5+2.75)+(31—71)42=2.25—41=—2#解法二：一(0.5)—(—31)+2.75—(71)TOC\o"1-5"\h\z42=—0.5+31+2.75—7142=(3+2—7)+(—0.5+1+0.75—1)=—242评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．12411例:计算：一I1—2-+4-—5-+1-—3.8TOC\o"1-5"\h\z63536分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。11214解：原式，(一11)+(—2—5T+(4三—3.8)66335，—8+1，—7例：计算：19＋299＋3999＋49999解：19＋299＋3999＋49999=20—1＋300—1＋4000—1＋50000—1=(20＋300＋4000＋50000)—4=54320—4=54316．分解：将一个数分解成几个数和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。例：计算：-24+专-43+31解：原式a+5-4+3)+„-4+2-1+6〔二2+„-a+仝丄+1…(12121212丿1212例：计算：2008<200920092009-2009<200820082008。解：原式二2008<2009<100010001-2009<2008<100010001例：计算2005X2003—1001X1001.20041002解：2005X2003—1001<100120041002=(2004+1)X篇-(1002-1)X黑=（2003-1。01）+（篇+1002）=10032004评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．

约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。TOC\o"1-5"\h\zAC11例：计算：(-2.5)x6…(-0.125)x1.25』0.6…2-…—…(—2.5)x6x(—0.125)x1.25解：原式<5_1——11<20.6x21x1x11284倒序相加：利用运算律，改变运算顺序，简化计算。例：计算120032例：计算120032+200334005+・.■+20032003解：设A<12解：设A<12++2003200334005+.+20032003，把等式右边倒序排列，得a<4005+4004++丄+丄200320032003a<4005+4004++丄+丄2003200320032003将两式相加，得2A140052400440051(2003+2003)+(2003+2003)+'+(2003+2003)即2A<2x4005，所以A=4005所以原式=4005⑥裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法例:-I-・・・斗（弘一2）汇（弦+1）乘法分配律a(b+c)二ab+ac在运算中可简化计算.而反过来，ab+ac二a(b+c)同样成立,有时逆用也可使运算简便。在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快.例：计算：17.48X37+174.8X1.9+8.74X88.解：17.48X37+174.8X1.9+8.74X88=17.48X37+(17.48X10)X1.9+17.48X44=17.48X37+17.48X19+17.48X44=17.48X(37+19+44)=1748.评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率.⑧变序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算.例：计算：(-12.5人(+31)讣-¥x(-O.l)I5丿,4\解:原式＜„12.5…一…0.1…31I5丿€—1,31€—31。TOC\o"1-5"\h\z127例:计算:[4?+(—1)]+[(—2)+6上]1277125127解：[4?+(—丄)]+[(—2)+6L]1277125127=4?+(—1)+(—2)+6上1277125721=[4?+6上]+[(—2)+(—1)]1212773=11+(—-)7104评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．同步练习题1：计算：1+2—3—4+5+6—7—8+9—10—11—12+•••+1997+1998—1999—2000+2001

已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2,设P为AB的中点，P为AP121的中点，…，P为P的中点，求P,P，P,…，P所对应的各数之和。10099123100TOC\o"1-5"\h\z12411计算：—1_—2-+4-—5-+1——3.83536（分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。）求和111122222333335859(++——・・・++)+(++—+・・・++)+(—++—+・・・++)+・・・+(+)(3分4析：由5加9法交60换律3和结4合律5将分母59相同60的数结4合4相加6，可改5变9原6式0繁难的5计960算。)5.计算：2005,(+++—++)1,22,33,-2003,20042004,2005同步练习题2：计算：2+22+23++2859计算：111)—+—+—111317丿111)—+—+—111317丿„1111\…11131719丿1111)—+—+—+—11131719丿…111317丿3.计算：3.计算：4.计算：199919982199919972+199919992--1234005+++…+2003200320032003同步练习题1参考答案1.解法1：

原式€(1+2—3—4)+(5+6—7—8)+(9+10—22—12)+•••++(1997+1998—1999—2000)+2002解法€：—4)X500—2001€—2000+2000原式〔2—=1+0+0+…+Q2.解：设£对应的数为a(1-i-100)，则2.解：设£对应的数为a(1-i-100)，则a€1+厂丿€…100「1'i1+11+1+厶|+...+1+i2/222100所以，a1+a2+…+a100„1〕+101-1200100=-8+14.解：原式213241259312359€+(卄++卄+)+•••+(+++•••+—)232^2442460606060€1(1+2+3+-+59)2=解:原式+59)X591)]221)]=2005x[(1——)+(———)+(———)+…+(—)+(一223342003200420042005=2005x(1-20052004=2005x2005=2004同步练习题2参考答案：1.解：设a=2+22+23+•••+2859(1)贝Va€2+22+23+<<<+2860(2)则(2)—(1)得：a€2860—2艮卩2+22+23++2859€2860—2(含整体思想)2.解：令3.4.1111111a€—++,b€+++-,131711131719b一(1+b)a€b一a=-1911