弹塑性力学基础

弹塑性力学基础当前第1页\共有205页\编于星期三\0点弹塑性力学基础李同林中国地质大学力学教研室当前第2页\共有205页\编于星期三\0点第一章绪论一、学科分类·弹塑性力学二、弹塑性力学的研究对象三、弹塑性力学的基本思路与研究方法四、弹塑性力学的基本任务五、弹塑性力学基本假设六、弹塑性力学发展概况七、张量概念及其基本运算当前第3页\共有205页\编于星期三\0点一、学科分类·弹塑性力学按运动与否分：静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及物体运动状态的改变；如飞机停在地面或巡航。运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受力的关系；如飞行轨迹、速度、加速度。动力学：研究力与运动的关系。如何提供加速度？1、学科分类

当前第4页\共有205页\编于星期三\0点●按研究对象分：

◆一般力学：

研究对象是刚体。研究力及其与运动的关系。分支学科有理论力学，分析力学等。◆流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到：

水力学、空气动力学等学科。◆固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有：

材料力学、结构力学、弹性力学、

塑性力学、弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。当前第5页\共有205页\编于星期三\0点

按研究手段分：（理论分析、实验和数值计算）

有实验力学、计算力学二个方面的分支。

按应用领域分：有飞行力学、船舶结构力学、岩土力学、量子力学等。当前第6页\共有205页\编于星期三\0点

2、弹塑性力学

弹塑性力学是固体力学的一个重要分支学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学。

当前第7页\共有205页\编于星期三\0点二、弹塑性力学的研究对象

在研究对象上，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？

弹塑性力学研究对象也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。当前第8页\共有205页\编于星期三\0点三、弹塑性力学的基本思路与研究方法1、弹塑性力学分析问题的基本思路

弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支学科，它们在分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问题的基本方法上各不相同。其基本思路如下：当前第9页\共有205页\编于星期三\0点(1)受力分析及静力平衡条件(力的分析)

物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件是什么？（静力平衡条件）(2)变形的几何相容条件(几何分析)材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”，此时材料变形应满足的条件是什么？（几何相容条件）(3)力与变形间的本构关系(物理分析)

固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的材料，不同的变形，就有相应不同的物理关系。当前第10页\共有205页\编于星期三\0点◆弹塑性力学研究问题的基本方法以受力物体内某一点（单元体）为研究对象

单元体的受力——应力理论；单元体的变形——变形几何理论；单元体受力与变形间的关系——本构理论；

建立起普遍适用的理论与解法。1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。当前第11页\共有205页\编于星期三\0点四、弹塑性力学的基本任务可归纳为以下几点：

1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程和理论；

2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初等理论可靠性与精确度的度量；

3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济效益；

4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。当前第12页\共有205页\编于星期三\0点五、弹塑性力学的基本假设（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部空间，不留下任何空隙。

（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。

（3）力学模型的简化假设：（A）完全弹性假设；（B）弹塑性假设。当前第13页\共有205页\编于星期三\0点⑷几何假设——小变形条件

（A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。

（B）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；

假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而且应变(包括线应变与角应变)均远远小于1。根据这一假定：

当前第14页\共有205页\编于星期三\0点六、弹塑性力学发展概况

◆1678年英国科学家虎克(R.Hooke)提出了固体材料的弹性变形与所受外力成正比——虎克定律。◆19世纪20年代，法国科学家纳维叶(C.L.M.H.Navier)、柯西(A.L.Cauchy)和圣文南(A.J.C.B.SaintVenant)等建立了弹性力学的理论基础。当前第15页\共有205页\编于星期三\0点◆法国科学家库伦年）、屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、圣文南和莱(M.Levy)

波兰力学家胡勃(M.T.Houber

1904年）、米塞斯(R.vonMises1913年）、普朗特(L.Prandtl1924)

罗伊斯(A.Reuss1930)、享奇（H.Hencky)、纳戴(A.L.Nadai)、伊留申(A.A.Ииьющин)

阐明了应力、应变的概念和理论；弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架得以确立。当前第16页\共有205页\编于星期三\0点七、张量概念及其基本运算（附录一）

1、张量概念◆

张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。◆

张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。

◆

任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是不以人们的意志为转移的。

◆

分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。

当前第17页\共有205页\编于星期三\0点◆

所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。◆

在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。◆

在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。

◆

绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个分量来确定。

◆

若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：（Ⅰ—1）当前第18页\共有205页\编于星期三\0点◆现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。

◆二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来解决定义。当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；、、、当取n时，n阶张量，M=3n。当前第19页\共有205页\编于星期三\0点◆

在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区别该张量的所有分量。

◆

不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。◆

重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再不求和。2.下标记号法◆

本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，即变程为3。当前第20页\共有205页\编于星期三\0点3.求和约定

关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。例如：（I-2）（I-4）（I-5）当前第21页\共有205页\编于星期三\0点★

关于求和标号，即哑标有：◆

求和标号可任意变换字母表示。◆

求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。

◆

在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前优先求和。例：

（I-12）（I-13）当前第22页\共有205页\编于星期三\0点★关于自由标号：

◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。◆自由标号的数量确定了张量的阶次。★关于Kroneckerdelta（）符号：

是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：

（I-17）当前第23页\共有205页\编于星期三\0点4.张量的基本运算

A、张量的加减：

张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：

凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。即：其中各分量（元素）为：（I-19）（I-20）当前第24页\共有205页\编于星期三\0点B、张量的乘积◆

对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。

◆

两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：◆

张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如：

（I-21）（I-22）当前第25页\共有205页\编于星期三\0点C、张量函数的求导：◆

一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参数xi的函数。

◆

对张量求导，就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。

◆

对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前上方加“′”的方式来表示。例如：，就表示对一阶张量的每一个分量对坐标参数

xi求导。

◆

对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前上方加“′”的方式来表示。例如：，就表示对一阶张量的每一个分量对坐标参数

xi求导。

当前第26页\共有205页\编于星期三\0点◆

如果在微商中下标符号i

是一个自由下标，则算子作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。例如：（I-23）（I-24）（I-25）（I-25）◆

如果在微商中下标符号i

是一个自由下标，则算子作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。例如：当前第27页\共有205页\编于星期三\0点4.张量的分解张量一般是非对称的。若张量的分量满足则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零，即。

则称为对称张量。如果的分量满足（I-27）（I-28）当前第28页\共有205页\编于星期三\0点第二章

应力理论一、应力的概念·应力状态的概念二、应力分量转换方程三、主应力·应力主方向·应力张量不变量四、最大(最小)剪应力五、空间应力圆.应力椭球

六、应力张量的分解七、偏斜应力张量.主偏应力.应力偏量不变量八、八面体应力·等效应力九、平衡（或运动）微分方程当前第29页\共有205页\编于星期三\0点一、应力的概念

应力状态的概念◆应力：受力物体内某点某截面上内力的分布集度。1、应力的概念当前第30页\共有205页\编于星期三\0点2、应力状态的概念：受力物体内某点处所取无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表明了该点的应力状态应力正应力剪应力必须指明两点：1.是哪一点的应力；2.是该点哪个微截面的应力。◆表示应力的及符号规则：正应力：剪应力：

第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行。第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。当前第31页\共有205页\编于星期三\0点◆应力的正负号规则：当前第32页\共有205页\编于星期三\0点3.应力张量

数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为应力张量。或（2—3）

据剪应力互等定理,应力张量应是一个对称的二阶张量。

当前第33页\共有205页\编于星期三\0点二.应力分量转换方程

1、任意斜截面上的应力

已知：

求：PPx

、Py、

Pz斜截面外法线为n，方向余弦分别为L1

、L2

、L3；面积：SABC=1；SOBC=L1，SOAC=L2，SOAB=L3。当前第34页\共有205页\编于星期三\0点则由单元体力系平衡条件：、、得：（2—4）

（2—5）

（2—6）

（2—7）

（2—8）

当前第35页\共有205页\编于星期三\0点2、应力分量转换方程标坐轴xyzx′y′z′表2—1

当前第36页\共有205页\编于星期三\0点（2—10）

当前第37页\共有205页\编于星期三\0点3、平面应力状态◆注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。当前第38页\共有205页\编于星期三\0点（2—22）

（2—21）

（2—11）

当前第39页\共有205页\编于星期三\0点三.主应力·应力主方向·应力张量不变量

主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面；主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力；主方向：主平面的法线方向即为主方向；主单元体：由主平面截取的单元体称为主单元体。设斜截面ABC为主平面，则：3lPnzs=当前第40页\共有205页\编于星期三\0点则由2-4得：

（2—12）

（2—13）

（2—18）当前第41页\共有205页\编于星期三\0点

理论上可证明：当一点的应力状态确定时，由式2-18必可求出三个实根，即为主应力，且。主应力彼此正交。(2—19)

（2—20）

当前第42页\共有205页\编于星期三\0点◆正应力的极值就是主应力（2—24）

（2—25）由2-24及得：

对上式取极值求出方向余弦式，再代回式2-25得：，即正应力取极值截面上的剪应力为零，此正应力即为主应力。主方向彼此正交。当前第43页\共有205页\编于星期三\0点四.最大(最小)剪应力

由2-25及求出：当前第44页\共有205页\编于星期三\0点讨论式（b），可得其解如表２-３所示：表2—300±100±10

±0±1000000±±±±±当前第45页\共有205页\编于星期三\0点◆主剪应力为：当前第46页\共有205页\编于星期三\0点◆最大（最小）剪应力为：（2—27）

◆最大（最小）剪应力作用截面上一般正应力不为零，即：（2—28）

当前第47页\共有205页\编于星期三\0点五.空间应力圆·应力椭球一点应力状态用解析法研究用几何法研究解析理论莫尔应力圆

若三个坐标轴的方向都恰取为应力主方向，则由式(2—24)或(2—15)可求出用，外法线为n的斜截面上的正应力其表达式为:1、空间应力圆当前第48页\共有205页\编于星期三\0点在式（c）中，设永远是正值，所以式（c）中右端的分子和分母应有相同的正、负号。在式（c）中，设永远是正值，所以式（c）中右端的分子和分母应有相同的正、负号。当前第49页\共有205页\编于星期三\0点

当前第50页\共有205页\编于星期三\0点六、应力张量的分解+＝+＝（2—30）

当前第51页\共有205页\编于星期三\0点◆通常对于金属材料有：◆通常将应力张量进行分解，更有利于研究固体材料的塑性变形行为。

◆岩土材料在球应力张量作用下，一般也会出现塑性体变，从而出现奇异屈服面。球应力张量体变：只是弹性变形畸变：首先产生弹性畸变，当应力达到一定的极值时，将产生塑性的畸变。偏斜应力张量当前第52页\共有205页\编于星期三\0点七、偏斜应力张量.主偏应力.应力偏量不变量1、偏斜应力张量.主偏应力＝=＝＝＝当前第53页\共有205页\编于星期三\0点2、应力偏量不变量当前第54页\共有205页\编于星期三\0点=◆

作用八面体产生畸变，是塑性力学中的重要力学参量。八、8面体应力·等效应力当前第55页\共有205页\编于星期三\0点2、等效应力（2-43）◆材料处于单向拉伸应力状态时，，；◆应力状态确定了，值就确定了，与坐标轴的选择无关；◆等效应力与球应力状态无关，是塑性力学中的重要力学参量。计算中是使用的绝对值。

等效应力又称为有效应力或应力强度，用表示.当前第56页\共有205页\编于星期三\0点九、平衡（或运动）微分方程

当前第57页\共有205页\编于星期三\0点◆平衡微分方程：

◆一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的应力分量和体力分量必定满足这组方程。◆求解应力场的问题是一个静不定问题。◆体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。（2-44）（2-45）当前第58页\共有205页\编于星期三\0点十、静力边界条件

◆一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上任意一点的应力分量和面力分量必定满足这组方程。◆面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。（2-46）（2-47）当前第59页\共有205页\编于星期三\0点◆当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相应的面力分量直接对应相等。◆关于平面问题的应力边界条件（xoy平面）：（2-49）当前第60页\共有205页\编于星期三\0点例2-7：

图2—16所示为一变截面薄板梁，板的厚度为单位1，跨度为。梁上表面承受三角形分布载荷作用，下斜表面承受均布切向面力作用，左端面上作用的面力详细分布情况不清，但分布面力的合力为切向集中力P，合力偶的力偶矩为M。试确定此问题上述三边界上的应力边界条件。当前第61页\共有205页\编于星期三\0点当前第62页\共有205页\编于星期三\0点当前第63页\共有205页\编于星期三\0点例2-7：解：左边界：下边界：据圣文南原理和平衡的原理得：上边界：（1）（2）（3）当前第64页\共有205页\编于星期三\0点第三章变形几何理论一、位移、应变、几何方程、

应变状态、应变张量三、应变分量转换方程四、主应变、最大(最小)剪应变、体积应变七、应变速度、应变增量、应变莫尔圆六、应变协调方程五、应变张量的分解、等效应变二、位移边界条件当前第65页\共有205页\编于星期三\0点一、位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量1、位移分量和相对位移分量｛位移刚性位移：反映物体整体位置的变动变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化

研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。

通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数，参照oxyz坐标即为：（3---1）◆位移函数应是位置坐标的单值连续函数。◆位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。当前第66页\共有205页\编于星期三\0点当前第67页\共有205页\编于星期三\0点当前第68页\共有205页\编于星期三\0点2、应变的概念、几何方程◆在物体内任一点M处截取一单元体，考察其变形（由平面推广到空间）。◆在小变形的前提下建立应变的概念和几何方程。⑴

应变的概念当前第69页\共有205页\编于星期三\0点◆考察单元体在xy平面上投影ABCD的变形。◆当微分体变形并出现位移后，其在xoy平面上的投影ABCD就移至新的位置，如图所示。

⑴

应变的概念当前第70页\共有205页\编于星期三\0点⑴

应变的概念沿x方向棱边的线应变，据定义有：

也即：

（略去高阶微量得：）A点x，y方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）：

也即：当前第71页\共有205页\编于星期三\0点⑴

应变的概念线应变→角应变→◆应变的符号规则：

表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。显然：γxy=γyx。1.涉及受力物体内某点；2.涉及该点的某一方向；3.是一个无量纲的物理量。1、涉及受力物体内某一点；2、涉及过该点的某两相垂直方向；3、是一个有单位，无量纲的物理量。当前第72页\共有205页\编于星期三\0点⑵

几何方程：（3---2）

该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西(Augustin-LouisCauchy)几何关系。其缩写式为：（3---7）当前第73页\共有205页\编于星期三\0点3、应变状态、应变张量==（3---6）

受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度(状态)，称之为应变状态。一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张量，用表示，即：当前第74页\共有205页\编于星期三\0点◆

由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移

分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定，

因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量

完全确定时，位移分量则不一定能求解出来，

这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移

外，还可能包括有刚性位移。

当前第75页\共有205页\编于星期三\0点三、应变分量转换方程⑴任意方向上的线应变计算：当前第76页\共有205页\编于星期三\0点⑵

应变分量转换方程一点的应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方程为：(3---12)(3---13)当前第77页\共有205页\编于星期三\0点◆应变状态与应力状态都是二阶对称张量，

因此在数学上两者所遵循的坐标变换法则是

相同的。比较公式3--12和2—9，知其分量间对应关系为：但且◆由于应变张量与应力张量两者在数学上遵

循相同的坐标变换法则，所以可知主应变、

应变主方向、最大（最小）剪应力、应变张

量分解、…等对应关系式均可直接导出。当前第78页\共有205页\编于星期三\0点四、主应变、应变主方向、最大（最小）剪应变◆

过物体内任一点，一定存在着三个互相垂直的平面,在这些平面间剪应变为零，将其称之为应变主平面。

◆应变主平面的外法线方向称为应变主方向或应变主轴。应变主轴彼此正交。◆应变主方向上的线应变就是主应变。一点应变状态的主应变有三个即：◆当一点应变状态确定是，

其主应变、应变主方向由

下式确定：⑴主应变、应变主方向当前第79页\共有205页\编于星期三\0点（3---18）（3---19）（3---22）◆应变不变量：（3---23）当前第80页\共有205页\编于星期三\0点◆理论上可证明：三个应变主轴是彼此垂直的。◆

理论上一般认为：应力主方向与应变主方向彼此对应相同。通常简称为主方向。(2)、最大（最小）剪应变◆

理论上可证明：当一点应变状态确定时，该点的三个主应变一定也是三个实数根。并且按代数值排列：（3---24）（3---25）当前第81页\共有205页\编于星期三\0点五、应变张量的分解、八面体应变、等效应变应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，即：（3---27）（3---28）（3---27）⑴应变张量的分解当前第82页\共有205页\编于星期三\0点⑵偏斜应变张量.应变偏量不变量◆应变偏张量为：◆相应的应变偏量不变量为：(3---30）（3---29）当前第83页\共有205页\编于星期三\0点⑶八面体应变、等效应变◆

八面体应变公式为：◆

等效应变为：（3---34）（3---31）（3---32）当前第84页\共有205页\编于星期三\0点六、变形连续性条件◆由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一点应变状态的，彼此间是不能相互独立的。因此，六个独立的应变分量应满足一定的条件——变形连续性条件。

三个几何方程必须彼此协调，同时成立。◆以平面问题为例：（oxy平面）几何方程3个位移分量2个

若无附加条件，则位移没有单值解。◆平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐标x、y的函数。◆以平面问题为例：（oxy平面）几何方程3个位移分量2个◆以平面问题为例：（oxy平面）几何方程3个

若无附加条件，则位移没有单值解。位移分量2个◆以平面问题为例：（oxy平面）几何方程3个

三个几何方程必须彼此协调，同时成立。

若无附加条件，则位移没有单值解。位移分量2个◆以平面问题为例：（oxy平面）几何方程3个

三个几何方程必须彼此协调，同时成立。

若无附加条件，则位移没有单值解。位移分量2个几何方程3个◆平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐标x、y的函数。

三个几何方程必须彼此协调，同时成立。◆平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐标x、y的函数。

若无附加条件，则位移没有单值解。

三个几何方程必须彼此协调，同时成立。◆平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐标x、y的函数。位移分量2个

若无附加条件，则位移没有单值解。

三个几何方程必须彼此协调，同时成立。◆平面问题（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐标x、y的函数。位移分量2个

若无附加条件，则位移没有单值解。

三个几何方程必须彼此协调，同时成立。几何方程3个位移分量2个

若无附加条件，则位移没有单值解。

三个几何方程必须彼此协调，同时成立。当前第85页\共有205页\编于星期三\0点◆变形连续性条件，亦称应变协调条件（方程）或相容条件（方程）。导出如下：（3--35）当前第86页\共有205页\编于星期三\0点◆其数学意义：要求要求位移函数在其定义域内为单值连续函

数，其方程就是位移函数的全微分条件。◆其物理意义：就是要保证不违反连续性假设，构成物体的介质在变形前后是连续的，并且物体内每一点的位移必定是确定的，即同一点不会产生两个或两个以上的位移。这就是说，相邻点发生微小位移后，仍为相邻点，否则物体在变形后将出现间隙或重叠现象。

◆变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应变之间的协调关系。

◆关于平面问题，变形连续性条件简化为：（3--35）◆对于多连域问题，物体变形除满足式（2-94）（必要条件）外，还要补充条件（充分条件）。当前第87页\共有205页\编于星期三\0点

一点的应变状态可用应变莫尔圆来表示：七、应变莫尔圆当前第88页\共有205页\编于星期三\0点第四章弹性变形、塑性变形、本构方程§4-1弹性变形与塑性变形的特点

塑性力学的附加假设

§4-2

常用简化力学模型

§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数

§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件

§4-7

塑性本构方程简介

当前第89页\共有205页\编于星期三\0点§4-1弹性变形与塑性变形的特点

塑性力学的附加假设◆弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。｛◆静不定问题的解答1、静力平衡分析——平衡微分方程2、几何变形分析——几何方程3、物理关系分析——物理方程

◆此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。◆表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程，称为本构方程（关系）。当前第90页\共有205页\编于星期三\0点§4-1弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续1）◆

大量实验证实，固体受力变形时，应力与应变间的关系是相辅相成的。◆

固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的变形的客观特性。当前第91页\共有205页\编于星期三\0点§4-1弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续2）

⑴弹性变形特点:①弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复；②无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；③对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。当前第92页\共有205页\编于星期三\0点§4-1弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）⑵塑性变形特点:①塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必定要耗散能量（称耗散能或形变功）。②在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径（或加载历史）。③在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区，有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。④依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。当前第93页\共有205页\编于星期三\0点§4-1弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续4）◆具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上降低的效应，称为包辛格效应。◆

包辛格效应导致材料物理力学性质具有各向异性。◆由于这一效应的数学描述比较复杂,一般塑性理论（在本教程）中都忽略它的影响。⑶包辛格效应:当前第94页\共有205页\编于星期三\0点§4-1弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续5）⑷

塑性力学附加假设:为研究塑性力学需要，对材料提出如下附加假设：①球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不包含畸变（即形状改变量），体变是弹性的。因此，球应力不影响屈服条件；②偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中材料具有不可压缩性（即体积应变为零）；③不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性的。

◆

这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基础上的，前两条对岩土材料不适应。当前第95页\共有205页\编于星期三\0点§4-2

常用简化力学模型◆

变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象总结后提出的。◆

对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同的变形体力学模型。★

确定力学模型时应注意：①必须符合材料的实际情况；②模型的数学表达式应足够简单。当前第96页\共有205页\编于星期三\0点§4-2

常用简化力学模型（续1）

不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。当前第97页\共有205页\编于星期三\0点§4-2

常用简化力学模型（续2）

在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用的简化力学模型分析如下：当前第98页\共有205页\编于星期三\0点§4-2

常用简化力学模型（续3）◆

理想弹塑性力学模型

理想弹塑性力学模型亦称为弹性完全塑性力学模型，该模型抓住了韧性材料的主要变形特征。其表达式为：（4-2）当前第99页\共有205页\编于星期三\0点§4-2

常用简化力学模型（续4）◆

理想线性强化弹塑性力学模型

理想线性强化弹塑性力学模型亦称为弹塑性线性强化材料或双线性强化模型。其数学表达式为：当前第100页\共有205页\编于星期三\0点§4-2

常用简化力学模型（续5）◆理想刚塑性力学模型

理想刚塑性力学模型亦称刚性完全塑性力学模型，特别适宜于塑性极限载荷的分析。其表达式为:（4--4）当前第101页\共有205页\编于星期三\0点§4-2

常用简化力学模型（续6）◆

理想线性强化刚塑性力学模型

理想线性强化刚塑性力学模型，其应力应变关系的数学表达式为：（4--5）当前第102页\共有205页\编于星期三\0点§4-2

常用简化力学模型（续7）◆幂强化力学模型

为了避免在处的变化，有时可以采用幂强化力学模型。当表达式中幂强化系数n分别取

0或1时，就代表理想弹塑性模型和理想刚塑性模型。其应力应变关系表达式为：（4--6）当前第103页\共有205页\编于星期三\0点§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数

大量的试验研究结果表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力与应变之间存在着线性关系。若取过某点的x方向为单轴向力方向，则简单拉(压)时的虎克定律为：

由于这种关系反映出来的材料变形属性，应不随应力状态的不同而变化，因而人们认为，对于各种复杂应力状态也应有性质相同的关系，故可将上述应力应变线性比例关系推广到一般情况，即在弹性变形过程中，任一点的每一应力分量都是六个独立的应变分量的线性函数；反之亦然。这种形式的应力应变关系，称为广义虎克定律或弹性本构方程，表达为数学形式则为：

当前第104页\共有205页\编于星期三\0点§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续1）式中Cmn称为弹性常数，与位置坐标无关。（4-8）⑴

广义虎克定律一般表达式：假设物体中没有初应力，对于均匀的理想弹性体的应力应变关系下：当前第105页\共有205页\编于星期三\0点◆广义虎克定律张量表达式：（4-9）◆

广义虎克定律式（4-8）中36个弹性常数是否彼此无关？◆

弹性常数针对各种不同的研究对象；它们之间的关系是什么？◆式（4-8）若采用矩阵表达式,则为：{σ}=[D]{ε}{σ}称为应力列阵；{ε}称为应变列阵；[D]称为弹性矩阵。§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续2）当前第106页\共有205页\编于星期三\0点⑵弹性应变能函数:◆

弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形过程中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在加载过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内，此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性应变能在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变形能原理。若弹性应变能用U表示，外力功用We表示，则有：

（4--10）若以Wi表示内力功，则有：（4--11）（a）且：§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续3）

当前第107页\共有205页\编于星期三\0点⑶、弹性体中的内力功和应变能：物体内代表一点的微分体，在变形时存在有刚性位移与变形位移两部分。但由于内力是平衡力系，在微分体的刚体（性）位移上不作功，则只须讨论应力对微分体引起应变所作的内力功（亦称形变功）。§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续4）

首先考察单元体上外法线与x轴相平行的微截面上拉力（或压力）所作的功如图4-8(a)所示。当前第108页\共有205页\编于星期三\0点

同理可得：

于是拉力所作的内力功为：同理可得：

§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续5）当前第109页\共有205页\编于星期三\0点

则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态的过程中，弹性体整个体积的内力功为：（4—12）于是从零应变状态到达某一应变状态的过程中，积累在弹性体单位体积内的应变能为：

（4—14）

（4—13）§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续6）（4—13）当前第110页\共有205页\编于星期三\0点⑷、弹性势能函数:

有势力在势力场（弹性体）中，由于质点位置的改变（变形）有做功的能力，这种能称为势能。这种势能显然就是上述应变能。

势能是质点坐标的连续函数，故我们把应变能亦称为应变能函数，或弹性势能函数。

对于理想弹性体，在每一确定的应变状态下，都具有确定的应变值。弹性势能函数与应变过程无关。在加、卸载的过程中：

（b）§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续7）当前第111页\共有205页\编于星期三\0点上式表明：应力分量等于弹性势函数对相应的应变分量的一阶偏导数。适用于一般弹性体。其缩写式为：弹性势能函数是坐标的单值连续函数，故必为全微分，即：

（4—19）

§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续8）（4—17）

（4—18）

当前第112页\共有205页\编于星期三\0点⑸、弹性常数间的关系:①、极端各向异性体:对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。

变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：

（4—21）

§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续9）（4—20）

当前第113页\共有205页\编于星期三\0点②、正交各向异性体:正交各向异性体：过物体内一点具有三个互相正交的弹性对称面，在每个对称面两侧的对称方向上弹性性质相同，但在三个互相正交方向的弹性性质彼此不同。§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续10）

应变能的值只取决于弹性常数及最终的应变状态，应该与坐标轴的指向无关。当前第114页\共有205页\编于星期三\0点

正交各向异性体独立的弹性常数只有9个。则其相应的应力应变关系为：

其单位体积应变能为：（4—22）

（4—23）

§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续11）当前第115页\共有205页\编于星期三\0点

有一类正交各向异性体，其特点是在平行于某一平面的所有各个方向(即所谓横向)都具有相同的弹性，我们将这类正交异性体称为横观各向同性体。许多成层的岩石就属于这一类。③、横观各向同性体:

§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续12）（4—24）（4—25）当前第116页\共有205页\编于星期三\0点§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续13）对比材料力学的公式，则式(4-25)可写成：（4—26）由于在平面内各向同性，故由材料力学的证明知：（4—27）对于横观各向同性体，独立的弹性常数只有5个，它们是：。

当前第117页\共有205页\编于星期三\0点§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续14）④、各向同性体:

所谓各向同性体：是指过物体内一点沿任何方向上的物理力学性质均相同的物体。其独立的弹性常数只有两个。

各向同性体两个独立的弹性常数通常取为：

弹性模量E和泊桑比υ

★各向同性弹性体的本构方程:（4—28）（4—29）A.用应力表达应变的广义虎克定律:当前第118页\共有205页\编于星期三\0点B.用应变表达应力的广义虎克定律：上式中λ称为拉梅常数。（4—33）

§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续15）

剪切弹性模量G，杨氏弹性模量E，泊松(Poisson)比三者间的关系为：（4—30）（4—33）当前第119页\共有205页\编于星期三\0点C．用球应力与应力偏量表示的广义虎克定律：

（4—38）

此式说明各向同性弹性体的本构方程也可表示为：应变球张量与应力球张量成正比，应变偏张量与应力偏张量成正比。§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续16）

若将式(4-31)中各弹性系数代人式(4-23)，即可得各向同性体的应变比能为：

（4—34）

当前第120页\共有205页\编于星期三\0点体积弹性模量K剪切弹性模量G>0

弹性模量E>0

拉梅常数λ>0

§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续17）泊桑比

0<

<0.5当前第121页\共有205页\编于星期三\0点

例4—1

当泊松比υ=0.5时，为什么表示材料不可压缩性，即体积不变。此时的剪切弹性模量G与拉压弹性模量E有什么关系？解：设υ=0.5，由式（4—38）第一式及式（4—37），所以，体积应变:说明材料体积不变，即材料有不可压缩性。又由式（4—30），得:§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续18）当前第122页\共有205页\编于星期三\0点§4-3

弹性本构方程、弹性应变能函数（续19）

A、球应力（平均正应力）引起了单元体全部体变而不包括畸变；体变是弹性的。B、偏应力引起了单元体全部畸变而不包括体变。塑性变形仅是由应力偏量引起的。

事实上，由于应力状态中发生体变的球应力始终存在、发生弹性畸变的偏应力也始终存在，因此整个变形阶段弹性变形是始终存在的。当应力超过屈服极限而发生塑性变形时，始终还伴随着弹性变形，故而这个变形阶段称为弹塑性阶段。上述的两点讨论有助于我们对塑性变形的研究，

★应力张量和应变张量分解的物理意义：当前第123页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件1、屈服函数:

判断材料是处于弹性状态还是已经进入到塑性状态，进行这一判断所依据的准则就称为屈服条件，又称塑性条件。

当材料处于简单应力状态时，当应力达到屈服极限材料便处于塑性状态。即便是对那些应力应变曲线上弹塑性阶段分界不明显的材料，也可采用屈服极限。当前第124页\共有205页\编于星期三\0点提出问题:

在复杂应力状态下材料的屈服条件如何确立呢？

一点的应力状态通常是由六个独立的应力分量所确定。作为判断材料是否进入塑性状态的标准，应该考虑到所有这些应力分量的贡献。固体材料破坏的基本类型只有两类：（1）材料屈服流动、强化，产生较大的塑性变形，最终导致剪切断裂；（2）材料几乎不产生塑性变形，就导致脆性断裂；§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续1）当前第125页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续2)★

对于同一种材料，无论它处于何种应力状态，当导致它产生某种破坏的这一共同的因素达到某一个极限值时，材料就会产生相应的破坏。★

因此，我们希望通过材料的简单力学试验来确定这个因素的极限值。★

人们根据材料破坏的现象，总结材料破坏的规律逐渐认识到：不管固体材料产生破坏（脆性断裂或塑性屈服→剪切断裂）的表面现象多么复杂，对应某种破坏形式都具有共同的某一决定强度的因素。当前第126页\共有205页\编于星期三\0点

现在的问题就是：考虑如何根据简单受力状态的试验结果（上述极限值），去建立材料在复杂应力状态下（即与所有的应力分量都相关的）判别材料变形状态的关系——屈服条件。

在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说屈服条件是该点六个独立的应力分量的函数，即为：（4—40）

上式中的称为屈服函数。

§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续3）当前第127页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续4）2、主应力空间：（4—41）

对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料的屈服。因而可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服函数式（4—40）可改写为：

若球应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。则可认为屈服函数为：（4—42）

因此，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且可以在主应力所构成的空间，即主应力空间来讨论。当前第128页\共有205页\编于星期三\0点

主应力空间是一个三维空间，物体中任意一点的应力状态都可以用主应力空间中相应点的坐标矢量来表示，如图所示。因此，我们在这一主应力空间内可以形象地给出屈服函数的几何图象，而直观的几何图形将有助于我们对屈服面的认识。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续5）当前第129页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续6）⑴．球应力状态：或称静水应力状态，即应力偏量为零：

在主应力空间中，其轨迹是经过坐标原点并与三坐标轴夹角相同的等倾斜直线

on。

当前第130页\共有205页\编于星期三\0点

⑵．平均应力为零：即，应力偏量不等于零。在主应力空间中，它的轨迹是一个通过坐标原点并与on直线相垂直的平面，称它为π平面。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续7）当前第131页\共有205页\编于星期三\0点⑶．应力偏量为常量：即为常数)。它在主应力空间中的轨迹是与on线平行但不经过坐标原点的直线L

。⑷．平均应力为常量：即：（C为常量）。其在主应力空间的轨迹为一个与on直线正交但不通过坐标原点，也即和π平面相平行的平面。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续8）当前第132页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续9）

在主应力空间中，坐标原点附近的弹性区是被塑性区包围着的。作为弹性区与塑性区交界的曲面，称之为屈服面。它是屈服条件式（4—41）在主应力空间中的轨迹。屈服面的概念是拉伸（或压缩）应力应变曲线的屈服极限概念的推广。当前第133页\共有205页\编于星期三\0点

若我们认为球应力（静水压力）状态不影响材料的屈服，则上述屈服面必定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母线垂直于平面。曲线C就称为屈服曲线或屈服轨迹。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续10）当前第134页\共有205页\编于星期三\0点3、屈服曲线及其在π平面内的重要性质:

(2)．屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。(3)．屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。(1)．屈服曲线是一条封闭曲线，而且坐标原点被包围在内。(4)．屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，也即屈服曲面为外凸曲面。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续11）当前第135页\共有205页\编于星期三\0点4.讨论屈服曲线的可能位置：

一切满足各向同性、不计包辛格效应、与球应力状态无关、并且外凸等条件的可能的屈服轨迹一定位于正六边形

ABCDEFA与之间。并且只有外凸的曲线才是可能的屈服轨迹。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续12）当前第136页\共有205页\编于星期三\0点5、常用屈服条件:

历史上（从十九世纪中叶开始）曾经先后提出许多不同形式的屈服条件，如最大正应力条件（G.Galileo）、最大弹性应变条件（B.Saint—Venant）、弹性总能量条件（E.Beltrami）、最大剪应力条件（H.Tresca）、歪形能条件（R.VonMises）、Mohr条件（O.Mohr）、……等等。经过许多实验检验，证明符合工程材料特征，又便于在工程中应用的常用屈服条件有以下两种：§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续13）当前第137页\共有205页\编于星期三\0点（1）．Tresca屈服条件（最大剪应力条件）:1864年，法国工程师屈雷斯卡（H.Tresca）在作了一系列金属挤压实验的基础上，发现在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近于最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶格滑移而形成的。(指绝对值)达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。当

Tresca指出：在物体中，当最大剪应力(指绝对值)达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。即：§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续14）（4—43）当前第138页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续15）（4—43）

通过简单受力状态的试验来测定。如采用单向拉伸试验和纯剪切试验可测得：（4—48）（4—49）

最大剪应力的假设和实验结果比较一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca条件时，主应力的大小和次序应该知道，因为这样才能求出最大剪切应力，使用Tresca条件是很方便的。当前第139页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续16）Tresca屈服条件在主应力空间中的几何轨迹，相当于图4-18(a)中所示正六角柱体。该柱体与平面的截迹如图4-18(b)所示。该柱体与平面的截迹，则为一等边等角的六边形，如图4-18(c)所示。当前第140页\共有205页\编于星期三\0点Tresca最大剪应力屈服条件忽略了中间主应力对材料屈服的贡献，这是它的不足之处。德国力学家米塞斯（R.VonMises）注意到了这个问题。

§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续17）

米塞斯（R.VonMises）（1913年）指出：在等倾面上，Tresca条件六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个顶点的直线段却包含了假定（认为中间主应力不影响屈服），这种假定是否合适，需经实验证明。当前第141页\共有205页\编于星期三\0点Mises认为：用一个圆来连接这六个顶点似乎更合理，并且可避免因曲线不光滑而造成的数学上的困难。因此，Mises屈服条件在主应力空间中的轨迹是外接于Tresca六角柱体的圆柱体，如图所示。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续18）当前第142页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续19）Mises屈服条件在主应力空间中的轨迹是外接于Tresca六角柱体的圆柱体，如图4-19(a)所示，该圆柱体垂直于正八面体斜面或平面。

当前第143页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续20）

于是Mises提出了另一个屈服条件——畸变能条件，即认为当物体内某一点的应力状态对应的畸变能达到某一极限数值k时，该点处材料便屈服。可推得畸变能密度公式为：故Mises条件可写为：（4—52）（4—51）式中k为表征材料屈服特征的参数。当前第144页\共有205页\编于星期三\0点§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续21）

通过简单受力状态的试验来测定k

。若采用单向拉伸试验和纯剪切试验可测得：和则：（4—53）（4—54）当前第145页\共有205页\编于星期三\0点★Hencky认为：当韧性材料的形状改变能密度达到一定数值k′时，材料便开始屈服。（4—55）

§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续22）故Mises条件也可写为：当前第146页\共有205页\编于星期三\0点★

1937年纳达依（A.Nadai）认为当八面体剪应力达到一定数值时，材料便开始屈服。即：（4—56）

★1952年诺沃日洛（В.Б.Новожипов）又对Mises条件的物理意义用剪应力的均方值给了又一个解释。

以上各种屈服条件的解释虽然表达形式不同，但实际上它们之间是存在有内在联系的。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续23）当前第147页\共有205页\编于星期三\0点6．Tresca屈服条件与Mises屈服条件的比较：

通过实验验证：一般认为Mises条件比Tresca条件更符合实验结果。而在实际使用中各有优缺点：Tresca条件是主应力分量的线性函数，因而对于已知主应力方向及主应力间的相对值的一类问题，是比较简便的。而Mises条件则显然复杂得多。但是从理论上讲，最大剪应力条件忽略了中间主应力对屈服的影响，似有不足。而畸变能条件则克服了这一缺点。§4-4

屈服函数、主应力空间、常用屈服条件（续24）当前第148页\共有205页\编于星期三\0点§4-5岩土材料的变形模型与强度准则

地质或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料以及工业陶瓷等材料统称为岩土材料。或抗拉强度极限

实验表明，当应力较低时，试件材料的内部裂隙被压实，在这个阶段（OA段），应力的数值增加不大，而压缩应变较大；在内部裂隙被压实之后，应力与应变呈现近似线性地增长，在这个阶段（AB段）中，伴有体积变化，而B点的应力值称为屈服强度。随着应力的增加，材料的微裂纹也在不断地发生与扩展，因此应力和应变之间表现出明显的非线性增长，也表现一定的应变硬化特性（BC段），C点的应力值称为强度极限（抗压强度极限）。1、岩土材料的变形特征：当前第149页\共有205页\编于星期三\0点§4-5岩土材料的变形模型与强度准则（续1）

在C点附近，试件总的体积变化从收缩转入扩胀，即材料出现宏观裂纹，裂纹的扩展使得材料的变形不断增加，而应力不断下降，将这一阶段（CD段）称为应变软化阶段；DE阶段则显示出了材料的剩余强度。

综上所述，可将岩土材料的