第十二章概率与统计2节

第二节统计与概率综合及统计案例✎考纲解读理解随机抽样的必要性和重要性.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.会作两个有关联变量的数据的散点图，利用散点图认识变量间的相关关系.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.独立性检验了解独立性检验（只要求2

·

2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.回归分析了解回归的基本思想、方法及简单应用.✎知识点精讲一、抽样方法.3种抽样方式的对比如表12-1所示类别共同点各自特点相互关系使用范围简单随每个个体被抽到的机会均等，总体N，样本n，每个个体被抽到的概率P=nN从总体中随机逐总体中的个体个机抽样个抽取数较少系统抽样总体均分几段，每段T

个第一段取a1，第二段取a1

+T，第一段简单随机抽样总体中的个体个数较多第三段取a1

+2T，分层…抽样将总体分成n倍，每层按简单随机总体由差异明显每层按比例抽取抽样或系统抽样的几部分组成表12-1二、样本分析①样本平均三、频率分布直方图的解读（1）频率分布直方图的绘制①由频率分布表求出每组频数 ；②求出每组频率（为样本容量）；nx1ni=1x

=

i(

)

22ni；②方差s1n=x

-

x

.i=1nii

innP

=n③列出样本频率分布表；④画出样本频率分布直方图，直方图横坐标表示各组分组情况，纵坐标为每组频率与组距比值，各长方形面积即为各组频率，长方形面积总和为1.（2）样本估计总体步骤：总体fi

抽取样本fi

频率分布表fi

频率分布直方图fi

估计总体概率分布.样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，直方图无限趋近概率分布密度曲线.s2（3）用X

估计总体期望

EX

，用

s2

估计总体方差，s

=

估计总体标准差.公式

aX

+

b

=

a

X

+

b，s2

(aX

+

b

=

a2

s2

(X

.四、线性回归线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系——相关关系的方法.其中，，，称为样本点的中心.五、独立性独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法.，(x2

,

y2

，(xn

,

yn

，n1nx

=

iny1ni=1

i=1x y

=

i(x

,

y步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，直线斜率k

>0

，称两个变量正相关；k

<0

，称两个变量负相关.对于一组具有线性相关关系的数据(x1

,y1其回归方程yˆ

=bxˆ

+a

的求法为，并判断：步骤为列出2

·

2

列联表（如表12-2

所示），2n

(ad

-

bc求出c2

=(a

+

b)(c

+

d

)(a

+

c)(b

+

a)表12-2条件A条件BA1A2合计B1aca

+

cB2bdb

+

d合计a

+

bc

+

dn

=

a

+

b

+

c

+

d✎题型归纳及思路提示题型144

抽样方式【例12.10】一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.）.D.8,16,10,6,则从上述各层中依次抽取的人数分别是（A.12,24,15,9

B.9,12,12,7

C.8,15,12,5【解析】由分层抽样的性质可知，800160从高级职称中抽取

·

40

=

8

人；320从中级职称中抽取

·

40

=16

人；800从初级职称中抽取

800

人；200

·

40

=10800120从初级职称中抽取

·

40

=

6

人.故选D.题型145

样本分析——用样本估计总体【例12.12】如图12-9是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）.数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是

[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,

21.5)，[21.5,

22.5)，[22.5,

23.5)，[23.5,

24.5)，[24.5,

25.5)，[25.5,

26.5).已知样本中平均气温低于22.5

℃

的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为

.0.260.220.180.120.10频率组距【解析】由直方图可知最左边两个矩形面积之和为0.10

·1+0.12

·1=0.22，20.5

21.5

22.5

23.5

24.5

25.5

26.5

平均气温/℃总城市数为11‚0.22=50，最右面矩形面积为0.18·1=0.18

，50

·0.18=9

，即样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为9.【例12.12变式1】为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为𝑚௘，众数为𝑚଴，平均值为𝑥，则（

）.A.

𝑚௘

=

𝑚଴

=C.

𝑚௘

<

𝑚଴

<B.

𝑚௘

=

𝑚଴

<D.

𝑚଴

<

𝑚௘

<O2

2

223361086423

4

5

6

7

8

9

10频频10得得【解析】

由条形图知共有30个数，从小到大排列，所以𝑚଴

<𝑚௘

<𝑥.故选D.ଷ଴平均数𝑥

=

ଵ

×

ሺ3×

2+

4×3

+5×

10

+

6×6

+7×

3

+

8×2

+9×

2

+ଷ଴10

×2ሻ

=

ଵ଻ଽ

，其中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数𝑚௘

=5.5，众数𝑚଴

=5

，题型146

统计图表与概率综合【例12.15】如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各4名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以𝑋表示.（1）如果𝑋=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果𝑋=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树为19的概率.（注：方差𝑠ଶ

=

ଵ

𝑥ଵ

−

𝑥

ଶ

+

𝑥ଶ

−

𝑥

ଶ

+⋅⋅⋅

+

𝑥௡

−

𝑥

ଶ

，௡其中𝑥为𝑥ଵ，𝑥ଶ，⋅⋅⋅，𝑥௡的平均数）甲乙乙乙9

9

0

X

8

91

1

1

0【解析】（乙1）

𝑋

=

8，乙组的平均数为𝑋

=଼×ଶାଽାଵ଴

ଷହ

ସ

ସ=

，𝑠ଶ

=

1

8−

354

4ଶ35×2

+ 9

−

4ଶ35+ 10

−

4ଶ=

19

×2

+

1

+

254

16

16

16

16=

11

.（2）设甲组4名同学分别为𝑥ଵ，𝑥ଶ，𝑥ଷ，𝑥ସ，植树棵树分别为9，9，11，11，乙组四名同学分别为𝑦ଵ，𝑦ଶ，𝑦ଷ，𝑦ସ，植树棵树分别为9，8，9，10.分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有：ሼ

𝑥ଵ，𝑦ଵ

，

𝑥ଵ，𝑦ଶ

，

𝑥ଵ，𝑦ଷ

，𝑥ଵ，𝑦ସ

，

𝑥ଶ，𝑦ଵ

，𝑥ଶ，𝑦ଶ

，

𝑥ଶ，𝑦ଷ

，

𝑥ଶ，𝑦ସ

，

𝑥ଷ，𝑦ଵ

，

𝑥ଷ，𝑦ଶ

，𝑥ଷ，𝑦ଷ

，

𝑥ଷ，𝑦ସ

，

𝑥ସ，𝑦ଵ

，

𝑥ସ，𝑦ଶ

，

𝑥ସ，𝑦ଷ

，𝑥ସ，𝑦ସ

ሽ共16种.设“选出的两名同学的植树总棵树为19”为事件𝐴，则事件𝐴包含的结果有ሼ

𝑥ଵ，𝑦ସ

，

𝑥ଶ，𝑦ସ

，

𝑥ଷ，𝑦ଶ

，

𝑥ସ，𝑦ଶ

ሽ共4种，故所求的概率𝑃

𝐴 = ସ

=

ଵ.ଵ଺

ସ【例12.17变式1】如图所示，𝐴地到火车站有共有两条路径𝐿ଵ和𝐿ଶ，现随机抽取100位从𝐴地到达火车站的人进行检查，调查结果如下表所示.试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；分别求通过路径𝐿ଵ和𝐿ଶ所用时间落在上表中各时间段内的频率；现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.L1

火火火AL2时间（min)10~2020~3030~4040~5050~60选择𝐿ଵ的人数612181212选择𝐿ଶ的人数0416164【解析】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44（人），所以用频率估计相应的概率为0.44.（2）选择𝐿ଵ的有60人，选择𝐿ଶ的有40人，故由调查结果得频率如下表所示：所用时间（分钟)10~2020~3030~4040~5050~60𝐿ଵ的频率0.10.20.30.20.2𝐿ଶ的频率00.10.40.40.1（3）设𝐴ଵ，𝐴ଶ分别表示“甲选择𝐿ଵ和𝐿ଶ时，在40分钟内赶到火车站”，𝐵ଵ，𝐵ଶ分别表示“乙选择𝐿ଵ和𝐿ଶ时，在50分钟内赶到火车站”，由（2）知𝑃

𝐴ଵ

=

0.1

+

0.2

+

0.3

=

0.6，𝑃

𝐴ଶ

=

0.1

+

0.4

=

0.5，𝑃

𝐴ଵ

>𝑃

𝐴ଶ

，所以甲应选择𝐿ଵ.同理，𝑃

𝐵ଵ

=

0.1

+

0.2

+

0.3

+

0.2

=

0.8，𝑃

𝐵ଶ

=

0.1

+

0.4

+

0.4

=

0.9，𝑃

𝐵ଵ

<𝑃

𝐵ଶ

，所以乙应选择𝐿ଶ.x3456y2.5344.5题型147

线性回归方程【例12.18】如表所示，其中提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产耗能y（吨）标准煤的几组对照数据.请画出表示数据的散点图；请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y

关于x

的线性回归方程yˆ

=bˆx

+aˆ

；已知该厂技改前100吨甲产品的生产耗能为90吨标准煤，试根据（2）求得的回归方程，预测生产100吨甲产品耗能比技改前降低多少吨标准煤？（参考值：3·

2.5

+4

·3

+5·

4

+6

·

4.5

=66.5

）.【解析】（1）由题设所给数据，可得散点图（如图12-22所示）上的点基本在一条直线附近，数据正相关，存在回归方程.x（吨甲吨吨）0y（吨吨吨吨）5.04.54.03.02.52.01.01

2

3

4

5

6图12-22（2）由表得，(

)

23.554

4nii=1bˆ

=

i=1

=x

-

x(xi

-

x

)(yi

-

y

)nx

=

1

(3

+

4

+

5

+

6)

=

4.5

，y

=

1

(2.5

+

3

+

4

+

4.5)

=

3.5.=

0.7

，aˆ

=

y

-

bˆx

=

0.35.即x

，y

的回归方程为yˆ

=0.35

+0.7x.（3）由（2）的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产耗能，得节省的生产耗能90

-

(0.7

·100

+

0.35

=19.65（吨标准煤）.xixi

-

x(x

-

x

2i(xi

-

x

(yi

-

yyi

-

yyi3-1.52.251.5-12.54-0.50.250.25-0.5350.50.250.250.5461.52.251.514.5x

=

4.54

(x

x

2

=5i

-

)i=14(xi

-

x

)(yi

-

y

)=

3.5i=1y

=

3.5题型148

独立性检验【例12.19变式3】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽