河南省漯河市郾城中学高三数学理期末试卷含解析

河南省漯河市郾城中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.阅读如图所示的算法框图，输出的s值为 ．A．0

B．1＋

C．1＋

D.－1参考答案：B3.函数f(x)＝－cosx在[0,＋∞)内（

）A．没有零点

B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点

D．有无穷多个零点参考答案：B4.在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C5.若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）等于(

)A． B．2x﹣2 C．logx D．log2x参考答案：D【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】利用函数y=ax的反函数y=f（x）的图象经过点（2，1），可知点（1，2）在函数y=ax的图象上，由此代入数值即可求得a，再求出反函数即可．【解答】解：∵f（2）=1，∴点（2，1）在函数y=ax的反函数的图象上，则点（1，2）在函数y=ax的图象上，将x=1，y=2，代入y=ax中，得2=a1，解得：a=2，∴y=2x，则x=log2y，即y=log2x，∴f（x）=log2x，故选：D．【点评】本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，以及反函数的求法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6.等差数列{an}中，a7=4，a8=1，则a10=（）A．﹣5 B．﹣2 C．7 D．10参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可得公差d=﹣3，即可求出答案．【解答】解：等差数列{an}中，a7=4，a8=1，∴d=a8﹣a7=1﹣4=﹣3，∴a10=a8+2d=1﹣2×3=﹣5，故选：A．7.已知向量=（﹣1，2），=（﹣1，1），=（﹣3，1），则?（+）=(

) A．（6，3） B．（﹣6，3） C．﹣3 D．9参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：进行向量加法和数量积的坐标运算即可．解答： 解：．故选：D．点评：考查向量的加法和数量积的坐标运算，弄清数量积是一个数而不是向量．8.已知函数，其导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D9.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B因为是实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根，则，，所以解得，，选B.10.执行右面的程序框图，如果输入的n是5，则输出的p是（

）

A．1

B．2

C．3

D．5参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线是函数的切线，则实数

．参考答案：略12.（）的展开式中的系数是 参考答案：3113.已知sinα=，且α为钝角，则cos=．参考答案：．【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos=，又由α是钝角，可得的范围，由此可得cos的符号为正，即可得答案．【解答】解：∵由α是钝角，即90°＜α＜180°，则45°＜＜90°，∴cosα＜0，cos＞0，∴cosα=﹣=﹣，∴cos===．故答案为：．14.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为

．

一年级二年级三年级女生373男生377370参考答案：1615.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．参考答案：【解析】：解：真命题的代号是：

BD

。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。16.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是

。参考答案：略17.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=．参考答案：4【考点】抛物线的标准方程．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知数列{an}的首项为1，设f（n）=a1Cn1+a2Cn2+…+akCnk+…+anCnn（n∈N*）．（1）若{an}为常数列，求f（4）的值；（2）若{an}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；（3）数列{an}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2n?（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{an}的通项公式；若不能，试说明理由．参考答案：考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：综合题；转化思想．分析：（1）{an}为常数列，a1=1，可求an=1，代入f（n）=a1Cn1+a2Cn2+…+akCnk+…+anCnn（n∈N*）可求f（4）的值；（2）根据题意可求an=2n﹣1（n∈N*），f（n）=Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2n﹣1Cnn，两端同时2倍，配凑二项式（1+2）n，问题即可解决；（3）假设数列{an}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，利用倒序相加法求得，最终转化为（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，从而求得d=2，问题解决．解答： 解：（1）∵{an}为常数列，∴an=1（n∈N*）．∴f（4）=C41+C42+C43+C44=15．（2）∵{an}为公比为2的等比数列，∴an=2n﹣1（n∈N*）．∴f（n）=Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2n﹣1Cnn，∴1+2f（n）=1+2Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn=（1+2）n=3n，故．（3）假设数列{an}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，设公差为d，则f（n）=a1Cn1+a2Cn2+…+akCnk+…+an﹣1Cnn﹣1+anCnn，且f（n）=anCnn+an﹣1Cnn﹣1+…+akCnk+…+a2Cn2+a1Cn1，相加得2f（n）=2an+（a1+an﹣1）（Cn1+Cn2+…+Cnk+…+Cnn﹣1），∴==1+（n﹣1）d+[2+（n﹣2）d]（2n﹣1﹣1）．∴f（n）﹣1=（d﹣2）+[2+（n﹣2）d]2n﹣1=（n﹣1）2n对n∈N*恒成立，即（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，∴d=2．故{an}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，它的通项公式为an=2n﹣1．点评：本题重点考查二项式定理的应用，解决的方法有倒序相加法求f（n），难点在于综合分析，配凑逆用二项式定理，属于难题．19.（12分）已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．参考答案：20.（本小题满分14分）已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．（1）当时，解不等式；（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．参考答案：已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．（1）当时，解不等式；（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．解⑴因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．…………4分⑵当时,方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在内是单调增函数，……………6分[又，，，所以方程有且只有1个实数根，在区间

，所以整数的值为1．……………9分⑶，①

当时，，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；………11分②当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调．………12分若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.--------------------------13分综上可知，的取值范围是．………14分略21.某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图（物理成绩用表示，化学成绩用表示）（图1）和生物成绩的茎叶图（图2）.

（图1）

（图2）

（1）若物理成绩高于90分，我们视为“优秀”，那么以这20人为样本，从物理成绩优秀的人中随机抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；（2）若化学成绩高于80分，我们视为“优秀”，根据图1完成如下列联表，并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；

住校非住校优

秀

非优秀

附：（,其中）（3）若生物成绩高于75分，我们视为“良好”，将频率视为概率，若从全年级学生中任选3人，记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量，求出的分布列和数学期望.参考答案：（1）由图（1）可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人。……1分记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件A，则；

……4分（2）列联表为

住校非住校优

秀84非优秀26……5分计算，

………………6分经查表

……7分故没有95%的把握认为优秀率与住校有关；

……8分

（3）由图（2）可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为，………9分故从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数服从二项分布，分布列为（或）：0123

……………11分数学期望为。

…………12分22.（15分）（2015?浙江模拟）如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．（I）若AD=2，S△DAC=2，求DC的长；（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．参考答案：【考点】：解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】：计算题．【分析】：（Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，把已知的面积，以及AC、AD的长代入，求出sin∠DAC的值，由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；（Ⅱ）由B=，AB=AD，得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为，进而得到∠DAC+∠C=，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值，即可得到周长的最大值．解：（Ⅰ）∵，AC=4，AD=2，∴，∴，（2分）∵B=，∴，∴，（3分）在△ADC中，由余弦定理得：，（4分）∴，∴；（6分）（Ⅱ）∵AB=A