浙江省台州市三门县城关中学高三数学理月考试题含解析

浙江省台州市三门县城关中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（A）?3（B）?2（C）2（D）3参考答案：A试题分析：，由已知，得，解得，选A.2.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：D4.已知函数．若存在实数k使得函数f（x）的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）(A) (B)C．[1，3] D．[2，3]参考答案：B【考点】函数的值域．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由分段函数知要分类讨论，由y=log2（2﹣x）知≤k≤2，从而求导y′=3x2﹣6x=3x（x﹣2），从而可得a≥2且f（a）=a3﹣3a2+3≤1，从而解得．【解答】解：∵y=log2（2﹣x）的定义域为（﹣∞，2），∴0＜k≤2，当x∈[0，k）时，log2（2﹣k）＜log2（2﹣x）≤1；又∵log2（2﹣k）≥﹣1，∴0＜k≤，∵y=x3﹣3x2+3的导数y′=3x2﹣6x=3x（x﹣2），且y|x=2=﹣1，∴a≥2且f（a）=a3﹣3a2+3≤1，解得，2≤a≤1+；故选B．【点评】本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用．5.设平面向量，则

A．

B．

C.

D.参考答案：D略6.若（是虚数单位，是实数），则的值是

（

）（A）2 （B）3

（C）4 （D）5参考答案：C略7.函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：C8.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物线准线y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：S==由抛物线定义=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）≥﹣1=2故选D．9.样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数是（

）A、+

B、(+)

C、2(+)

D、(+)参考答案：B略10.设复数其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A.

B.i

C.

D.i参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将正整数排成下表：

12

3

45

6

7

8

910

11

12

13

14

15

16…………其中第i行，第j列的那个数记为，则数表中的2015应记为

．参考答案：试题分析：前1行共有：1个数前2行共有：1+3=4个数前3行共有：1+3+5=9个数前4行共有：1+3+5+7=16个数…由此猜想：前N行共有个数，∵=1936＜2015，=2025＞2015，故2015应出现在第45行，又由第45行的第一个数为1937，故2015应为第79个数考点：归纳推理12.已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，，若平面ABD⊥平面BCD，则该几何体的外接球表面积为．参考答案：【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】△ABD和△BCD的形状寻找截面圆心位置，从而得出球心位置．计算外接球的半径即可得出面积．【解答】解：∵空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，∴△ABD是正三角形；又BC=1，，∴△BCD是直角三角形；取BD的中点M，连接CM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∴棱锥外接球的球心为△ABD的中心，∵AM==，∴该四棱锥A﹣BCD的外接球的半径为=，∴几何体外接球的表面积S=4π（）2=．故答案为：．13.若一个球的体积为，则它的表面积为．参考答案：12π【考点】球的体积和表面积．【分析】有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．【解答】解：由得，所以S=4πR2=12π．14.设是定义在R上的奇函数，且满足，且，则_______________．参考答案：–2略15.已知满足线性约束条件，则的最大值为______________参考答案：略16.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设则

的最小值为

.参考答案：略17.在的棋盘中停放着3个相同的红色車和3个相同的黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有________种停放方法.参考答案：14400略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）

某学校餐厅新推出A、B、C、D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下。为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

（1）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；

（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择是D款套餐的概率。参考答案：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人其中选A款套餐的学生为40人，

由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了份．

……………4分设事件=“同学甲被选中进行问卷调查”，则

……………6分（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5．其中不满意的人数分别为1，1，0，2个．

记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d．

设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”……………9分从填写不满意的学生中选出2人，共有（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d）6个基本事件，

而事件N有（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d）5个基本事件，

则．

……………13分

19.已知向量，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（须列表）（Ⅱ）该函数的图象由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变化得到？参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，列表，描点，连线即可用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f（x）==3sinxcosx﹣sin2x+cos2x=3sin（2x+）…令X=2x+，则f（x）=3sin（2x+）=2sinX．列表：x﹣0πX0π2πy=sinX010﹣10f（x）=3sin（2x+）020﹣20…描点画图：…（2）法一：把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin（x+）的图象；再把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin（2x+）的图象；最后把y=sin（2x+）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=3sin（2x+）的图象．法二：将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=sin[2（x+）]=sin（2x+）的图象；再将y=sin（2x+）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），即得到y=3sin（2x+）的图象．…20.（本小题共12分）某工厂的固定成本为3万元，该工厂没生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品（百台），其总成本为万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足 假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： （1）要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时盈利最大？参考答案：依题意得，设利润函数为，则所以…………2分要使工厂有盈利，则有，因为，或…………4分或或则或，…………6分即…………7分所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内…………8分当时，故当时，有最大值4.5…………10分而当时，所以当工厂生产600台产品时盈利最大…………12分21.已知命题p：函数在(2,+∞)上单调递增；命题q：椭圆的焦点在x轴上。(I)若q为真命题，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若“”为假，且“”为真，求实数m的取值范围。参考答案：22.（本小题满分14分）已知函数（其中，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性；（Ⅱ）若，当时，试比较与2的大小；（Ⅲ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围，并证明．