2022-2023学年江西省景德镇市罗家中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年江西省景德镇市罗家中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：的左焦点A，B分別为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P；Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知函数，则它们的图象可能是参考答案：【知识点】函数的图象.B8【答案解析】B

解析：因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，，故函数在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选【思路点拨】求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．3.在中，若2a2+an﹣5=0，则自然数n的值是A．10

B．9

C．8

D．7参考答案：C略4.函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）=﹣x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．5.已知则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D6.已知等差数列{an}的前5项和为15，a6＝6，则a2019＝（

）A.2017 B.2018 C.2019 D.2020参考答案：C【分析】根据已知得到关于的方程组，解方程组即得解，再利用等差数列的通项求a2019.【详解】由题得，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（A）7

（B）12

（C）17

（D）34参考答案：C第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n;第二次运算，a=2，s=2×2+2=6，k=2，不满足k>n;第三次运算，a=5，s=6×2+5=17，k=3，满足k>n，输出s=17，故选C．8.在平面区域内随机投入一点，则点的坐标满足的概率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A画出平面区域，如图，阴影部分符合，其面积为：，正方形面积为1，故所求概率为：9.已知数列是等比数列，且，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知点P时抛物线y2=﹣4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+y﹣4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．2 B． C． D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x+y﹣4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．【解答】解：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x+y﹣4=0的垂线，此时d1+d2最小，∵F（﹣1，0），则d1+d2==．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a∈[0，6]，使得函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据对数函数以及二次函数的性质求出使得函数f（x）的定义域是R的a的范围，根据区间长度的比值求出满足条件的概率的值即可．【解答】解：若f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R，则函数g（x）=ax2﹣ax+1＞0恒成立，a=0时，显然成立，a≠0时，只需，解得：0＜a＜4，综上，a∈[0，4），故满足条件的概率p==，故答案为：．【点评】本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查几何概型问题，是一道中档题．12.在四面体ABCD中，且，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为______参考答案：34π【分析】利用勾股定理得出△ABC是直角三角形，且AC为斜边，可知CD⊥平面ABC时四面体ABCD的体积取最大值，再求出外接球的半径R，利用球的表面积公式得答案．【详解】∵，由勾股定理可得，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，当CD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为，∴外接球的半径为，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为．故答案为：34π．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的计算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.设P为曲线为参数)上任意一点，，则的最小值为______________参考答案：414.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=

．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．∴=2×1×cos120°=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．15.若等比数列的各项均为正数,且,则

.参考答案：50略16.正偶数列有一个有趣的现象：①2+4=6

②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第个等式中．参考答案：31考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出结论解答：解：①2+4=6；

②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2，当n=31时，等式的首项为1922，所以2016在第31个等式中故答案为：31．点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定各等式的首项17.已知3a=5b=A，且，则A=________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点，且?=0．（1）求证：∥；（2）若=λ（λ∈R），且?=0，试求点M的轨迹方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用?=0，可得x1x2=﹣1，根据=（﹣x1，1﹣），=（﹣x2，1﹣），即可证明∥；（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMB=90°，即可求点M的轨迹方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，），x1≠0，x2≠0，x1≠x2，因为?=0，所以x1x2+=0，又x1≠0，x2≠0，所以x1x2=﹣1．因为=（﹣x1，1﹣），=（﹣x2，1﹣），且（﹣x1）（1﹣）﹣（﹣x2）（1﹣）=（x2﹣x1）+x1x2（x2﹣x1）=（x2﹣x1）﹣（x2﹣x1）=0，所以∥．（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMB=90°，所以点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x2+（y﹣）2=（y≠0）．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查向量知识的运用，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．19.已知双曲线C：，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在轴正半轴上，且满足：成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为⑴求证：。⑵若与双曲线C的左右两支分别相交于点E、D，求双曲线离心率的取值范围。参考答案：证明：⑴双曲线的渐近线为

直线的斜率为：

直线：

由得

成等比数列，

所以

所以

则

解⑵：由得，

略20.函数f（x）=x?ex．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）分离参数，令φ（x）=，根据函数的单调性求出k的值即可．【解答】解：（1）f′（x）=ex（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣，无极大值；（2）x＞0时，k≥，令φ（x）=，则φ′（x）=＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；﹣1≤x＜0时，k≤，φ′（x）=＜0，故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}．21.设等差数列的公差为，且、，若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到项为止的数列的和，即.(1)

若数列，试找出一组满足条件的、、，使得：；(2)

试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；(3)

若等差数列中，，，试探索该数列中是否存在无穷整数数列，，，使得为等比数列，如存在，就求出数列；若不存在，则说明理由.参考答案：(1)则，，；(2)记，即，又由，，所以第二段可取个数，；再由，即，因此第三段可取9个数，即，…，依次下去，一般地：，，所以，，则.(3)不存在，令，则，假设存在符合题意的等差数列，则的公比必为大小1的整数，(∵，∴，因此)，即，此时，注意到，，要使成立，则必为完全平方数，但，矛盾，因此不存在符合题意的等差数列.22.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点.（1）求证:∥平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在点，使得与所成的角是？

参考答案：（1）证明见解析；（2）60°；（3）存在，AC的中点P满足条件．解法二：∥AM且EM=AM

---------------------1分∴

∴AM∥EN

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