2022考研数一真题及解析

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐2022考研数一真题及解析2022年全国硕士讨论生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)

2e

lndx

xx

+∞

=?

(2)已知函数()yyx=由方程2610yexyx++-=确定，则''(0)y=.(3)微分方程2'''0yyy+=满足初始条件1

1,'

2

y

yxx==

==的特解是.(4)已知实二次型222

123123121323(,,)()444fxxxaxxxxxxxxx=+++++经正交变换xPy=可化成标准型2

16fy=，则a=.

(5)设随机变量X听从正态分布2(,)(0),Nμσσ>且二次方程240yyX++=无实根的概率为

1

2

，则μ=

二、挑选题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，惟独一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数(,)fxy的下面4条性质：

①(,)fxy在点00(,)xy处延续，②(,)fxy在点00(,)xy处的两个偏导数延续，③(,)fxy在点00(,)xy处可微，④(,)fxy在点00(,)xy处的两个偏导数存在.若用""PQ?表示可由性质P推出Q，则有()(A)②?③?①.(B)③?②?①.(C)③?④?①.(D)③?①?④.

(2)设0(1,2,3,...),nun≠=且lim1,nn

nu→∞=则级数11111(1)()nnnnuu∞

+=+-+∑()

(A)发散.(B)肯定收敛.

(C)条件收敛.(D)收敛性按照所给条件不能判定.

(3)设函数()yfx=在(0,)+∞内有界且可导，则()

(A)当lim()0xfx→+∞

=时，必有lim'()0xfx→+∞

=.

(B)当lim'()xfx→+∞

存在时，必有lim'()0xfx→+∞

=.

(C)当0

lim()0xfx+→=时，必有0

lim'()0xfx+

→=.(D)当0

lim'()xfx+→存在时，必有0

lim'()0xfx+

→=.

(4)设有三张不同平面的方程123,1,2,3,iiiiaxayazbi++==它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为()

(5)设1X和2X是随意两个互相自立的延续型随机变量，它们的概率密度分离为1()fx和

2()fx，分布函数分离为1()Fx和2()Fx，则()

(A)12()()fxfx+必为某一随机变量的概率密度.(B)12()()fxfx必为某一随机变量的概率密度.(C)12()()FxFx+必为某一随机变量的分布函数.(D)12()()FxFx必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分)

设函数()fx在0x=的某邻域内具有一阶延续导数，且(0)0,'(0)0,ff≠≠若

()(2)(0)afhbfhf+-在0h→时是比h高阶的无穷小，试确定,ab的值.

四、(本题满分7分)

已知两曲线()yfx=与2

arctan0

x

tyedt-=?

在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，

并求极限2lim().nnfn

→∞

五、(本题满分7分)

计算二重积分

2

2max{,}

,xyD

edxdy??其中{(,)|01,01}Dxyxy=≤≤≤≤.

六、(本题满分8分)

设函数()fx在(,)-∞+∞内具有一阶延续导数，L是上半平面(0)y>内的有向分段光

滑曲线，其起点为(,)ab，尽头为(,)cd.记2221[1()][()1],LxIyfxydxyfxydyyy

=

++-?(1)证实曲线积分I与路径L无关；(2)当abcd=时，求I的值.

七、(本题满分7分)

(1)验证函数3693()13(3)!

n

xxxxyxxn=+++++∞.此事发生概率为

12，即{}142

PX>=，对于2

(,)(0),XNμσσ>{}12

PXμ>=，由于正态分布的密度函数为

22

()()2xfxμσ??-=-????

x-∞=

，所以4μ=.

二、挑选题

(1)【详解】下述重要因果关系应记住，其中AB?表示由A可推出B.无箭头者无因果关系，箭头的逆向不成立.

(,)xfxy'与(,)yfxy'延续(,)fxy?可微(,)(,)(,)xyfxyfxyfxy?''?????

与存在延续

其中均指在同一点处.记住上述关系，不难回答本挑选题，故应选(A).

(2)【详解】首先要分清肯定收敛和条件收敛的定义，通过定义判定级数的敛散性.

考察原级数

11

1

11(1)(

)nnnnuu∞

+=+-+∑的前n项部分和

1122334111111111(

)()()(1)()nnnnSuuuuuuuu++=+-+++-+-+1

11

11

(1)nnuu++=+-由lim

10nnnu→∞=>知，当n充分大时，0nu>且limnnu→∞=+∞.所以1

1

limnnSu→∞=(收敛)，

另一方面，

1

1

1

1

()nn

nu

u∞

=++

∑为正项级数，用比较判别法的极限形式，由题设条件lim

1nn

n

u→∞=的启发，考虑

1111111

()(1)limlimlim1121(21)1(1)

nnnnnnnnnnnnnuuuuuuuunnnuunnnnn++++→∞→∞→∞+++++==+++

++11(1)(1)[](1)lim

21nnnnnuunnnnnnnuun+→∞

+++++=+1

1(1)(1)lim1211nn

nn

nuunnnn

uunnnn

+→∞++++==+??

+而级数1111111

()11nnnnnnn∞

∞

∞===+=+++∑∑∑

是发散的，所以1111()nn

nuu∞=++∑也发散，所以选(C).

(3)【详解】办法1：排斥法.

令21()sinfxxx=

，则()fx在(0,)+∞有界，2221

()sin2cosfxxxx

'=-+，lim()0xfx→+∞

=，但lim()xfx→+∞

'不存在，故(A)不成立；

0lim()0xfx+

→=，但0

lim()10xfx+

→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B).办法2：证实(B)正确.设lim()xfx→+∞

'存在，记lim()xfxA→+∞

'=，证实0A=.

用反证法，若0A>，则对于02

A

ε=

>，存在0X>，使当xX>时，()2AfxAε'-+-

从而lim()xfx→+∞

=+∞，与题设()fx有界冲突.类似可证当0A??当.故在上半平面(0y>)，该曲线积分与路径无关.(2)办法1：由该曲线积分与路径无关而只与端点有关所以用折线把两个端点衔接起来.先从

点(,)ab到点(,),cb再到点(,)cd.有

2

221[1()][()1]c

da

bcIbfbxdxyfcydyb

y=++-?

?

()]()cdabcacc

bfbxdxcfcydybdb

-=+++-??

经积分变量变换后，()cdabcaIftdtdb=-+?.当abcd=时，推得ca

Idb

=-.办法2:原函数法.

2221[1()][()1]Lx

Iyfxydxyfxydyyy

=++-?

2()()()()()L

LLLydxxdyx

fxyydxxdydfxydxyyy

-=++=+?

???由原函数法计算其次型曲线积分的公式(与定积分的牛顿—莱布尼茨公式类似)，有

(,)();(,)Lcdxxca

dabyydb==-?

(,)

()()()

()()0,(,)

L

cdfxydxyFxyFcdFabab==-=?

其中()Fu为()fu的一个原函数，即设()()Fufu'=.由此有caIdb

=

-.办法3：因为与路径无关，又由abcd=的启发，取路径xyk=，其中kab=.点(,)ab与

点(,)cd都在此路径上.于是将k

xy

=

代入之后，

22221[(1())()(()1)]dakk

Iyfkyfkdyyyy

=+-+-?

32()d

b

kdyy=-

?2

dkb

y=22k

kdb=-22cdabdb=-.cadb=-

七【解】(1)369331

()113(3)!(3)!nn

nxxxxxyxnn∞

==+++++=+∑

+！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得

3311()(1)(3)!(3)!nnnnxxyxnn∞

∞

=='??''=+=???∑∑311

3(3)!nnnxn-∞==∑31

1(31)!nnxn-∞==-∑，同理得32

1(32)!

nnxyn-∞

=''=-∑

从而

()()()yxyxyx'''++32313111

()()(1)(32)!(31)!(3)!nnn

nnnxxxnnn--∞

∞∞

====+++--∑∑∑

11!

n

nxn∞

==+∑(由xe的麦克劳林绽开式)

xe=

这说明，30()(3)!

nnxyxn∞

==∑是微分方程x

yyye'''++=的解，并且满足初始条件

310(0)1(3)!nnyn∞

==+∑1=，31

10(0)(31)!

nnyn-∞

='=-∑0=.(2)微分方程x

yyye'''++=对应的齐次线性方程为0yyy'''++=，其特征方程为

210λλ++=

，其特征根为12-，所以其通解为

2

12[]xyeCxCx-=+.另外，该非齐次方程的特解形式为x

yce=，代入原非齐次方程得x

x

x

x

cececee++=，

所以13

c=

.故微分方程x

yyye'''++=的通解为

2

121[cos

sin]223

xxyeCxCxe-

=++.故

22

121211[cossin][sincos]2222223

xx

xyeCxCxeCxxe--'=-?++-?++

222112111(2(2223

xxxeCCxeCCe--=-?--?-+

由初始条件(0)1,(0)0yy'==得

02121

00

022*********[cos0sin0]2233111

0(20(2022311223eCCeCeCCeCCeCC?=++=+??

?=-?--?-+????=-+?+

?

解得

112

113110

2

3CC?

+=??

?

?-+=??，于是得到惟一的一组解：

122

,0.3

CC==从而得到满足微分方程xyyye'''++=及初始条件(0)1,(0)0yy'==的解，惟独一个，为

22133

xxyexe-=+

另一方面，由(1)已知30()(3)!

nnxyxn∞

==∑也是微分方程x

yyye'''++=及初始条件

(0)1,(0)0yy'==的解，由微分方程解的唯一性，知

321211().(3)!

33x

nxnxexexn∞

-=+=+-∞

由一维概率计算公式，{}()b

Xa

PaXbfxdx≤≤=

?

，有

3311()cos32

22xpPXfxdxdxππππ+∞?

?=>===??????，

所以，1(4,)2

YB~.

由公式22()[()]()DYEYEY=-以及若(,)YBnp~，其数学期望和方差分离为

();()EYnpDYnpq==，其中1.qp=-

得2

2

2

2111

()()[()]()4(4)5.222

EYDYEYnpqnp=+=+=?

?+?=

十二【分析】矩估量的实质在于用样本矩来估量相应的总体矩，此题中被估参数惟独一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估量总体的一阶原点矩(期望)

最大似然估量，实质上就是找出访似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数.

【详解】矩估量：由离散型随机变量期望的定义1

()()n

i

i

iEXxPXx==

=∑，有：