《水力学》课件-第十章 有压管道中的非恒定流动

第十章

有压管道中的非恒定流动™

主要针对水击和调压系统液面振荡问题讨论有压管道中的非恒定流动。非恒定流动增加了时变因素，比恒定流动复杂得多，即使是一维情况，基本方程也不再是常微分方程了。第十章

有压管道中的非恒定流动§10—1一维非恒定流动的基本方程§10—2水击现象§10—3调压系统的液面振荡§10—1一维非恒定流动的基本方程一.连续方程t+dt在管道中取出一段长度为

ds

的控制体微元，容易写出密度ρ和断面面积A

均可随时间变化的连续ts方程∂∂s∂(ρAv)

+

(ρA)=

0∂tds∂∂s∂A(Av)

+

=

0∂t特殊地，若ρ=const，则Av

=

f

(t)若再有A=A(s)

，则二.运动方程根据重力、压差力、摩擦力和惯性力的平衡，可直接写出处于渐变流段中长度为ds的控制体微元的流体运动方程∂

∗p∂∂ut∂u∂s−

Ad

s

−τ

χd

s

−

ρ

d

s∫∫(

+

u

)d

A

=0∂s0At+dt其中τ0为流段湿周的平均切应力。忽略被积量在断面上的不均匀影响，则可近似写成：ts∂z

1

p

1

v∂∂∂vτ

χ+

(

+

v

)

+

0

=

0∂s

γ

∂

s

g

∂

t

∂s

γA+ds三.能量方程对运动方程∂z

1

p

1

v∂∂∂vτ

χ+

(

+

v

)

+

0

=

0∂s

γ

∂

s

g

∂

t

∂s

γA+从断面s

至断面s

积分1222s

∂1

vs

τ

χp

v1

γp

v2

γ22z

+

1

+

1

=

z

+

2

+

2

+

∫

d

s

+

∫

0

d

s2g2g

g

t∂γAss11s

τ

χ2∫0d

sγA单位重量流体所受壁面摩擦力在断面s1s1至断面s2间所作的功，记为hw1-2s

∂1

v2h

=

∫

d

s

非恒定流动新增的水头，称为惯性水头i∂g

ts1s

∂1

v2h

=

∫

d

si∂g

t惯性水头是单位重量流体流经该流段时，当地时s1变惯性力作的功，是蕴藏在水流中的惯性能量，由机械能平衡，只有在非恒定流动时才表现出来，并参与同机械能之间的相互转换。非恒定总流的能量方程非恒定总流的水头线由于多了一个惯性水头，所以水头线也多了一条。把原来的总水头线叫做

E-E

线（机械能线），加上惯性水头后的水头线叫做i-i

线。由于惯性水头有正有负，i-i

线可能会低于E-E

线。i-i线必沿程下降，E-E

线有可能沿程上升。另外，如今水头线有瞬时性。惯性水头为正，水流加速ihwEhiiv2/2gEp/γ测压管水头线z惯性水头为负，水流减速Eihw

E-hiv2/2gip/γ测压管水头线z§10—2水击现象水击现象是一种典型的有压管道非恒定流问题，在水击现象中，由于压强变化急剧，必须考虑流体的压缩性及管道的弹性。水击现象的大致描述：由于流动的惯性，造成压强大幅波动流速突变有压管道流动的流量突变流体的压缩性和管道的弹性使波动在管道中以有限的速度传播以阀门突然关闭为例，将有一个增压、增密度、增管道断面积、减流速的过程从阀门向上游传播，压强、流速、密度、管道断面积的间断面在管道中运动，这就是水击波。Δp一.水击波的压强增值在已知水击波速度传播c

的条件下，分析压强增量Δp

与流速增量Δv的关系。c单位时间水击波通过的流体域的动量增量为cρAΔv

，

受

力

为AΔp，这里，我们都略去了高阶小量的影响。根据动量定律，容易得ΔvΔpscΔt到Δp=-cρΔv二.水击波的传播速度单位时间水击波通过的流体域中质量增量为

cAΔρ+cρΔA，因流速增量造成的流出该区域的质量流量为ρAΔv，根据质量守

恒

原

理

，

易

知

Δ

v

=

-c(Δρ/ρ+ΔA/A)

，

即

Δ

p

=ρc2(Δρ/ρ+ΔA/A)，写成极限形式，则有cΔvΔpscΔtK为液体的体ρ

d

p

K

积弹性系数1

d

ρ

1=式中1

d

A反映管壁的弹性A

d

p1

d

A

D=A

d

p

Eδ对于直径为D的圆管E为管壁材料的弹性系数，δ为管壁厚度C0

=

K

/

ρ为

声

波

速

度(水中约为1435

m/s).可见若忽略管壁的弹性，即认为E

=

∞

，则c=c0水电站引水管D/δ

≌100，c≌1000m/s三.水击现象的分析为了更清晰地说明水击波传播、反射、叠加的发展过程，考察上游水库与阀门间的长度为L的直圆管（BA）中因阀门A突然完全关闭发生的水击现象，认为弹性力与惯性力起主要作用，忽略水头损失和流速水头。在理解了水击波在A处的正反射和B处的负反射之后，可以列出

0<t<L/c，L/c<t<2L/c，2L/c<t<3L/c，3L/c<t<4L/c四个阶段水击现象的物理特性。ABL全管原压强水头hΔh0cΔv=-v0h0Δp=cρv0Δh=cv0/gv0v=0

ABL速度变化水击波传播方向阶段

时段流速方向

压强变化运动状态

液体状态(a)v0→0Δ水库→阀门

增高

p

阀门→水库

减速增压

压缩0<t<L/cΔh=cv0/gh0Bv=0AL水击波水头

到达全管压强时刻

全管速度液体状态h0+Δh压缩t=L/cv=0B点Δh=cv0/g时刻t=L/ch0Bv=0AL由于B点压强水头保持为常数h0

，水击波到达B点后无法再向上游传播，压差Δh转化为流向水库的流速v0而形成一个减速（速度以水库流向阀门为正）减压的过程，由B传向A，水击波反向，并由增压波变为减压波。在减压波传播过程中，管壁和液体密度复原，提供流向水库的水量。Δh=cv0/gch0v0v=0

ABL速度变化水击波传播方向阶段

时段流速方向

压强变化运动状态

液体状态(b)L/c<t<2L/c

0→-v0阀门→水库

恢复原状

水库→阀门

减速减压

恢复原状h0v0ABL水击波全管压强水头

到达时刻

全管速度液体状态h0复原t=2L/cv=-v0A点时刻h0t=2L/cv0ABL由于阀门已经关闭，减速减压的水击波到达A点后无法再继续向前传播。因为根据连续方程，A点流速必须为零，若A点处也要形成流向水库的流速，则液体没有补充的来源。而此时管中其它断面上的流速却是

-v0

，于是在

t=2L/c

时刻，在A点形成增速、减压、减密度、减断面面积的水击波，由A传向B，水击波反向，但减压波仍转为减压波。Δh=cv0/gh0cv0v=0ABL速度变化水击波传播方向阶段

时段流速方向

压强变化运动状态

液体状态(c)-v0→02L/c<t<3L/c阀门→水库Δ

阀门→水库减低

p增速减压

膨胀Δh=cv0/gh0Bv=0AL水击波水头

到达全管压强时刻

全管速度液体状态h0-

Δh膨胀t=3L/cv=0B点Δh=cv0/g

时刻h0t=3L/cBv=0AL由于B点压强水头保持为常数h0

，水击波到达B点后无法再向上游传播，压差-Δh转化为流向阀门的流速v0而形成一个增速（速度以水库流向阀门为正）增压的过程，由B传向A，水击波反向，并由减压波变为增压波。在增压波传播过程中，管壁和液体密度复原，吸纳从水库进入的水量。Δh=cv0/gh0cv0v=0ABL速度变化水击波传播方向阶段

时段流速方向

压强变化运动状态

液体状态(d)3L/c<t<4L/c

0→v0

水库→阀门恢复原状

水库→阀门

增速增压

恢复原状等同于阀门突然关闭瞬时状态h0v0ABL水击波全管压强水头

到达时刻

全管速度液体状态h0复原t=4L/cv=v0A点速度变化水击波传播方向阶段

时段流速方向压强变化运动状态

液体状态(a)v0→0Δ水库→阀门

增高

p

阀门→水库

减速增压

压缩0<t<L/c(b)(c)(d)L/c<t<2L/c

0→-v0阀门→水库

恢复原状

水库→阀门减速减压

恢复原状-v0→02L/c<t<3L/c阀门→水库Δ

阀门→水库减低

p增速减压

膨胀3L/c<t<4L/c

0→v0

水库→阀门恢复原状

水库→阀门增速增压

恢复原状分析水击现象的要点水库边界条件(p

=

const)决定了水击波的负反射阀门边界条件(v

已知)

决定了水击波的正反射Δv和Δρ及ΔA按照连续原理平衡Δv和Δp按照动量原理平衡例如t=2.5L/cΔp用叠加法分析任意时刻管中的压强增量分布BA1/2LLL在(c)段在(b)段在(a)段ΔpBABAΔp任意断面水击增压随时间的变化规律ΔpA断面1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12t/L/cΔpB断面1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12t/L/cΔpΔp距A2/3L断面1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12t/L/c23A断面实际增压1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12t/L/c相长、直接水击和间接水击将2L/c称为水击的相长，从阀门A处开始的水击波传到上游B处，经负反射回来的减压波又传到A处，所须时间为相长。可见阀门A处持续压力最大增值的时间最长，为一个相长。如果逐渐关闭阀门，那么将会有一系列水击波在不同的时刻由A处出发，假如经过一个相长之后，阀门尚未完全关闭，此时已经有早先发出的水击波成为减压波传回来，这样A处的增压就不会达到阀门突然完全关闭时的水击增压，这种水击叫间接水击，否则叫直接水击。用叠加法分析阀门逐渐关闭情况下任意时刻管中的压强增量分布关闭时间TS水击增压波波前形状关闭方式流速、压强变化规律例如T

=1.0L/c，关闭方式：流速线性减小，S从v

减至零。压强从零线性增至Δp=cρv00Δp水击增压波波前形状L用叠加法分析阀门逐渐关闭情况下任意时刻管中的压强增量分布承前页例，t=2.5L/cΔpBA1/2LLL在(c)段在(b)段在(a)段ΔpBABA四.水击压强的确定水击计算的主要目的是确定最大水击增压值。最大水击压强一定发生在阀门断面A处，而且只可能发生在关闭时间段内的各相末。如果是直接水击，A处在第一相末的水击压强即为最大水击压强。间接水击的最大水击压强可能发生第一相末，称为第一相水击；也可能发生在关闭时间段内的最后一相末，称为末相水击。取决于阀门的关闭规律。阀门的关闭规律实际上就是A断面处的边界条件，关闭规律给出该处流速随时间的变化vA(t)，根据Δh

=

Δp/γ=

-cΔv/g可知水击波在无限长管道中向上游传播时，A断面处的水头增量ΔhA(t)

，在此基础上再考虑水击波在上游水库断面B处的负反射（原因是B处的边界条件为ΔhB(t)≡0

），以及A断面处的正反射，用叠加法确定A断面在各相末的水头增量ΔhiA§10—3调压系统的液面振荡一.U形管中的液面振荡等直径U形管中的液面22振荡是非恒定管道流动最z00简单的一种情况。重力和惯性力的相互作用，造成管中液面的振荡，阻力则使振幅衰减。由于运动要素随时间变化并不剧烈，可认为流体不可压缩。11连续方程显然为v=F(t)，在如图坐标系