线性系统的频域分析方法

线性系统的频域分析方法第一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成。系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。用频率特性研究线性系统的方法称为频域分析法。特点：

1)系统及元部件的频率特性可用解析法和实验法获得。在其基础上,系统分析和控制器设计可用图解法进行。

2)频率特性物理意义明确。各阶系统的频域性能指标和时域性能指标间有确定或近似的对应关系。

3)控制系统的频域设计可兼顾动态响应和抑制噪声两方面的要求。4)不仅适用于线性系统，还可以推广应用于非线性系统。第二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三5-1频率特性1基本概念图示RC网络，设电容C的初始电压为uo0，取输入信号为正弦信号RC网络的运动微分方程为T=RC为时间常数上式取拉氏变换，并代入初始条件uo(0)=uo0代入再由拉氏逆变换第三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三上式第二项上式第一项有三个极点第四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三故1因此第五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三第一项随时间增长而趋于零，为输出的瞬态分量；第二项为输出的稳态分量。令

A(ω)和(ω)为输入正弦信号频率ω的函数，反映RC网络在正弦信号作用下，输出稳态分量幅值和相位的变化。幅值比相位差第六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三输入信号稳态输出

RC网络的稳态输出仍为正弦信号，频率与输入信号的频率相同，幅值较输入信号有衰减，相位存在延迟。RC网络传递函数取s=jω代入由故1观察：A(ω)和(ω)分别为G(jω)的幅值|G(jω)|和相角∠G(jω).具普遍性第七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三综上频率特性的指数表达形式当输入为正弦信号时，系统输出的稳态分量为同频的正弦信号。输出幅值与输入幅值之比A(ω)称为幅频特性；相角之差(ω)称为相频特性。两者之和称为频率特性。频率特性也是系统数学模型的一种表达形式。求法：①解析法：②实验法：输入端施加不同频率的正弦信号，测量系统输出的稳态响应，再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性曲线。第八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三第九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三2频率特性的几何表示(1)幅相频率特性曲线(Nyquist图，极坐标图)将频率特性表示为复平面上的向量，其长度为A(ω)，向量与正实轴夹角为(ω)，则ω变化时，相应向量的矢端曲线即为幅相曲线。

G(jω)=A(ω)ej(ω)，G(-jω)=A(ω)e-j(ω)ω：0→+∞和ω：0→-∞的幅相曲线关于实轴对称只绘制ω从零变化至+∞的幅相曲线。用箭头表示ω增大时幅相曲线变化方向对于RC网络(ω)A(ω)幅相曲线为一半圆A(ω)偶,(ω)奇第十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三(2)对数频率特性曲线(Bode图)对数幅频和对数相频曲线两部分，分别画在半对数坐标系上①对数幅频特性曲线：横坐标：lgω，按常用对数分度。纵坐标：L(ω)=20lgA(ω)，按线性分度。单位为分贝(dB).变量每变化10倍(十倍频程dec),坐标间距离变化一个单位长度。横坐标对数分度，纵坐标线性分度，称为半对数坐标系。②对数相频特性曲线：横坐标：常用对数分度，同上。纵坐标：(ω),线性分度，单位为度(◦).第十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三0.010.01RC网络T=0.5时的对数频率特性曲线原点不为零，不定在对数坐标上确定点第十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

在对数频率特性曲线中，横坐标ω1和ω2之间的距离为lgω2-lgω1,连接两点(ω1,L(ω1))和(ω2,L(ω2))的直线方程L(ω2)-L(ω1)=k(lgω2-lgω1)k(dB/dec)为直线斜率+20dB/dec第十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三(3)对数幅相曲线(Nichols图)纵坐标为L(ω)，单位分贝(dB)，横坐标为(ω)，单位度

(◦)，均为线性分度，频率ω为参变量。RC网络T=0.5时的Nichols图第十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三5-2典型环节和开环频率特性曲线绘制

根据零极点，将开环传递函数的分子和分母多项式分解成因式，再将因式分类，得到典型环节。1典型环节开环系统可表示为若干典型环节的串联形式设典型环节的频率特性为则系统开环频率特性幅值相乘，相角相加第十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三系统的开环幅频特性和相频特性系统开环对数幅频特性系统开环频率特性为组成系统的各典型环节频率特性的合成开环对数频率特性为诸典型环节对数频率特性的叠加

典型环节分为两大类。最小相位环节和非最小相位环节。由最小相位环节构成的系统称为最小相位系统，而含有非最小相位环节(包括延迟环节)的系统称为非最小相位系统。第十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三最小相位环节：非最小相位环节:非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于其零极点在s平面的位置。特点:某个参数的符号相反除积分微分外，最小相位环节有对应的非最小相位环节不稳定环节第十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三设有两个系统和显然前者为非最小相位系统，后者为最小相位系统。从Bode图上知，它们之间的幅频特性相同,但存在着不同的相频特性，其中相位变化范围最小的即是最小相位系统。

最小相位系统(或环节)的一个重要特征：给定了其幅频特性，也就决定了相频特性，反之亦然。第十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三2典型环节的频率特性(1)典型环节的频率特性曲线①比例环节②积分环节第十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三③微分环节④惯性环节1/T：交接频率或转折频率对数幅频渐进特性曲线第二十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三⑤一阶微分环节1⑥二阶振荡环节第二十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三ωn为交接频率对数幅频渐近线求谐振峰值令时(a)谐振频率(b)时A(ω)单调，无谐振频率第二十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三将ωr代入A(ω)表达式，求得谐振峰值时ζ=0第二十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三⑦二阶微分环节第二十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三工程上为简便，常用对数幅频渐近线，但存在误差惯性环节误差曲线振荡环节误差曲线需要时，根据误差曲线，可修正渐进特性曲线，获得准确值。第二十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三⑧延迟环节输出量毫不失真地复现输入量，但时间上存在延迟τ的环节根据拉氏变换的位移定理故延迟环节的传递函数因此延迟环节的频率特性为幅相曲线是个圆，圆心在原点，半径为1.对数相频曲线中,

越大，相角迟后越大。第二十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三幂级数展开串联延迟环节对系统开环频率特性影响幅值不变，相角滞后顺时针为负延迟环节串联在系统中，则G(s)的分子有正根，有开环零点位于s右半平面。a,b,c均为正值含有延迟环节为非最小相位系统第二十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三(2)典型环节频率特性曲线的若干特点①最小相位和对应的非最小相位环节惯性环节非最小相位惯性环节惯性非惯性惯性非惯性幅频特性相同，相频特性相反对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0°线对称。幅相曲线关于实轴对称；由此可绘制出与前述最小相位环节相应的非最小相位环节频率特性曲线，见教材第二十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三②传递函数互为倒数的典型环节设有下述关系成立且则对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于0°线对称。惯性惯性一阶微分一阶微分振荡环节和二阶微分环节类似，见教材。第二十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三3开环幅相曲线绘制用于判定闭环系统的稳定性，一般只需概略地绘制。三要素：(1)起点(ω=0+)和终点(ω=∞)(2)与实轴和虚轴的交点特别是和负实轴的交点令Im[G(jωx)H(jωx)]=0①与实轴交点可得满足此式的ωx穿越频率当ωx>0时，Re[G(jωx)H(jωx)]为幅相曲线和实轴交点。②与虚轴交点类似地，令Re[G(jω)H(jω)]=0,可得幅相曲线和虚轴交点。(3)开环幅相曲线的变化范围(象限、单调性、渐近线等)第三十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三试绘制系统开环幅相曲线。例设某Ⅰ型系统的开环传递函数为解：系统开环频率特性第三十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三易得

给定0+到+∞一系列ωi(i=1,2,…)，依Re[G(jωi)H(jωi)]和Im[G(jωi)H(jωi)],或A(ωi)和(ωi)。在复平面中画出这些点，并连成曲线即可得到幅相曲线图。

此外，观察该系统开环传递函数由四个典型环节组成：比例环节、积分环节和两个惯性环节。系统频率特性第三十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三其中幅值变化相角变化由此可确定曲线起点和终点起始点处渐进线：第三十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三与实轴交点令舍去于是与实轴交点与虚轴无交点(除终点)

由此作系统开环幅相曲线，虚线为幅相曲线的低频渐近线。第三十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三例设系统的开环传递函数为试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性为可知两者不为0，与实虚轴无交点

开环系统可分解为四个典型环节:比例环节G1，积分环节G2，惯性环节G3和等幅(ζ=0)振荡环节G4.第三十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三对于各典型环节有：故开环系统的幅频特性和相频特性分别为：第三十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三起点终点开环系统含有等幅振荡环节,ω趋于ωn时,A(ωn)趋于无穷大而在ωn附近的相频特性注意频率在ωn附近：说明(ω)在ω=ωn的附近，相角突变-180°,幅相曲线在ωn处呈现不连续现象。系统开环概略幅相曲线如图。第三十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三总结绘制幅相曲线的规律(最小相位系统)：

1)开环幅相曲线的起点，取决于比例环节K和系统积分或微分环节的个数v(型别)v

<0,起点为原点v

=0,起点为实轴上的点K处v

>0,起点为v×(-90˚)的无穷远处第三十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

2)开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子多项式的阶次m、分母多项式的阶次n(一般n>m)。3)若开环系统存在l个等幅振荡环节,即开环传递函数为相角在ωn附近突变-l×180◦l=1时第三十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三4开环对数频率特性曲线（Bode图）系统开环传递函数作典型环节分解后根据可先作出各典型环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加方法绘制开环系统的对数频率特性曲线。例已知系统开环传递函数要求绘制系统的开环频率特性的Bode图.解：首先将G(s)中的各因式写成标准形式的典型环节(常数项为1的形式)系统可看作4个典型环节串联：比例环节G1，一阶微分环节G2,惯性环节G3,惯性环节G4.第四十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三20lg245˚-45˚

分别在半对数坐标上绘制4个典型环节的对数幅频和相频特性曲线,如图(a)和(b)的曲线1,2,3,4所示。在其基础上采用叠加方法可得到系统开环对数频率特性曲线。相频曲线也可取若干频率点,列表计算各点相角并标注在坐标图中，最后将各点光滑连接。第四十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三工程上，常用开环系统的对数幅频渐近特性线。研究其绘制方法任意开环传递函数，其组成的各典型环节分为三部：(1)比例、积分、微分环节或对数幅频特性曲线本身即为直线斜率为-20νdB/dec通常取点：(1,20lgK)

(2)一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节以及对应的非最小相位环节，交接频率为1/T，斜率为±20dB/dec

(3)二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节以及对应的非最小相位环节，交接频率为ωn，斜率为±40dB/dec过点：(ω0,L(ω0))第四十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

记ωmin为最小交接频率,称ω＜ωmin时为低频段。开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤：(1)开环传递函数典型环节分解；(2)确定一阶、二阶环节的各交接频率，并标注在ω轴上；(3)绘制低频段渐近特性线由于一阶、二阶环节的对数幅频渐近线在其交接频率前斜率为0dB/dec，并在交接频率处斜率发生变化。故在低频段，开环幅频渐近特性取决于比例和积分、微分环节。斜率为-20νdB/dec过点：(1,20lgK)若1>ωmin,则点(1,20lgK)在低频渐近线的延长线上。(4)绘制ω≥ωmin频段的渐近特性线第四十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三在ω≥ωmin频段,系统开环对数幅频渐近特性线为分段折线。每两个相邻交接频率间为直线,交接频率点处,斜率发生变化。过(非最小相位)惯性环节交接频率，斜率减小20dB/dec过(非最小相位)一阶微分环节交接频率，斜率增加20dB/dec过(非最小相位)振荡环节交接频率，斜率减小40dB/dec过(非最小相位)二阶微分环节交接频率，斜率增加40dB/dec多个环节有相同交接频率时，斜率的变化为各个环节对应变化值的代数和。总体：以-20νdB/dec为起始直线，交接频率处斜率变化的分段折线。第四十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三例5-6已知系统开环传递函数为试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。解：开环传递函数的典型环节分解形式为开环系统由六个典型环节串联而成：非最小相位比例环节，两个积分环节,非最小相位一阶微分,惯性环节和振荡环节。第四十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三1)确定各交接频率ωi,i=1,2,3及斜率变化值最小交接频率ωmin=ω1=1.2)绘制低频段(ω<ωmin)渐近特性曲线

因为ν=2，则低频渐近线斜率k=-20ν=-40dB/dec.K=1020lgK=20lg10=20故过点(1,20dB)第四十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三3)绘制ω≥ωmin频段的渐近特性线系统开环对数幅频渐近特性曲线如图。第四十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三5传递函数的频域实验确定由实验获得Bode图最小相位系统的传递函数逆问题

例5-7实验获得的某最小相位系统的对数幅频曲线(实线)及其渐近特性曲线(虚线)，试确定系统传递函数。ωr解1)低频渐近线斜率-20vdB/dec，图为+20dB/dec，故v=-1,有一个微分环节。2)有两个交接频率：ω1处：斜率变化-20dB/dec惯性环节ω2处：斜率变化-40dB/dec振荡或重惯性环节有谐振，振荡环节第四十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三故系统传递函数3)确定参数根据直线方程ωr点(1,0)代入K=1ω1,ω2,ζ,K待定低频段方程直线上两点(1,0)和(ω1,12)直线斜率20dB/dec再给直线上两点(100,0)和(ω2,12)直线斜率-40dB/dec第四十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三本例中20lgMr=20-12=8(dB)解得ζ=0.204(舍去另一根ζ=0.979,因此时无谐振峰值)故系统的传递函数确定为谐振频率ωr处，振荡环节谐振峰值ωr故有根据叠加性质第五十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三5-3频率域稳定判据

奈奎斯特(Nyquist)稳定判据，根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。频域判据使用方便，应用广泛。1奈氏判据的数学基础(1)幅角原理

设s为复变量，F(s)为s的有理分式函数(即两个s多项式比的形式)。对于s平面上任意一点s，经复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可确定关于s的象。

将F(s)的零极点标注在s平面上，并在s平面上任选一条闭合曲线Γ，Γ不通过F(s)的任一零点和极点。复变函数的幅角原理还要选择辅助函数和闭合曲线第五十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三AF(A)幅角原理：设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿Γ顺时针运动一周时,在F(s)平面上闭合曲线ΓF包围原点的圈数[F]平面[s]平面R<0和R>0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R=0表示不包围F(s)平面的原点。复变量s从闭合曲线Γ上任一点A起，顺时针沿Γ运动一周，再回到A点，则相应地，F(s)平面上亦从点F(A)起，到F(A)点止亦形成一条闭合曲线ΓF

.第五十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三(2)复变函数F(s)的选择稳定性判定是在已知开环传递函数的条件下进行的，故选择F(s)特点：

1)F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)的极点为开环传递函数的极点；

2)开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次(n≥m)，故F(s)的零点和极点数相同；第五十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

3)s沿闭合曲线Γ运动一周所产生的两条闭合曲线ΓF和ΓGH只相差常数1，即闭合曲线ΓF可由ΓGH沿实轴正方向平移一个单位获得。故闭合曲线ΓF包围F(s)平面原点的圈数等于闭合曲线ΓGH包围F(s)平面(-1,j0)点的圈数。F(s)选取上述形式的优点:a.建立了开环极点和闭环极点与F(s)零极点间的联系;b.建立了闭合曲线ΓF和ΓGH之间的转换关系。为应用幅角原理创造了条件。第五十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三(3)s平面闭合曲线Γ的选择闭环稳定性取决于闭环极点即F(s)零点的位置，当选择s平面闭合曲线Γ包围s平面的右半平面时，若z＝0，则闭环稳定。根据幅角原理，要求闭合曲线Γ不通过F(s)的零极点，故Γ可取下列两种形式。①G(s)H(s)无虚轴上的极点闭合曲线Γ由两部分组成第五十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三②G(s)H(s)在虚轴上有极点在前述的基础上扩展，构成闭合曲线Γ1)开环系统含有积分环节在原点附近，取ε为无穷小即圆心为原点，半径为无穷小的半圆2)开环系统含有等幅振荡环节在±jωn附近，取ε为无穷小即圆心为±jωn，半径为无穷小的半圆(4)G(s)H(s)闭合曲线的绘制设G(s)H(s)的分子阶次m，分母阶次n则有第五十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三此处s→0，s→∞，均指其模而言

s平面上的Γ曲线为虚轴再加上半径为∞的圆弧,而s平面上半径为∞的半圆弧映射到F(s)平面上只是一个点,它对Γ

GH包围某点的情况无影响，故只需考虑s平面jω轴经G(s)H(s)映射到F(s)平面上的闭合轨迹曲线即可。因G(s)H(s)为实系数有理分式函数,故闭合曲线ΓGH关于实轴对称,因此只需绘制其在Ims≥0，s∈Γ对应的曲线段，得到G(s)H(s)的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线,仍记为ΓGH.故s平面上半径∞的半圆映射到F(s)平面上为原点或实轴上一点；s平面上原点映射到F(s)平面上为半径∞的半圆弧。第五十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三1)若G(s)H(s)无虚轴上极点F(s)平面的半闭合曲线ΓGH即可认为是开环幅相曲线。2)若G(s)H(s)有虚轴上极点开环幅相曲线应作补充①当开环系统含积分环节时从开环幅相曲线上对应于ω=0+,即其起点G(j0+)H(j0+)起，用虚线逆时针补画半径为无穷大，v×90◦的圆弧至G(j0)H(j0).设第五十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三②当开环系统含有等幅振荡环节时从开环幅相曲线上的G(jωn

+)H(jωn+)点起，用虚线逆时针补画v1×180◦，半径为无穷大的圆弧至G(jωn-)H(jωn-)点。设第五十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

F(s)平面上的半闭合曲线ΓGH由开环幅相曲线和根据开环虚轴极点所补作的无穷大半径的虚线圆弧两部分组成。第六十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三(5)闭合曲线ΓF包围原点圈数R的计算

根据半闭合曲线ΓGH可获得ΓF包围原点的圈数R.设N为ΓGH穿越(-1,j0)点左侧负实轴的次数,N+表示正穿越的次数和(从上向下穿越),N-表示负穿越的次数和(从下向上穿越),则

R计算示例：(a)A点位于(-1,j0)点左侧，ΓGH从下向上穿越。故N-=1，N+=0，R=-2N-=-2.(b)A点位于(-1,j0)点右侧，N+=N-=0，R=0.说明两者判断结果一致第六十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三(c)A,B点均位于(-1,j0)点左侧，A点处一次负穿越，B点处一次正穿越,故N+=N-=1，R=0.(d)A,B点均位于(-1,j0)点左侧，A点处一次负穿越，B点处ΓGH从上向下运动到实轴并停止,为半次正穿越,故N-=1，N+=1/2,R=-1.(e)A,B点均位于(-1,j0)点左侧，A点对应ω=0,随ω的增大,ΓGH离开负实轴,为半次负穿越，B点处为一次负穿越,故有N-=3/2,N+=0,R=-3.第六十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三2奈奎斯特(Nyquist)稳定判据系统稳定的充要条件是随着ω的增大，半闭合曲线ΓGH不穿过(-1,j0)点且逆时针包围临界点(-1,j0)点的圈数R等于开环正实部极点数P.说明：

1)系统闭环正实部极点数当P≠R时,Z≠0,系统闭环不稳定。

2)半闭合曲线ΓGH穿过(-1,j0)点，则有即闭环特征方程存在共轭纯虚根，系统临界稳定。第六十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三例已知反馈系统的开环传递函数为试绘制系统幅相曲线并用奈氏判据来判断闭环系统稳定性。解：系统开环频率特性可知

本例的开环系统可分解为三个典型环节:比例环节G1，两个惯性环节G2和G3.第六十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三对于各典型环节有：故开环系统的幅频特性和相频特性分别为：故开环幅相曲线的始点和终点：第六十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

任取ω(不含ω=0和ω→∞),Im[G(jω)H(jω)]<0,故幅相曲线与实轴没有交点。与实虚轴的交点：

令Re[G(jω)H(jω)]=0,得ω=0.141,代入Im[G(jω)H(jω)]表达式,得到幅相曲线与虚轴的交点为(0,-j4.714).

开环系统的所有极点都在s的左半平面,P=0.而ΓGH穿越(-1,j0)点左侧负实轴的次数N=0,故R=0.根据以上分析,作系统幅相曲线如图。半闭合封闭曲线ΓGH不需补作虚线圆弧.根据奈氏判据，闭环极点位于s的右半平面个数Z=P-R=0,所以闭环系统稳定。第六十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

例5-8已知单位反馈系统开环幅相曲线(K=10,P=0,v=1)，试确定系统闭环稳定时K值的范围。解：设系统开环传递函数开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为ω1,ω2,ω3当K=10时则K1=5时即K1=5时，幅相曲线在频率ω1时穿越(-1,j0)点同理K2=20/3,K3=20时，曲线在频率ω2和ω3时穿越(-1,j0)点.

分别取0<K<K1,K1<K<K2,K2<K<K3和K>K3，做开环幅相曲线，并按v补作虚圆弧得半闭合曲线ΓGH.第六十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三判断系统闭环稳定性(P=0)：

开环传递函数的某参数改变时，闭环稳定性将发生变化，称条件稳定系统。K1=5,K2=20/3,K3=20综上，闭环稳定时K的范围为(0,5)和(20/3,20).第六十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三3对数频率稳定判据(奈氏判据在Bode图应用)截止频率ωc奈氏判据闭合曲线ΓGH对数频率稳定判据曲线ΓL和Γ穿越(-1,j0)点左侧负实轴L(ω)>0时,对数相频曲线Γ穿越(2k+1)π线(1)等价关系(2)曲线Γ的确定1)开环系统无虚轴上极点时，Γφ等于(ω)曲线2)开环系统存在积分环节时，需从对数相频特性曲线ω较小且L(ω)＞0的点处向上补作v×90°的虚直线第六十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三3)开环系统存在等幅振荡环节，需从对数相频特性曲线(ωn+)点起向上补作v1×180°的虚直线至(ωn-)处(ω)曲线和补作的虚直线共同构成Γ(3)穿越次数的计算正穿越:在L(ω)>0时,Γ由下向上穿越(2k+1)π线负穿越:在L(ω)>0时,Γ由上向下穿越(2k+1)π线

正穿越半次：在L(ω)>0时,Γ由下向上止于或由下向上起于(2k+1)π线

负穿越半次：在L(ω)>0时,Γ由上向下止于或由上向下起于(2k+1)π线第七十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三奈氏判据和对数频率判据的穿越方式ωc第七十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三对数频率稳定判据系统闭环极点在s的右半平面的个数P为开环极点在s的右半平面的个数；N为L(ω)>0的范围内，曲线Γ随ω增大，穿越(2k+1)π(k=0,±1,±2,…)线的次数例设一个反馈控制系统，其开环传递函数试用对数判据判断闭环系统的稳定性。开环系统有两个积分环节，故在对数相频曲线为0+处，向上补画了2×90°=180°的虚直线，构成曲线Γ解：系统为Ⅱ型系统，作出其Bode图。第七十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三L()()c显然在L()>0的频段,曲线Γ随着ω的增大,负穿越-180°线一次.根据G(s)H(s)表达式，P=0。Z=P-2N=2,故该系统不稳定,闭环特征方程在右半s平面的根的个数为2.5-4稳定裕度

系统开环频率特性可判断闭环稳定性，还可反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。开环频率特性靠近(-1,j0)点的程度表征了系统的相对稳定性第七十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三稳定裕度包含相角裕度γ和幅值裕度Kg(或h)1相角裕度γ设ωc为系统的截止频率,即A(ωc)=1则相角裕度幅相曲线中,从原点到单位圆和曲线交点的连线，与负实轴的夹角为γ

含义：对于闭环稳定系统，若系统开环相频特性再滞后γ度，则系统将处于临界稳定状态。相角稳定储备γ从负实轴算起，逆时针方向为正，顺时针为负。第七十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三2幅值裕度Kg(或h)幅相曲线与负实轴交点处的频率穿越频率ωg开环频率特性在ωg处幅值的倒数

含义：对于闭环稳定系统，若系统开环幅频特性再增大Kg倍,则系统将处于临界稳定状态。幅值稳定储备对数坐标下(Bode图中)，幅值裕度第七十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三a.正相角裕度和幅值裕度(γ>0,KgdB>0)b.负相角裕度和幅值裕度(γ<0,KgdB<0)求解方法：1图解法2解析法第七十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三例5-12已知单位反馈系统K分别为4和10时，试求系统的稳定裕度。解：系统开环频率特性根据ωg和ωc定义K=4时第七十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三K=10时K=4和10的开环幅相曲线系统开环P=0，由奈氏判据知：Κ=4时,闭环稳定Κ=10时,闭环不稳定说明：

(1)最小相位系统，只有当相角裕度和幅值裕度(dB)都为正时,系统才稳定。任何一个裕度为负,都表示系统不稳定。

(2)为确定系统的相对稳定性,须同时给出相角裕度和幅值裕度,只用其中一个性能指标不足以确定稳定性。即半闭合曲线ΓGγ>0,Kg>1,Kg(dB)>0γ<0,Kg<1,Kg(dB)<0-0.5-1.25第七十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

(3)相角和幅值裕度是开环频域指标，但描述的是闭环系统的相对稳定性，它与闭环系统的动态性能密切相关。

(4)设计系统时，为了使系统具有较好的相对稳定性，通常要求相角裕度为30°~70°，幅值裕度大于等于6dB.3开环对数频率特性的三个频段：定性讨论1)低频段

第一个交接频率前的频段(ω<ωmin)，完全由开环传递函数中的比例和积分、微分环节决定。第七十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三

低频段的斜率绝对值越大(v越大)，位置越高(K越大)，则稳态误差越小,但要综合考虑闭环稳定性。2)中频段截止频率ωc附近的频段中频段反映闭环系统的稳定性和快速性。讨论两种典型情况：(1)中频段斜率不同，且其占据频率区间较宽时的比较低频段的频率特性决定了系统的稳态性能。第八十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三①中频段斜率为-20dB/dec，且中频段相当长近似开环L(ω)为-20dB/dec的直线则开环传递函数对单位负反馈系统，闭环传递函数相当于一阶系统，阶跃响应没有振荡，有较好的稳定性。调节时间为ts=3/ωc，截止频率ωc越大，系统快速性越好。系统的γ近90°第八十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三②中频段斜率为-40dB/dec，且中频段相当长近似开环L(ω)为-40dB/dec的直线则开环传递函数系统的γ很小对单位负反馈系统，闭环传递函数相当于零阻尼(ζ=0)的二阶系统。系统临界稳定，动态过程持续等幅振荡。中频段斜率更小(如-60dB/dec),系统就难以稳定。第八十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三(2)中频段斜率相同，但其长度不同的比较

设二个最小相位系统,其中频段的斜率都是-20dB/dec，但长度不同，其余部分完全相同。(a)(b)线段较长的系统(a)的相角裕度大于短的系统(b)的相角裕度第八十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三综上：中频段斜率最好为-20dB/dec，且其长度尽可能长些，以确保有足够的相角裕度。若中频段的斜率为-40dB/dec，其占据的频率范围不宜过长,否则γ会很小。若中频段斜率更小(如-60dB/dec)，系统就难以稳定。截止频率ωc越高,系统快速性也就越好。3)高频段中频段以后的频段此频段L(ω)<<0或A(ω)<<1故闭环幅值特性近似等于开环幅值特性高频段反映系统对输入端高频干扰信号的抑制能力，其分贝数越低，抗干扰能力越强。第八十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三5-5闭环系统的频域性能指标1控制系统的频带宽度幅频特性M(ω)下降到0.707M(0)(或ω=0时分贝值以下3分贝时)，对应的频率b称为带宽频率。控制系统的性能指标：时域性能指标和频域性能指标时域指标直观实际中,常用频域指标来设计系统，易实现设Φ(jω)为闭环频率特性20lgM(0)频率范围(0,b)称为系统的带宽含义:高于频率b的输入信号衰减大,低于b的信号很好地通过.第八十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三一阶和二阶系统，带宽和系统参数的关系明确。设一阶系统的闭环传递函数闭环幅频且有则一阶系统带宽和时间常数T成反比第八十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三二阶系统的闭环传递函数闭环幅频特性按带宽定义则二阶系统的带宽与自然频率n成正比，与阻尼比ζ成反比第八十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三一阶系统的单位阶跃响应频带越宽则响应速度越快。对任意阶次的系统此关系都成立。

带宽是频域中一项重要指标。带宽大的系统，响应快，跟踪控制信号的能力强；但抑制输入端高频干扰的能力弱。设计中应折衷考虑开环指标c和闭环指标b密切相关两系统稳定程度相仿，c大的系统，b也大；反之亦然。c和系统响应速度也成正比关系，故也常用c来衡量系统的响应速度。第八十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三2确定闭环频率特性的图解法闭环频率特性曲线可用开环频率特性曲线及一些标准图线（如Nichols图线，等M圆图和等N圆图等）得到，然后利用它可进一步对系统进行分析和估算。(1)尼科尔斯图线将单位反馈系统的开环和闭环频率特性表示为复指数形式根据欧拉公式展开令等式两端虚部相等第八十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三再根据按欧拉公式展开闭环幅频特性解A的一元二次方程在上两式中给定M和α就分别得到一条等M线和等α线。等M线簇和等α线簇构成尼科尔斯图线。第九十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期三等M线标度上面20lgM值括号内为M值

等M线和等α线关于的-180°线对称，且每隔360°重复