线性控制理论系统运动的稳定性

线性控制理论系统运动的稳定性第一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三本章简介本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍内部稳定性和李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造。第二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三5.1内部稳定性与外部稳定性一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统第三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三实际上，控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定(BIBO)即为外部稳定性

。（书P213定义5.1）在经典控制理论中，许多稳定性判据如劳斯-赫尔维茨判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根，与初始条件和扰动都无关，而非线性系统则不然。第四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。

内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性，即系统的内部状态稳定性。（书P216定义5.2）本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。第五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三内部和外部稳定性的关系在经典控制理论中所定义的稳定性是指输入输出稳定性，即给定有界输入，产生的输出亦有界。而李雅普诺夫稳定性讨论的系统状态在平衡态邻域的稳定性问题。就一般系统而言，两种稳定性没有必然的联系，对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。（P217结论5.7-5.9）对于线性定常系统，则有结论如下:若该线性定常系统是渐近稳定的，则一定是输入输出稳定的，反之，则不尽然。第六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三5.2李雅普诺夫稳定性的定义早在1892年，俄国学者李雅普诺夫（1857–1918)

发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献，建立了关于运动稳定性研究的一般理论。李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化，然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法，亦称为李雅普诺夫第一法。第七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性，而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。由于不用解方程就能直接判别系统稳定性，所以第二种方法称为直接法，亦称为李雅普诺夫第二法。自治系统、平衡状态和受扰运动自治运动（P219定义5.3）平衡状态（P220定义5.4）受扰运动（P220定义5.5）第八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三1.平衡态设我们所研究的系统的状态方程为x’=f(x,t)其中x为n维状态变量;f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。对该非线性系统，其平衡态的定义如下。第九页，共五十六页，编辑于2023年，星期三定义5-1动态系统x’=f(x,t)的平衡态是使f(x,t)0

的状态，并用xe来表示。从定义5-1可知，平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态，如上图所示。第十页，共五十六页，编辑于2023年，星期三显然，对于线性定常系统x’=Ax的平衡态xe是满足下述方程的解。Axe=0当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0;而当A为奇异时，则存在无限多个平衡态，且这些平衡态不为孤立平衡态，而构成状态空间中的一个子空间。对于非线性系统，通常可有一个或几个孤立平衡态，它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解。对于孤立平衡态，总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的原点。因此，不失一般性，为了便于分析，我们常把平衡态取为状态空间的原点。第十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例如，对于非线性系统其平衡态为下列代数方程组的解，即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。第十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三图5-1定义5-2(李雅普诺夫稳定性)若状态方程x’=f(x,t)所描述的系统，对于任意的>0和任意初始时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)>0，使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,)的初始状态x0，2.李雅普诺夫意义下的稳定性当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的。第十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三上述定义说明，对应于平衡态xe的每一个球域S(xe,),一定存在一个有限的球域S(xe,)，使得t0时刻从S(xe,)出发的系统状态轨线总不离开S(xe,),则系统在初始时刻t0的平衡态xe为在李雅普诺夫意义下稳定的。以二维状态空间为例，上述定义的几何解释和状态轨线变化如图5-1所示。第十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明：李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(xe,)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。对于定常系统来说，上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定无关，故其稳定性与一致稳定性两者等价。但对于时变系统来说，则这两者的意义很可能不同。第十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三定义5-3(李雅普诺夫渐近稳定性)若状态方程x’=f(x,t)所描述的系统在初始时刻t0的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，且系统状态最终趋近于系统的平衡态xe，即Limt

x(t)=xe则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。若(,t0)与初始时刻t0无关，则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的。图5-23.渐近稳定性第十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三对于线性定常系统来说，上述定义中的实数(,t0)可与初始时刻t0无关，故其渐近稳定性与一致渐近稳定性等价。但对于时变系统来说不同。渐近稳定性在二维空间中的几何解释如图5-2所示。该图表示状态x(t)的轨迹随时间变化的收敛过程。图5-1与图5-2相比较，能清楚地说明渐近稳定和稳定的意义。图5-2图5-1第十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。第十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三大范围渐近稳定性对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态出发的状态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下大范围渐近稳定的。换句话说，若状态方程在任意初始状态下的解,当t无限增长时都趋于平衡态，则该平衡态为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空间中只有一个平衡态。对于线性系统，如果其平衡态是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。但对于非线性系统则不然，渐近稳定性是一个局部性的概念，而非全局性的概念。第十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期三4.不稳定性定义5-4

若状态方程x’=f(x,t)描述的系统在初始时刻t0,对于某个给定实数>0和任意一个实数>0,总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe,)的初始状态x0，使得从x0出发的状态方程的解x(t)将脱离球域S(xe,)，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的。图5-3第二十页，共五十六页，编辑于2023年，星期三李雅普诺夫第二法它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时，其能量达到最小值。反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸收能量，其储存的能量将越来越大。基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性。5.3李雅普诺夫第二法第二十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三（1）实函数的正定性实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下恒为负的。下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。定义5-5设xRn，是Rn中包含原点的一个区域，若实函数V(x)对任意n维非零向量x都有V(x)>0；当且仅当x=0时，才有V(x)=0，则称函数V(x)为区域上的正定函数。1.数学预备知识第二十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三定义5-6设xRn，是Rn中包含原点的一个区域，若实函数V(x)对任意n维非零向量x，都有V(x)<0;当且仅当x=0时，才有V(x)=0，则称函数V(x)为区域上的负定函数。若对任意n维非零向量x，都有V(x)≥0，且V(0)=0，则称函数V(x)为区域上的正半定函数。若对任意n维非零向量x，都有V(x)≤0，且V(0)=0，则称函数V(x)为区域上的负半定函数。若无论取多么小的原点的某个邻域，V(x)可为正值也可为负值，则称函数V(x)为不定函数。第二十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、负定函数等的例子。1)正定函数2)负定函数3)正半定函数4)负半定函数函数的定号性是一个相对概念，与其函数定义域有关。如，函数对x1与x2组成的2维空间为非负定的，但对于1维空间x2则为正定的。5)不定函数第二十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三二次型函数是一类特殊形式函数。设V(x)为关于n维变量向量x的实二次型函数，则其可以表示为其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。(2)

二次型函数和对称矩阵的正定性第二十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三由线性代数知识知，实二次型函数V(x)又可表示为V(x)=xTPx其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵，它为如下nn维实对称矩阵:第二十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三二次型函数与一般函数一样，具有正定、负定、正半定、负半定和不定等定号性概念。二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。因此，由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正定性。定义5-7设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵，当V(x)分别为正定、负定、正半定、负半定和不定时，则称对称矩阵P相应为正定、负定、正半定、负半定与不定。因此，由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为判别对称矩阵的正定性。对称矩阵P为正定、负定、正半定与负半定时，并可分别记为P>0，P<0，P≥0，P≤0。第二十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三定理5-1(塞尔维斯特定理)(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺序主子式均大于零，即其中pij为实对称矩阵P的第i行第j列元素。(2)实对称矩阵P为负定的充要条件是P的各阶顺序主子式满足(3)矩阵正定性的判别方法第二十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三定理5-2实对称矩阵P为正定、负定、正半定与负半定的充分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零；实对称矩阵P为不定的充分必要条件是P的特征值有正有负。上述判别实对称矩阵P的定号性的方法，各有千秋。但总的说来,基于塞尔维斯特定理的方法计算量较大，若将该方法推广到判别正半定性和负半定性，则计算量成指数性地增加。特征值判别法需求解高阶特征方程以获得特征值，计算较复杂，计算量也较大。第二十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期三(1)渐近稳定性定理(包括大范围和小范围)定理5-4

设系统的状态方程为x’=f(x,t)其中xe=0为其平衡态。（P228结论5.11）若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，V(0,t)=0，满足下述条件:1)若V’(x,t)为负定的，则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;2)更进一步，若随着||x||→，有V(x,t)→，那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。2.李雅普诺夫第二法的几个定理第三十页，共五十六页，编辑于2023年，星期三李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论。它不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统;既适用于定常系统，也适用于时变系统。因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性的具有普遍性的方法。对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件，而非必要条件。也就是说，若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函数，则系统是一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定的。第三十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三但是，如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。2)对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的，但并不唯一。3)对于非线性系统，虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的，但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的;4)李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函数的方法。寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态方程而具体分析。第三十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例5-3

试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。解:显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间的全导数是负定函数。此外，当||x||→时，必有V(x)→。因此，由定理5-4知，在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。第三十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例5-4

试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。解:

原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间的全导数是负半定函数，故由定理5-4知，根据所选的李雅普诺夫函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。第三十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三定理5-5

设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，V(0,t)=0，满足下述条件:（P229结论5.12）1)

V’(x,t)为负半定的，则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的;2)

若V(x,t)的定义域为Rn，对任意的t0和任意的x(t0)0，V’(x,t)在t>t0时不恒为零，那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的，否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。此时，随着||x||→,有V(x,t)→，则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。定理5-4中要求选择的李雅普诺夫函数的导数为负定函数，这给寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困难。下面给出一个补充定理，以减弱判别条件。第三十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例5-5

试确定例5-4的系统的平衡态稳定性。解：前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数。该函数及其导数分别为由于V’(x)是负半定函数,由定理5-5的1)可知，系统为一致稳定的。对例5-5，选取李雅普诺夫函数为则是负定的，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。第三十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三定理5-6

设系统的状态方程为x’=f(x,t)其中xe=0为其平衡态。（P231结论5.17）若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，V(0,t)=0，满足下述条件:若V’(x,t)为负半定的，则该系统在原点处的平衡态是李雅普诺夫意义下的稳定性。(2)李雅普诺夫意义下的稳定性定理第三十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例5-6

试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t)，V(x)的全导数解：显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择正定函数由于V’(x)非正定,由定理5-5的1)可知，系统为一致稳定的。由于V’(x)对任意的x0恒为零，因此由定理5-5中2)可知，该系统是李雅普诺夫意义下的稳定，但非渐近稳定。第三十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三定理5-7

设系统的状态方程为x’=f(x,t)，其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，V(0,t)=0，满足下述条件:（P232结论5.19）1)V’(x,t)为正定的，则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;2)若V’(x,t)为非负定的，且对任意的t0和任意的x(t0)0，V’(x,t)在t>t0时不恒为零，那么该平衡态xe亦是不稳定的(3)不稳定性定理第三十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例5-7

试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。解：显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择李雅普诺夫函数为则由于V’(x)正定，因此由定理5-7可知，系统的该平衡态为不稳定的。第四十页，共五十六页，编辑于2023年，星期三下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结

V(x)

V’(x)结论正定(>0)负定(<0)该平衡态渐近稳定正定(>0)负半定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(>0)负半定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定但非渐近稳定正定(>0)正定(>0)该平衡态不稳定正定(>0)正半定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定第四十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三5.4构造李雅普诺夫函数的规则化方法对于非线性系统，李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性系统的稳定性判定，但其只是一个充分条件,并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。针对各类非线性系统的特性，分门别类地构造适宜的Lyapunov函数。如,通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩阵法)针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。第四十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三1.克拉索夫斯基法设非线性定常连续系统的状态方程为对该系统有如下假设:1)

所讨论的平衡态xe=0;2)

f(x)对状态变量x是连续可微的，即存在雅可比矩阵对上述非线性系统，有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯基定理。第四十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三为负定的矩阵函数，且为该系统的一个李雅普诺夫函数。更进一步，当||x||→∞时，有||f(x)||→∞，则该平衡态是大范围渐近稳定的。在应用克拉索夫斯基定理时，还应注意下面几点。克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件，不是必要条件。如对于渐近稳定的线性定常连续系统定理5-8非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充分条件为（P237结论5.20）

第四十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三不是负定矩阵，故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统为渐近稳定的。可见，该定理仅是一个充分条件判别定理。若V(x)=fT(x)f(x)正定，为Lyapunov函数，则说明只有当x=0时，才有V(x)=0，即原点是唯一的平衡态。因此，只有原点是系统的唯一平衡态，才能用克拉索夫斯基定理判别渐近稳定性，并且由该定理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。由克拉索夫斯基定理可知，系统的平衡态xe=0是渐近稳定的条件是FT(x)+F(x)为负定矩阵函数。由于第四十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称矩阵A+AT负定，则系统的原点是大范围渐近稳定的。（P237结论5.21）第四十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例5-8

试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:解由于f(x)连续可导且可取作李雅普诺夫函数，因此，有由塞尔维斯特准则有故矩阵函数负定，所以由克拉索夫斯基定理可知，平衡态xe=0是渐近稳定的。第四十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三5.5线性系统的稳定性判据设线性定常连续系统的状态方程为x’=Ax，

x(0)=x0状态空间原点即xe=0为系统的一个平衡态。特征值判据是:（P238）1.若系统矩阵A的所有特征值均具有负实部，则系统的平衡态xe为渐近稳定。2.若系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部，则系统的平衡态xe不稳定。3.若系统矩阵A除有实部为零的特征值外，其余特征值都具有负实部，则系统的平衡态xe为李雅普诺夫意义下的稳定，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。第四十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三李雅普诺夫判据定理5-9线性定常连续系统（P239结论5.24）x’=Ax的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为:对给定的任意正定矩阵Q，李雅普诺夫方程PA+ATP=-Q存在唯一的正定矩阵解P，并且正定函数V(x)=xTPx即为系统的一个李雅普诺夫函数。运用此方法判定系统的渐近稳定性时，