证明不等式基本方法

一、比较法

(1)作差比较法例1

已知a,

b都是实数,

且a

„

b,求证a3

+

b3

>

a2b

+

ab2证明:(a3

+b3

)-(a2b

+ab2

)=(a3

-a2b)-(ab2

-b3

)=

a2

(a

-

b)

-

b2

(a

-

b)

=

(a2

-

b2

)(a

-

b)=

(a

+

b)(a

-

b)2

a,

b

>

0,\

a

+

b

>

0又

a

„

b\

(a

-

b)2

>

0故(a

+

b)(a

-

b)2

>

0即(a3

+

b3

)

-

(a2b

+

ab2

)

>

0\

a3

+

b3

>

a2b

+

ab2b例2

如果用akg白糖制出bkg糖溶液,

则其浓度为

a

,若在上述溶液中再添加mkg白糖,此时溶液的浓度增加到a

+m

,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.b

+

m解

:

可以把上述事实抽象成

如下不等式问题

:已知a,

b,

m都是正数

,

并a

<

b且,

则

a

+

m

>

ab

+

m

bb

+

m

b已知a,

b,

m都是正数

,

并a

<

b且,

则

a

+

m

>

a解

:

可以把上述事实抽象成

如下不等式问题

:下面给出证明a

+

m

-

a

=

m

(b

-

a

)b

+

m

b

b(b

+

m

)

b

<a

\b

-a

>0,

又

a,b,m都是正数,\

m(b

-

a)

>

0,

b(b

+

m)

>

0\

m(b

-

a)

>

0

即a

+

m

-

a

>

0

\

a

+

m

>

ab(b

+

m)

b

+

m

b

b

+

m

b例3

已知a,

b是正数,求证aabb

‡

abba

,当且仅当a

=b时,等号成立.bbaabba

-b

b-aa

b

a

a

-b=

b证明:

a

=

aab根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置,不等式不变)‡

1

b

‡

1,

a

-

b

‡

0,\

不妨设a

‡b

>0,则

a

a

-b当且仅当a

=b时,等号成立.\aabb

‡abba

,当且仅当a

=b时,等号成立.(2)作商比较法3a

+b+c变式引申:

求证

:

若a,

b,

c

˛

R+

,则aabbcc

‡

(abc)补充例题:已知a

>2,求证:loga

(a

-1)<log(a

+1)a课堂练习:课本P

23第1题,第2题.补充练习:若a,b,m,n都是正实数,且m

+n

=1,试证明

ma+

nb

‡

m a

+

n

b补充练习:D

.

cA.

ab

b

+

d b

+

2d

dB

.

a

+

c

C

.

a

+

2c>

ad

,1.已知

a

,

b

,

c

,

d都是正数

,

且

bc则

a

,

a

+

c

,

a

+

2

c

,

c

中最大的是

(

D

)b b

+

d b

+

2

d

dB.1

+

qm

+

n

<

qm

+

qnD.不能确定A.1

+

qm

+n

>

qm

+

qnC

.1

+

qm

+

n

=

qm

+

qn2.若q

>

0,

且q

„

1,

m

,

n

˛

N

*,

则1

+

qm

+

n与qm

+

qn的大小关系是

(

A

)3.在等比数列

{an

}和等差数列

{bn

}中,

a1

=

b1

>

0,a3

=

b3

>

0,

a1

„

a3

,

则a5与b5的大小关系为

(

A

)A.a

5

>b5

B.a

5

=b

5

C,a5

<b

5

D.不能确定4.设0

<a

<b

<1,则a

+b,2ab

,a2

+b2

,2ab中最大的值是(B

)_______A.a2

+

b2

B.a

+

b C

.2ab

D.2

ab5.设P

=a

2b2

+5,Q

=2ab

-a

2

-4a,若P

>Q,则实数a,b满足的条件为_ab

„1或ab

„-22

22

2

26.若0

<

a

<

b

<

1,

P

=

log

1

a

+

b

,Q

=

1

(log

1

a

+

log

1

b),M

=log

1

(a

+b),则P,Q,M的大小关系是Q>P>M2二、综合法与分析法(1)综合法在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系A

B1

B2

Bn

B(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)例1

已知

a

,

b,

c

>

0,

且不全相等

,求证

a(b

2

+

c

2

)

+

b(c

2

+

a

2

)

+

c(a

2

+

b

2

)

>

6abc证明:

b2

+

c2

‡

2bc,

a

>

0,\

a(b2

+

c2

)

‡

2abc

c2

+

a2

‡

2ac,

b

>

0,\

b(c2

+

a2

)

‡

2abc

a2

+

b2

‡

2ab,

c

>

0,\

c(a2

+

b2

)

‡

2abc少有一个不由于a,b,c不全相等,所以上述三个式子中至取等号,把它们相加得a(b2

+

c

2

)

+

b(c

2

+

a

2

)

+

c(a

2

+

b2

)

>

6abc例

2

已知

a1

,

a

2

,

,

an

˛

R

+

,

且a1a

2

an

=

1,求证(1

+a1

)(1

+a

2)

(1

+an

)‡2

n证明:

a1

˛

R+

,\

1

+

a1

‡

2

a1

,同理1

+

a2

‡

2

a2

,,1

+

an

‡

2

an

a1

,a2

,,an

˛

R+,由不等式的性质,得(1

+

a1

)(1

+

a2

)(1

+

an

)

‡

2n

a1a2

an

=

2n.

ai

=

1时,1

+

ai

‡

2

ai

取等号,所以原式在a1

=

a2

=

=

an

=

1时取等号.无法显示该图片。22

‡

a

2

+

b2

a+

b

22(a

+

b)

‡

4ab;(4)a

+b

‡

ab

;它的变形形式又有

2a

+

b

‡

2(ab

>

0);

a

+

b

£

-2(ab

<

0)b

a

b

aa

2

‡

0;a

‡

0;(3)a

2

+b2

‡2ab;它的变形形式又有利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式有:(2)分析法从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系B

B1

B2

Bn

A结

(步步寻求不等式

已论

成立的充分条件)

知用分析法证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,只需证明命题B1为真,从而有……只需证明命题B2为真,从而有…………只需证明命题A为真.而已知A为真,故B必真.2

+

7

<

3

+

62

+7和3

+6都是正数,2

+

7

<

3

+

6,2

+

7

)2

<

( 3

+

6

)2

,展开得9

+

2 14

<

9

+

2

18,只需证14

<18,只需证14

<18,14

<18成立,所以

2

+

7

<

3

+

6成立.例3

求证证明:所以要证只需证(‡

abca

2b2

+

b2c

2

+

c

2a

2例4

已知a,

b,

c

>

0,

求证a

+

b

+

c分析:要证的不等式可化为a2b2

+

b2c2

+

c2a2

‡

abc(a

+

b

+

c)观察上式,左边各项是两个字母的平方之积,右边各项涉及三个字母,可以考虑用x2

(

y2

+

z2

)

‡

2

x2

yz‡

abca

2b2

+

b2c

2

+

c

2a

2例4

已知a,

b,

c

>

0,

求证‡

abca

+

b

+

ca

+

b

+

ca2b2

+

b2c2

+

c2a2>

0,1故又a,b,c

>0,\a

+b

+c

>0,\a

+

b

+

c证明:

b2

+c2

‡2bc,a2

>0,\a2

(b2

+c2

)‡2a2bc

c2

+

a2

‡

2ac,

b2

>

0,\

b2

(c2

+

a2

)

‡

2b2ac

a2

+

b2

‡

2ab,

c2

>

0,\

c2

(a2

+

b2

)

‡

2c2ab\

2(a2b2

+

b2c2

+

c2a2

)

‡

2a2bc

+

2b2ac

+

2c2ab\

a2b2

+

b2c2

+

c2a2

‡

abc(a

+

b

+

c)三、反证法与放缩法(1)反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.例1

已知x,

y

>

0,

且x

+

y

>

2,\

2

+

x

+

y

‡

2(

x

+

y

)\

x

+

y

£

2,这与已知条件

x

+

y

>

2矛盾

.\

1

+

x

与

1

+

y

中至少有一个小于

2y

x1

+

y

‡

2

x

,试证1

+x

,1

+y

中至少有一个小于2.y

x证明:假设1

+x

,1

+y

都不小于2,y

x即

1

+

x

‡

2,

且

1

+

y

‡

2,y

x

x

,

y

>

0,\

1

+

x

‡

2

y

,例2

已知a,

b,

c为实数,a

+

b

+

c

>

0,ab

+

bc

+

ca

>

0,abc

>

0,求证

:

a

>

0,b

>

0,c

>

0.证明:假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数,不妨先设a

£

0,下面分a

=0和a

<0两种情况讨论.(1)如果a

=0,则abc

=0,与abc

>0矛盾,\a

=0不可能.(2)如果a

<0,那么由abc

>0可得bc

<0,又a

+b

+c

>0,\b

+c

=-a

>0,于是ab

+bc

+ca

=a(b

+c)+bc

<0,这和已知ab

+bc+ca

>0相矛盾.\a

<0也不可能.综上所述a

>0,同理可证b

>0,c

>0,所以原命题成立.反证法主要适用于以下两种情形要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.(2)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.<

2++

+1

<d

+

a

+

cdc

+

d

+

bca

+

b

+

d b

+

c

+

aa

b例3

已知a,

b,

c,

d

˛

R+

,求证d

dc

cb

b证明:

a,b,c,d

>0,a

aa\

a

+

b

+

c

+

d

<

a

+

b

+

d

<

a

+

bb<

<a

+

b

+

c

+

d b

+

c

+

a

a

+

bc<

<a

+

b

+

c

+

d c

+

d

+

b

c

+

dd<

<a

+

b

+

c

+

d d

+

a

+

c

c

+

d<

2+++1

<+++db

+

c

+

a c

+

b

+

a d

+

a

+

ca

+

b

+

daa

+

b c

+

db

c<

a

+

b

+

c

+

d

.d

+

a

+

cdc

+

b

+

dcb

+

c

+

aba

+

b

+

c

+

d

<

aa

+

b

+

c

+

d a

+

b

+

d即把以上四个不等式相加得.ba+1

+

a

1

+

b£1

+

a

+

ba

+

b例4

已知a,

b是实数,求证.11baba+1

+

a

1

+

b£1

+

a

+

b+1

+

a

+

b=1

+

a

+

ba

+

b=1

+

a

+

b£

1

-1

+

a

+

b1

+

a

+

ba

+

b\

=

1

-证明:

0

£

a

+b

£

a

+b补充例题:ca

b+

>a

+

m b

+

m c

+

m求证:1.已知DABC

的三边长是a,b,c,且m为正数,ca

bcbaa

bmx>+a

+

m b

+

m c

+

m\c

+

ma

+

b

+

m++

>a

+

m b

+

m a

+

b

+

mx

+

mx

+

ma

+

b

+

mf

(a

+

b)

>

f

(c

)

==

a

+

b

=

f

(a+

b

)(

x

>

0,

m

>

0),=

1

-又a

+b

>c

,\易知f

(x

)在(0,+¥

)上是增函数.证明:设函数f

(x

)=

f

(a

)