线性代数第四章矩阵的特征值

线性代数第四章矩阵的特征值第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期三一矩阵的特征值二特征值与特征向量的基本性质第一节矩阵的特征值与特征向量第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期三一、特征值与特征向量的概念定义4.1Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，为ｎ维非零向量，若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组①特征向量，特征值问题只针对方阵；有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期三

定义4.2设A为n阶矩阵,含有未知量λ的矩阵λI-A称为A的特征矩阵,其行列式为λ的n次多项式,称为A的特征多项式,称为A的特征方程.求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤:1.由矩阵A的特征方程求出A的特征值2.对于矩阵A的不同的特征值求出一个基础解系则为矩阵A对应特征值的特征向量.第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期三例1.求矩阵的特征值和特征向量例2.求矩阵的特征值和特征向量第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期三练习.求矩阵的特征值和特征向量例3.求矩阵的特征值和特征向量第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期三练习.求矩阵的特征值和特征向量例3.求矩阵的特征值和特征向量的一个基础解系为则矩阵对应于的特征向量为的一个基础解系为的特征向量为则矩阵对应于第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期三练习.求矩阵B的特征值和特征向量第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期三二、特征值和特征向量的性质定理4.1n阶矩阵A与它的转置有相同的特征值.有一个成立,则矩阵A的所有特征值的模小于1.即定理4.2n阶矩阵A=(aij),若第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期三定理4.3互异特征值对应的特征向量线性无关。对应于特征值的线性无关的特征向量.对应于特征值的线性无关的特征向量.则是线性无关的.第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期三１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则的一个特征值为（）２、证ｎ阶方阵Ａ的满足，则Ａ的特征值为０或１．３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则（）４、求下列方阵的特征值与特征向量第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期三一相似矩阵及其性质二n阶矩阵与对角矩阵相似的条件第二节相似矩阵第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期三定义4.3设Ａ,Ｂ都是n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵称为对Ａ进行相似变换，对Ａ进行运算可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．Ａ与Ｂ相似．记作：Ａ∽Ｂ．则第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期三定理4.4(1)相似矩阵有相同的特征值.(2)相似矩阵有相同的秩(3)相似矩阵的行列式相同.(4)相似矩阵同时可逆或者同时不可逆.注(1)任何一个n阶矩阵都有相似矩阵;(2)我们赶兴趣的是一个n阶矩阵是否能够相似于一个对角矩阵?(3)若不是任何一个矩阵都能相似于一个对角矩阵,矩阵相似于对角矩阵需要什么条件?或者说什么样的矩阵能相似于对角矩阵.第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期三定理4.5ｎ阶矩阵Ａ与n阶对角矩阵，相似的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。(二)n阶矩阵与对角矩阵相似的条件第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期三设存在Ｐ可逆，使得第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期三于是有因为Ｐ可逆，故且是Ａ的ｎ个线性无关的特征向量。充分性：若Ａ有ｎ个线性无关的特征向量对应的特征值为即第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期三令则P可逆，且所以即Ａ与对角矩阵Λ相似．第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期三定理的证明告诉我们，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值．相似矩阵P的列是对应于Λ对角线上元素的特征向量。推论若ｎ阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则Ａ必与对角矩阵Λ相似第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期三注意Ｐ中的列向量的排列顺序要与的顺序一致．（1）（2）是的基础解系中的解向量，因的取法不是唯一的，故因此Ｐ也是不唯一的．

推论若ｎ阶矩阵Ａ有n个特征值,则可相似对角化<==>Ａ的任ti重特征值有对应ti个线性无关的特征向量．第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期三n阶矩阵A对角化的步骤：1.求出n阶矩阵A的所有特征值2.求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量

特征值和特征向量的对应.

若A的特征值的个数小于n（重根按重数计算），则A不与对角矩阵相似。

若A有一个t重特征值，对应的特征向量在线性无关的意义下小于t，则A不与对角矩阵相似。3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期三1.求出n阶矩阵A的所有特征值2.求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。的一个基础解系为的一个基础解系为且第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期三第四节实对称矩阵的特征值和特征向量一内积的定义和性质三正交向量组二向量的长度与夹角四正交矩阵与正交变换五对称矩阵的相似变换第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期三一、内积的定义与性质定义4.5设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期三２、性质（1）对称性：（2）线性性：（3）正定性：当且仅当时第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期三定义4.6对于n维列向量α,其长度为向量长度也叫向量的模或范数.特别地,长度为１的向量称为单位向量.第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期三（1）正定性：（2）齐次性：（3）三角不等式：向量长度的性质（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:当且仅当α与β的线性相关时，等号成立.注①当时，②由非零向量α得到单位向量是α的单位向量.称为把α单位化或标准化.的过程第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期三二、正交向量组定义4.7若则称α与β正交.注①若，则α与任何向量都正交.②

定义4.8若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组.由单位向量组成的正交组称为标准正交组.第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期三定理4.8正交向量组是线性无关的.证明:若向量组下面证明是正交向量组,则对于任意对于任意的i,即由于是正交向量组,不包含0向量.因此由i的任意性可得,即正交向量组是线性无关的.第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期三施密特（Schmidt）正交化法设是线性无关的,把它们化为标准正交向量组的过程称为标准正交化.这里我们讨论施密特（Schmidt）正交化法.包括正交化和标准化两个过程.1）正交化令第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期三就得到Ｖ的一个标准正交向量组.2）标准化令注则两两正交，且与等价.上述方法中的两个向量组对任意的与是等价的.第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期三例1证明：中，勾股定理成立的充要条件是正交.解所以成立的充要条件是即正交.已知三维向量空间中，例2正交，试求是三维向量空间的一个正交基.第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期三解设则即例3已知向量求的一个标准正交基.解设非零向量都于正交，即满足方程或其基础解系为第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期三令1）正交化令2）标准化令第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期三第四章第三节(三)正交矩阵1、定义如果ｎ阶矩阵满足：则称Ａ为正交矩阵.第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期三正交矩阵的性质1、正交矩阵行列式为1或者-1；2、若Q为正交矩阵，则Q可逆，且Q-1=QT;3、两个正交矩阵的乘积为正交矩阵。

定理4.9设Q为n阶矩阵，则Q为正交矩阵的充要条件为Q的行(列)向量组是单位正交向量组。第三十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期三例:判断下列矩阵是否为正交矩阵.第三十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期三定理4.10对称矩阵的特征值为实数.(四)实对称矩阵的特征值和特征向量定理4.11对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.结论：若ｎ阶对称阵Ａ的任重特征值对应的线性无关的特征向量恰有