广东省深圳市桂园中学高三数学理上学期期末试题含解析

广东省深圳市桂园中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为（

）A.

B.

C.2

D.参考答案：B设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.

2.下列叙述正确的是(

)A．命题：，使的否定为：，均有．B．命题：若，则或的逆否命题为：若或，则C．己知，则幂函数为偶函数，且在上单调递减的充分必要条件为

n=1D．函数图像关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m=±1参考答案：C略3.已知=1+i（i为虚数单位），则复数z在复平面内的对应点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．【解答】解：由=1+i，得，∴复数z在复平面内的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.如图，在平面斜坐标系XOY中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是X轴，Y轴同方向的单位向量）。则P点的斜坐标为（x,y），向量的斜坐标为(x,y)。有以下结论：①若，P（2，-1）则②若P（，Q，则③若（，,则④若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为其中正确的结论个数为

(

)A、1

B、2

C、3

D、4参考答案：C5.已知函数的定义域为，满足，当时,，则函数的大致图象是(

)参考答案：A6.某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果优秀的人数为20人，则的估计值是（）

A．130

B．140

C．134

D．137高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

参考答案：C略7.已知集合,，则为A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.设是等比数列，则下列结论中正确的是 A.若，则

B.若，则C.若，则

D.若，则参考答案：D9.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.参考答案：A略10.若都是实数，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设则__________参考答案：12.设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则

___.参考答案：1613.已知数列的前项和为，，，,则

。参考答案：14.已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为___________参考答案：4415.已知点在不等式组，表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为__________．参考答案：解：∵点在不等式组，表示的平面区域内，∴，解得，点到直线的距离，，当时，点到直线的距离最大，．16.若数列满足：，则前6项的和

.（用数字作答）参考答案：63试题分析：要求数列的前项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转化为等差（或等比）数列，例如本题中由，，故数列是等比数列，公比，因此．考点：等比数列的定义与前项和．

17.命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为

．参考答案：“若x≤1，则x2≤1”【考点】四种命题．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，故答案为：“若x≤1，则x2≤1”【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……5分（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则?=?=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则?=?=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．……………9分于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．………12分19.1,3,5

（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式；

（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.参考答案：解:（Ⅰ）由

①

得

②

---------1分

由②—①，得

即：

---------2分

由于数列各项均为正数，

------------3分

即

数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是

----------4分（Ⅱ）由知，所以，

------------5分有，即，---------6分而，故是以为首项，公比为2的等比数列。

---------7分所以

---------8分（Ⅲ），

-------9分所以数列的前n项和

错位相减可得

----------12分略20.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2+c2=ab+bc+ca．（1）证明△ABC是正三角形；（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=，求sin∠BAD的值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由已知利用配方法可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，从而可求a=b=c，即△ABC是正三角形．（2）由已知可求AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD【解答】解：（1）证明：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc，∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，∴a=b=c∴△ABC为等边三角形（2）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD，∴AC=2CD，∠ACD=120°，∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC?CDcos∠ACD，可得：7=4CD2+CD2﹣4CD?CDcos120°，解得CD=1，在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD===．21.设等比数列的前n项和为,已知求和参考答案：解：设的公比为q，由题设得

…………3分解得

…………6分当当

…………10分22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）

（λ＞0）∴，，得，，