空间向量在立体几何中应用

在空间直角坐标系中，已知任一向量a 存在唯一数组xyzaxiyjzkxiyjz分别叫做向量axyz叫做向量a

两个向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAaOBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b．通常规定0≤a，bπ．aa(a1设

aa∥b（b0）

ab a abab0a1b1a2b2a3b3 a|aa|aaa2a2a b|bbb2b2b a|a||b．a2a2a2b2b2b 位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，再作向量OAaA在空间的位置就被向量a所唯一确定了．这时，我们称这个向量aOA位置向量．1).设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2l1∥l2（或l1与l2重合）

；l1l2v1若向量v1和是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内直线l的一个方向向量为v，则l∥或l在内x，y，使vxv1yv2n的基线与平面n就称为平面的法向量（0不能为法向量A是空间任一点，nAMn0MAnAMn0则∥或重合

；n1n2n1n2线线角：两条直线l,l所称角设为，则01

2 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1,l2所称线线角与方向向量角

v1v2或v1v2cos|cosv1v2线面角：直线l和它在平面内所有直线所成角中最小的角，设其为，则0 2 设m为平面n为直线l的方向向量，两向量所成角为mn m,

或m sin|

m,n做二面角的面．棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l．二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAlOBl，则AOB叫做二面角l[0180] 假设，两个面的法向量为m假设，两个面的法向量为mnm,

则知：

mn或mn故有如下结论：|cos||

m,n

的“+-【例1】如图：PD平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，ADC90PDAD2AB2，,EC2PE PA//BDE（Ⅱ)BDPPBC BPCD【例2S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、NCD、SC2 2【3ABCA1B1C1DABE为侧棱CC1CD∥A1EBAB1A1EB【4】ABCDABCD的棱长为2OACBDEBBBE1111B1DD1ACD1OA1DD1OAEC

EEDOC 【5】PABCDABCDPA底面ABCDBC2AB2PA6M

NPCANPDMBDC【6】ABCDA1B1C1D1A1DABCD，ABCD是边长为1AA12．BD1A1C1DDA1C1A【7】ACDEEDACABACAE2ED1AB，PBC2DPEABEBDABC2PN．2NAM求证：BDPCNAMMN//PDCAPCBD FD【例9】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形 FDACBDEFFCEADAFCBC 【10】ABCDEFABCDEF//AB，EFEA，AB2EF，AED900AEEDHADEH//FACEHABCDAFCB【1】EFAEBAEEBAD//EF，EF//BC，BC2AD4EFAEBE2GBCABDEGBDEG求二面角CDFE【2】PABCD的底面为正方形，PAABCDPAAD2，EFHPA,PD,AB的中点．PB//EFHPDAHFHEFA【3】PABCDAB//CDABADPAB和PAD是两个边长为2DC4，OBD