一次函数存在性问题

一次函数存在性问题1如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=4X的图象交于点A，且与X轴交于点B.(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C过点B作直线l//y轴.动点P从原点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度沿X轴向左平移，在平移过程中，直线l交X轴于点心交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．(备用图)2如图12,直线y=kχ-1与X轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=2.求B点的坐标和k的值；若点A(x，y)是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出AAOB的面积S与x的函数关系式；探索：①当点A运动到什么位置时，^AOB的面积是1；4②在①成立的情况下，χ轴上是否存在一点P,使^POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.图123在直角坐标系中，点A的坐标是(3,0),点P在第一象限内的直线y=—x+4上.设点P的坐标为(x,y).(1)在所给直角坐标系(图10)中画出符合已知条件的图形，求APOA的面积8与自变量X的函数关系式及X的取值范围；9(2)当S=5时，求点P的位置；(3)若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形，请直接写出第四个顶点Q的坐标.4如图，已知一次函数y=-%+7与正比例函数j=4%的图象交于点A，且与l轴交于点B.(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥j轴于点C,过点B作直线l〃j轴.动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交％轴于点R交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.4【答案】（1）根据题意，得[y=-χ+7Iy=3x,x=3解得｛X=4,・•・A(3,4).令y=-x+7=0,得x=7.ΛB(7,0).(2)①当P在OC上运动时，0≤t<4.由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得1(3+7)×4-1×3×(4-1)-1t(7-1)-11×4=8乙 乙 乙 乙整理,得12-81+12=0,解之得tι=2,t2=6(舍)当P在CA上运动，4≤t<7.由SAAPF1×（7-1）×4=8,得t=3（舍）△APR2・•・当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时，0≤t<4.・，.AP=∖((4-1)2+32,AQ=；'21,PQ=7-t当AP=AQ时， (4-1)2+32=2(4-1)2,整理得，12-81+7=0..∙.t=1,t=7(舍)当AP=PQ时，(4-1)2+32=(7-1)2,整理得，61=24..∙.t=4(舍去)当AQ=PQ时，2(4-1)2=(7-1)2整理得，12-21-17=0.∖t=1+3∖,2(舍)当P在CA上运动时，4≤t<7.过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.设直线l交AC于E,贝UQE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-1.由cos∠OAC=AE=AC,，得AQ=5(t-4).AQAO 3当AP=AQ时，7-1=I(t-4)，解得t=∙y.38当AQ=PQ时，AE=PE,即AE=1AP2得t-4=1(7-1)，解得t=5.2当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于FAF=1AQ=1×5(t-4).乙 乙。在Rt△APF中，由Cos∠PAF=AF=3AP5,,曰 3得AF=5AP即；x[(t-4)=∣×(7-t)，解得t=等.23 5 43・•・综上所述，t=1或41或5或226时，^APQ是等腰三角形.8 435【答案】解：(1)∙∙∙y=kx-1与y轴相交于点C,\o"CurrentDocument"OB 1Vtan∠OCB=-=—— .∖OB=-OC 2门八∙'B点坐标为：―，012JOC=1 (1八. .把B点坐标为：―，0代入y=kx-1得k=212J1(2)∙.∙S=-×OBXy ∖∙y=kx-11=一×2.S••2Gx-I).S••1=—x-214S1 1 11(3)①当S=7时，-x--=-4 2 44.∙.x=1,y=2χ-1=11,A点坐标为(1,1)时，^AOB的面积为了4②存在.满足条件的所有P点坐标为：P1(1,0),P2(2,0),P3(√2,0),P4(-22,0).12分6答案1S1=一×3∙1=—OA∙23y=2y232y4分(—x+4)=—ɪx+6,2即S=——x+6, 2自变量x的取值范围为：0<x<4；6分7分(2)∙.∙S=—2x+6-2解得X=1，—3x+6,当S=9时，得93,8分y=—x+4=3・•・点P的坐标为(1,3) [或∙.*S=5y,,当S=5时，得5y=,Λy=3,・•・一x+4=3,得x=1,∙•.点P的坐标为(1,3)](3)第四个顶点Q的坐标为：Q(x+3,y) 或Q(X—3,y) 或、(3—x,—y). 图示如下：其中Q(x+3,y)为图1；Q(X—3,y)为图2与图3；9分•10分

Tl分12分Q(3—x，—y)为图4与图5.8解：（1）根据题意，得y=-x+7y=4x,解得)3X=3［尸4,，43,4).令y=-x+7=0,得x=7.ΛB(7,0).(2)①当P在OC上运动时，0≤t<4.由S.=SS -S.-S -S =8,得△APR梯形COBA△ACP△POR△ARB1(3+7)×4-1×3×(4-1)-1t(7-1)-11×4=8乙 乙 乙 乙整理,得12-81+12=0,解之得tι=2,t2=6（舍）当P在CA上运动，4≤t<7. 2由SAAPF1×（7-1）×4=8,得t=3（舍）△APR2・•・当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时，0≤t<4.・•・APK(4-1)2+32,AQHnt,PQ=7-t当AP=AQ时， (4-1)2+32=2(4-1)2,整理得，12-81+7=0..∙.t=1,t=7(舍)当AP=PQ时，(4-1)2+32=(7-1)2,整理得，61=24..∙.t=4(舍去)当AQ=PQ时，2(4-1)2=(7-1)2整理得，12-21-17=0.∙.t二1±3√2(舍)当P在CA上运动时，4≤t<7.过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.设直线l交AC于E,则UQE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-1.由COS∠OAC=AEACAQAO,5得AQ=3(t-4).当AP=AQ时，当AQ=PQ时,5 417-1=3(t-4),解得t=y.,…1AE=PE,即AE=APP乙得t-4=1(7-t)，解