《振动力学》习题集(含答案)

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1.1质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。

图E1.1

解：系统的动能为：

()2

22

121xIlxmT+=

其中I为杆关于铰点的转动惯量：

2102120221lmdxxlmxdxlmIll??==??

?

??=

则有：

()2212212236

16121xlmmxlmxmlT+=+=

系统的势能为：

()()()2

1212124

1

4121cos12

cos1glxmmglxmmglxxl

gmxmglU+=+=-?

+-=

利用xx

nω=和UT=可得：()()l

mmg

mmn113223++=

ω

1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

图E1.2

解：

如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分离为：

22222243212121θθθmRmRmRITB=??

???+==

()[]()22

22

12θθaRkaRkU+=+?=

利用θωθn

=和UT=可得：()m

k

RaRmRaRkn34342

2

+=+=ω

1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分离为1k，2k和3k的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3

解：系统的动能为：

2

2

1θJT=

2k和3k相当于串联，则有：

332232,θθθθθkk=+=

以上两式联立可得：

θθθθ3

22

33232,kkkkkk+=+=

系统的势能为：

()232323212

332222*********θθθθ??

????+++=++=kkkkkkkkkkU

利用θωθn

=和UT=可得：()()

3232132kkJkkkkkn+++=

ω

1.4在图E1.4所示的系统中，已知()bamiki,,3,2,1和=，横杆质量不计。求固有频

率。

图E1.4

答案图E1.4

解：对m举行受力分析可得：

33xkmg=，即3

3kmg

x=

如图可得：

()()2

2221111,kbamgakFxkbamgbkFx+==+==

()()mgkkbakbkabaxxaxxxx2122

21212110++=+-+='+=

()mgkmgkkkbakbkaxxx0

3212

2212301

1=??

????+++=+=

则等效弹簧刚度为：

()()2

12322

312

3

212

kkbakkbkkakkkbake++++=则固有频率为：

()()(

)[

]

222132212

321b

kakkbakkmbakkkmken++++==ω

mgb

aaF+=

2

xx2

1.7质量1m在倾角为α的光洁斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量2m，如图E1.7所

示。确定系统由此产生的自由振动。

图E1.7

答案图E1.7

解：

对1m由能量守恒可得（其中1v的方向为沿斜面对下）：

21112

1

vmghm=

，即ghv21=

对囫囵系统由动量守恒可得：

()02111vmmvm+=，即ghmmmv22

110+=

令2m引起的静变形为2x，则有：

22sinkxgm=α，即k

gmxα

sin22=

令1m+2m引起的静变形为12x，同理有：

()kgmmxαsin2112+=

得：

k

gmxxxα

sin12120=

-=

则系统的自由振动可表示为：

tx

txxnn

nωωωsincos00+

=

其中系统的固有频率为：

2

1mmk

n+=

ω

注重到0v与x方向相反，得系统的自由振动为：

t

vtxxnn

nωωωsincos0

0-

=

1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角θ为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原特长立刻释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？

图E1.9

答案图E1.9

解：利用动量矩定理得：

llcaakI?-?-=θθθ

，23

1

mlI=

033222

=++θθθ

kaclml，2

2

3ml

kan=ω

nmlclξω232

2=，3

21123mk

lacmcn<?<?=ωξ

aakl

mg?=?

02

θ，2

02kamgl

=

θ

1.12面积为S、质量为m的薄板衔接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。

作用于薄板的阻尼力为SvFd2μ=，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T，在粘性流体中自由振动的周期为dT。求系数μ。

lc

图E1.12

解：平面在液体中上下振动时：

02=++kxxSx

mμ

2Tmknπ

ω=

=

，d

ndTπξωω212=

-=

nnmSmSωμξξωμ=?=22，k

S222

μξ=

k

Sk2

22

1μξ-=-

2022220

222TTTSTm

kSkTTdd

d-=?-=πμμππ

2.1图E2.2所示系统中，已知m，c，1k，2k，0F和ω。求系统动力学方程和稳态响

应。

图E2.1

答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)

解：

等价于分离为1x和2x的响应之和。先考虑1x，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：

()()xcxkxccxkkx

m112121+=++++tAcAkkxxcx

m1111111cossinωωω+=++

（1）

21ccc+=，21kkk+=，m

kkn2

1+=

ω（1）的解可参照释义（2.56），为：

()()

()()

()

()()

2

2

2111

112

2

2111121cos21sinsstk

Acsstk

AktYξθωωξθω+--+

+--=

（2）

其中：

nsωω1=

，21112s

stg-=-ξθ()

()()2

12

12212212

2112

121kkcckkkkcs++++=

???

?

??++=+ωωξ

()()

()()

()2

1212

212

2

1

212

211212

21212

2

2121kkccmkk

kkcckkmss+++-+=

?

?

????+++??????+-=+-ωωωωξ

故（2）为：

()()()

()

()()()()

21121

2

2

1

2

21

21

2

121211

2

1

2

212

2121111111111sincossinθθωω

ω

ωωωθωωθω+-++-++=++-+-+-=

tccmkk

ckAccmkktA

ctAktxxk2x

2(11xk-)11xx

c-

1

()()mkkcctgkkmkkctgsstg2

1

211

2112

121

211121

1112ωωωωξθ-++=+-+=-=1

1

11

2kctgωθ-=

考虑到()tx2的影响，则叠加后的()tx为：

()()()()?????

?+-++-++-++=--=∑

iiiiiiiiiiiiikctgmkkcctgtccmkkckAtxωωωωωωω1221211

2

1

222122212

22sin

2.1一弹簧质量系统沿光洁斜面作自由振动，如图T2-1所示。已知，?=30α，m=1kg，k=49N/cm，开头运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动逻辑。

图T2-1

答案图T2-1

解：

0sinkxmg=α，1.049

21

8.91sin0=?

?==

k

mgxα

cm

701

10492

=?==-mknωrad/s

ttxxn70cos1.0cos0-==ωcm

2.2如图T2-2所示，重物1W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2

W从高度为h处自由下落到1W上而无弹跳。求2W下降的最大距离和两物体碰撞后的运动逻辑。

图T2-2

答案图T2-2

解：

2

22221vg

WhW=

，ghv22=

动量守恒：

122

122vg

WWvgW+=，ghWWWv221212+=

平衡位置：

11kxW=，k

Wx1

1=

1221kxWW=+，k

WWx2

112+=

故：

k

Wxxx2

1120=

-=()2

121WWkg

gWWkn+=+=

ω

故：

t

vtxt

x

txxnn

nnn

nωωωωωωsincossincos12

000+

-=+-=

W2

W1

2.4在图E2.4所示系统中，已知m，1k，2k，0F和ω，初始时物块静止且两弹簧均为

原长。求物块运动逻辑。

图E2.4

答案图E2.4

解：

取坐标轴1x和2x，对衔接点A列平衡方程：

()0sin012211=+-+-tFxxkxkω

即：

()tFxkxkkωsin022121+=+

（1）

对m列运动微分方程：

()1222xxkx

m--=

即：

12222xkxkx

m=+（2）

由（1），（2）消去1x得：

tkkk

Fxkkkkx

mωsin2

120221212+=++

（3）

故：

()

212

12kkmkkn+=

ω

由（3）得：

()()()???

???--+=

ttkkmkFtxnnnωωωωωωsinsin22

21202

2.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k，0F和ω，且t=0时，0xx=，0vx

=，求系

xk

)1xxk-2x

m(2k

2

统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。

图E2.3

解：

()()()θωωωξω-++=-tAtDtCetxddtcossincos0

()()

2

2

20

211

ssk

FAξ+-?=

，2

1

12s

s

tg

-=-ξθ()θθcoscos000AxCACxx-=?+==

()()()()

θωωωωωωωωξωξωξω--+-++-=--tAtDtCe

tDtCetxddddt

ddtsincossinsincos000

()d

d

dAC

vDADCvx

ωθ

ωωξωθωωξωsinsin00000-

+=?++-==

求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。

2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为ω时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为

tmeωωsin2。已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=967.7

N/cm，测得垂直方向共振振幅cmXm07.1=，远离共振时垂直振幅趋近常值cmX32.00=。

求支承阻尼器的阻尼比及在min300r=ω运行时机器的垂直振幅。

tω

图E2.7

解：

()()()

()θωξ-+-?

=tsssM

metxsin212

2

22

，2

1

12ss

tg-=-ξθ

s=1时共振，振幅为：

cmMmeX07.1211=?=

ξ

（1）

远离共振点时，振幅为：

cmM