1998考研数学一真题及答案详解

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐1998考研数学一真题及答案详解1998年全国硕士讨论生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)0

x→=.

(2)设1()(),,zfxyyxyfx??=++具有二阶延续导数,则2z

xy

?=??.

(3)设L为椭圆221,43

xy+=其周长记为a,则22

(234)Lxyxyds++=??.(4)设A为n阶矩阵,0A≠,*A为A的陪同矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ,

则*2

()AE+必有特征值.(5)设平面区域D由曲线1yx

=

及直线2

0,1,yxxe===所围成,二维随机变量(,)XY在区域D上听从匀称分布,则(,)XY关于X的边缘概率密度在2x=处的值为_.

二、挑选题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)设()fx延续,则

22

0()xdtfxtdtdx

-=?()(A)2

()xfx(B)2

()xfx-(C)2

2()xfx(D)2

2()xfx-(2)函数23()(2)fxxxxx=不行导点的个数是()

(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()yyx=在随意点x处的增量2

,1yx

yx

α??=

++且当0x?→时,α是x?的高阶无穷小,(0)yπ=,则(1)y等于()(A)2π(B)π(C)4

eπ(D)4

eππ

(4)设矩阵1112223

3

3abcabcabc??

????????

是满秩的,则直线333

121212xaybzcaabbcc==与直线111

232323

xaybzcaabbcc==()

(A)相交于一点(B)重合

(C)平行但不重合(D)异面

(5)设AB、是两个随机大事,且0()1,()0,(|)(|),PAPBPBAPBA=则必有()

(A)(|)(|)PABPAB=(B)(|)(|)PABPAB≠(C)()()()PABPAPB=(D)()()()PABPAPB≠

三、(本题满分5分)

求直线11

:

111

xyzL--==

-在平面:210xyz∏-+-=上的投影直线0L的方程,并求0L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

四、(本题满分6分)

确定常数λ,使在右半平面0x>上的向量4

22

4

2(,)2()()Axyxyxyixxyjλ

λ

=+-+为某二元函数(,)uxy的梯度,并求(,)uxy.

五、(本题满分6分)

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开头铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)kk>.试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式()y=yv.

六、(本题满分7分)

计算

212222

(),()

axdydzzadxdyxyz∑

++++??

其中∑

为下半球面z=,a为大

于零的常数.

七、(本题满分6分)

求2sinsinsinlim.1112nnnnnnnπππ→∞???++???+?+?

++?

?

八、(本题满分5分)

设正项数列{}na单调削减,且1

(1)n

nna∞=-∑发散,试问级数1

1(

)1

n

nna∞

=+∑是否收敛？并说明理由.

九、(本题满分6分)

设()yfx=是区间[0,1]上的任一非负延续函数.

(1)试证存在0(0,1)x∈,使得在区间[]00,x上以0()fx为高的矩形面积,等于在区间[]0,1x上以()yfx=为曲边的梯形面积.(2)又设()fx在区间(0,1)内可导,且2()

(),fxfxx

'>-证实(1)中的0x是唯一的.

十、(本题满分6分)

已知二次曲面方程2

2

2

2224xayzbxyxzyz+++++=,可以经过正交变换

xyPzξηζ????????=????????????

化为椭圆柱面方程2

2

44ηζ+=,求,ab的值和正交矩阵P.

十一、(本题满分4分)

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组0kAx=有解向量α,且1

0kAα-≠,证实：向量组1

,,,kAAααα-L是线性无关的.

十二、(本题满分5分)

已知线性方程组

1111221,222112222,221122,220,0,()0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxIaxaxax++???+=??

++???+=????????????????????????????????????????++???+=?

的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)T

T

T

nnnnnnbbbbbbbbb????????????,试写出线性方程组

1111221,222112222,221122,220,0,

()0nnnnnnnnnbybybybybybyIIbybyby++???+=??

++???+=??

??????????????????????????????????????++???+=?

的通解,并说明理由.

十三、(本题满分6分)

设两个随机变量,XY互相自立,且都听从均值为0、方差为

1

2

的正态分布,求随机变量XY-的方差.

十四、(本题满分4分)

从正态总体2

(3.4,6)N中抽取容量为n的样本,假如要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？

附表：标准正态分布表22

()tz

zdt-

Φ=

?

z

1.281.6451.96

2.33()zΦ

0.900

0.950

0.975

0.990

十五、(本题满分4分)

设某次考试的同学成果听从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成果,算得平均成果为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成果为70分？并给出检验过程.附表：t分布表

{()()}pPtntnp≤=

1998年全国硕士讨论生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】14

-

【解析】办法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,

原式

2

2

x

→=

2

4

x→-=

)2

2

1lim

4xx→=

22

202221

1

2lim24

xx

xx→

--=-:.

办法2：采纳洛必达法则.

原式)

()0

2

2

lim

xx→'

'

洛0

x→=

0x→=0

lim4xx→=0

x→洛14

==-.

办法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式绽开至2

x项,

()22111128xxox=+

-+()22211

128xxox=--+,从而原式()()222212202211

1122828limxxxoxxxoxx→+-++--+-=()()22212201

4limxxoxoxx

→-++=1

4=-.(2)【答案】()()()yfxyxyyxy??'''''++++

【分析】由于1

()(),,zfxyyxyfx

??=

++具有二阶延续导数,利用混合偏导数在延续的条件下与求导次序无关,先求

zx??或zy

??均可,但不同的挑选可能影响计算的繁简.办法1：先求

zx

??.211()()()()()zyfxyyxyfxyfxyyxyxxxxx??????

''=++=-+++??????

,2221()()()11()()()()()

11

()()()()()

()()().

zyfxyfxyyxyxyyxxy

fxyxfxyfxyxxyyxyxxx

fxyfxyyfxyxyyxyxx

yfxyxyyxy???????????

''=-+++??????

'''''''=-++++++'''''''=-++++++'''''=++++办法2：先求

zy

??.11

()()()()()

()()(),zfxyyxyfxyxxyyxyyyxx

fxyxyyxy?????????''=++=++++??????''=++++[]

22()()()()()().

zzfxyxyyxyxyyxx

yfxyxyyxy???????

''==++++?????'''''=++++办法3：对两项分离实行不同的挨次更容易些：

()[][][]21()()1()()()()()()().

zfxyyxyxyxyxyxfxyxyxyxxyfxyyxyxy

yfxyxyyxy????????????????

=++???????????????

????

??''=++????????

''=++??'''''=++++评注：本题中,,f?中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注重到对x求导时,y视为常数；对y求导时,x视为常数就可以了.(3)【答案】12a

【解析】L关于x轴(y轴)对称,2xy关于y(关于x)为奇函数20L

xyds?

=?.

又在L上,

22

222213412(34)1212.43

LLxyxyxydsdsa+=?+=?+==??

因此,原式2

22(34)12L

L

xydsx

ydsa=

++=??.

【相关学问点】对称性：平面第一型曲线积分

(),l

fxyds?,设(),fxy在l上延续,假如l关

于y轴对称,1l为l上0x≥的部分,则有结论：

()()()()12,,,,0,ll

fxydsfxyxfxydsfxyx??=?????

关于为偶函数,

，

关于为奇函数.类似地,假如l关于x轴对称,2l为l上0y≥的部分,则有结论：

()()()()22,,,,0,ll

fxydsfxyyfxydsfxyy??=?????

关于为偶函数,，

关于为奇函数.(4)【答案】2

1Aλ??

+???

【解析】办法1：设A的对应于特征值λ的特征向量为ξ,由特征向量的定义有

,(0)Aξλξξ=≠.

由0A≠,知0λ≠(假如0是A的特征值0A?=),将上式两端左乘A*

,得

AAAAAξξλξλξ***===,

从而有*

,A

Aξξλ

=

(即A*的特征值为

A

λ

).

将此式两端左乘A*,得

()

2

2

**A

AAAξξξλλ??==???

.

又Eξξ=,所以

()()

22

*1AAEξξλ?????+=+??????

,故*2()AE+的特征值为2

1Aλ??

+???.

办法2：由0A≠,A的特征值0λ≠(假如0是A的特征值0A?=),则1

A-有特征值

1λ,A*的特征值为Aλ；*2

()AE+的特征值为2

1Aλ??+???

.

【相关学问点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数λ及非零的n

维列向量X使得AXXλ=成立,则称λ是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.

由λ为A的特征值可知,存在非零向量α使Aαλα=,两端左乘1A-,得1

Aαλα-=.由于0α≠,故0λ≠,于是有1

1A

ααλ

-=.按特征值定义知1

λ是1A-的特征值.

若AXXλ=,则()()AkEXAXkXkXλ+=+=+.即若λ是A的特征值,则

AkE+的特征值是kλ+.

2.矩阵A可逆的充要条件是0A≠,且1

1A

AA

-*

=

.(5)【答案】

14

【解析】首先求(,)XY的联合概率密度(,)fxy.

21(,)|1,0Dxyxeyx?

?=≤≤≤≤???

?,

区域D的面积为2

2

11

1ln2.eeDSdxxx

=

==?

1

,

(,),(,)2

0,xyDfxy?∈?=???其他.

第二求关于X的边缘概率密度.

当1x时,()0Xfx=；

当2

1xe≤≤时,10

11()(,)22xXfxfxydydyx

+∞

-∞

===?

?

.故1

(2).4

Xf=

二、挑选题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)【答案】(A)

【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换2

2

,uxt=-

2:0:0txux→?→,()222dudxttdt=-=-1

2dtdut

?=-

,

2

2

202222

0001()()211()(),22x

xx

xtfxtdtuxttfudttfudufudu??-=--???=-=????

()222

00

22221()()211

()()2(),22

xxddtfxtdtfududxdxfxxfxxxfx-='=?=?=??

选(A).

【相关学问点】对积分上限的函数的求导公式：若()

()

()()ttFtfxdxβα

=?,()tα,()tβ均一阶

可导,则[][]()()()()()Fttf

ttftββαα'''=?-?.

(2)【答案】(B)

【解析】当函数中浮现肯定值号时,就有可能浮现不行导的“尖点”,由于这时的函数是分段函数.22()(2)1fxxxxx=,当0,1x≠±时()fx可导,因而只需在0,1x=±处考察()fx是否可导.在这些点我们分离考察其左、右导数.

由2222

2

2

22(2)(1),1,(2)(1),

10,

()(2)(1),01,(2)(1),

1,

xxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxx?上为某二元函数(,)uxy的梯度PdxQdy?+在0x>上?原函数(,)uxy?

,0.QP

xxy

??=>??其中,

42242132()()4Q

xxyxxyxx

λλλ-?=-+-+??,424212()2()2P

xxyxyxyyy

λλλ-?=+++??.由

QP

xy

??=??,即满足4224213424212()()42()2()2xxyxxyxxxyxyxyyλλλλλλ+-+?=+++?,

424()(1)01xxyλλλ?++=?=-.

可见,当1λ=-时,所给向量场为某二元函数的梯度场.

为求(,)uxy,采纳折线法,在0x>半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则按照积分与路径无关,有

2(,)

42

(1,0)

2(,)xyxydxxdy

uxyCxy-=++?

2

4421

0200x

yxxdxdyCxxy

?-=

++++??(折线法)2

42

y

xdyCxy-=

++?

2

2

42(1)

y

xdyCyxx-=

+??+???

?

(第一类换元法)

22

22220

04

221(1)(1)

y

yxxyydCdCxxyyxxx?????

=-

+=-+??????????++??????

?

?2

arctany

Cx=-+(基本积分公式)其中C为随意常数.

【相关学问点】1.二元可微函数(,)uxy的梯度公式：uugradui+jxy

??=

??.2.定理：设D为平面上的单连通区域,函数()Px,y与(,)Qxy在D内延续且有延续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：

(1)

,(,)QP

xyDxy

??≡∈??；(2)0,L

PdxQdyL+=??为D内随意一条逐项光洁的封闭曲线；

(3)

LAB

PdxQdy+?

仅与点,AB有关,与衔接,AB什么样的分段光洁曲线无关；

(4)存在二元单值可微函数(,)uxy,使

duPdxQdy=+

(即PdxQdy+为某二元单值可微函数(,)uxy的全微分；(5)微分方程0PdxQdy+=为全微分方程；

(6)向量场P+Qij为某二元函数(,)uxy的梯度uP+Q=gradij.

换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数(,)uxy.

五、(本题满分6分)

【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg,浮力的大小：FBρ=-浮；阻力：kv-,则由牛顿其次定律得

20

2,0,0.ttdy

mmgBgkvyv

dt

ρ===--==(*)

由22,dydydvdvdydvdyvvvdvdtdtdtdydtdy

===?==,代入(*)得y与v之间的微分方程

1

0,0ydymvmgBkvvdvρ-=??

=--=???

.

分别变量得mv

dydvmgBkvρ=

--,

两边积分得mv

dydvmgBkvρ=

--?

?,

2222

()()()

BmmgBmmgmvkkkkydvmgBkvmBmmgmgBkvkkkdvmgBkvmgBmmkdv

kmgBkvmmmgBdvdv

kkmgBkvρρρρρρρρρρ+--+

=+=--??-?

=-+?--????-=-+--?

?

???

1

()()()()

mmgBmkvdmgBkvkkmgBkvρρρ-?-=-+?(第一类换元法)2

()ln()mmmgBvmgBkvCkkρρ-=-

+.

再按照初始条件0|0,yv==即

22

()()

ln()0ln()mmgBmmgBmgBCCmgBkk

ρρρρ

-+=?=-.故所求y与v函数关系为

()2ln.mmgBmmgBkvyvkkmgBρρρ-??--=--?-??

六、(本题满分7分)

【解析】办法1：本题属于求其次类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式举行计算,但因为被积函数分母中包含1

2222()xyz++,因此不能立

即加、减辅助面222

1:0

xyaz?+≤∑?=?,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：

22

12222

()1().()

axdydzzadxdyIaxdydzzadxdyaxyz∑

∑

++==

++++??

??添加辅助面222

1:0

xyaz?+≤∑?=?,其侧向下(因为∑

为下半球面z=侧,而高斯公式要求是囫囵边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和∑的上侧组成囫囵边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有

11

22

2

2

11()()()1()().DIaxdydzzadxdyaxdydzzadxdyaazaaxdVadxdyaxz∑+∑∑Ω=

++-++?????+??????=-+--????????

?????????ò

第一个积分前面加负号是因为我们取边界区面的内侧,其次个积分前面加负号是因为

1∑的方向向下；另外由曲面片1∑在yoz平面投影面积为零,则1

0axdydz∑=??,而1∑上0z=,

则()2

2zaa+=.

21(2())DIazadVadxdyaΩ

?

?=-+++???

?????,

其中Ω为∑与1∑所围成的有界闭区域,D为1∑在xoy面上的投影222{(,)|}Dxyxya=+≤.从而,

2

203

22022321232.3

DaIadvzdvadxdyaaadrdrzdzaaaππθπΩΩ??=--+?

??

??=-?-+????

???????????

第一个积分用球体体积公式；其次个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式

.

()

204

2

40024

220224230022422444

04

11222112()21

()1122242412aaaa

Iadrzdraaadrardraadarrdr

a

arraaaaaaaaaaππππθππθπθππππππ????=--+??

????

????=??

????

=

-+-?????????=-+?-=-+?-?

??????????

?=-+???????4342

aπ??=-???办法2：逐项计算：

22

1

2

2

22

212()1()()1

().

axdydzzadxdy

IaxdydzzadxdyaxyzxdydzzadxdyIIa∑

∑

∑

∑

++==

++++=++=+??

??????

其中

,

12,

DyzDyz

Dyz

Ixdydz∑

==-+=-????????

第一个负号是因为在x轴的正半空间区域∑的上侧方向与x轴反向；其次个负号是因为被积

函数在x取负数.

yzD为∑在yoz平面上的投影域222{(,)|,0}yzDyzyzaz=+≤≤,用极坐标,得

210

22

03223320

212()2

222

()(0),

333a

Idararaaππ

θππππ=-=-?-

-=-=-=-??

?

(

2

222220

0230

23000422

30

044

411()1(22)2(22)2222123422(3Dxy

aaaaaaaIzadxdyadxdy

aadarrdr

aarrdraardrardrararaaaaaaa

π

θπππ

π∑=+=-=-=-??=--?

???????????

=-?-??????????

=

--??????????3),

46

aπ=

其中yzD为∑在yoz平面上的投影域222{(,)|}yzDyzyza=+≤.故312.2

IIIaπ

=+=-

【相关学问点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光洁的闭曲面∑所围成,函数

(,,)Pxyz、(,,)Qxyz、(,,)Rxyz在Ω上具有一阶延续偏导数,则有

,PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyzΩ∑

?????++=++???????????ò或

()coscoscos,PQRdvPQRdSxyzαβγΩ∑

?????++=++???????????ò这里∑是Ω的囫囵边界曲面的外侧,cosα、cosβ、cosγ是∑在点(,,)xyz处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.

七、(本题满分6分)

【分析】这是n项和式的极限,和式极限通常的办法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种办法结合到一起来求极限.

当各项分母均相同是n时,n项和式

2sinsin

sin

nnnnnxn

nn

π

ππ

=

+

++L是函数sinxπ在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分

1

sinxdxπ?求得极限limn

nx

→∞

.

【解析】因为

sin

sinsin,1,2,,11iiinnninnnni

πππ≤≤=???++,

于是,

1

11sin

sinsin11n

nn

iiiiiinnnnn

ni

πππ

===≤≤++∑

∑∑.

因为1011

sin

12lim

limsinsinn

n

nniiiinxdxnnnπ

πππ→∞

→∞=====∑

∑?,

101

11sin

112

limlimsinlimsinsin11n

nn

nnniiiiniinxdxnnnnnnπ

ππππ→∞

→∞→∞===??=?===??++??

∑

∑∑?按照夹逼定理知,1

sin

2lim

1n

niinni

π

π→∞

==+∑

.【相关学问点】夹逼准则：若存在N,当nN>时,nnnyxz≤≤,且有limlimnnnnyza→+∞

→+∞

==,则limnnxa→+∞

=.

八、(本题满分5分)

【解析】办法1：因正项数列{}na单调削减有下界0,知极限limnna→∞

存在,记为a,则naa≥且

0a≥.

又

1

(1)

n

nna∞

=-∑发散,按照莱布尼茨判别法知,必有0a>(否则级数1

(1)nnna∞

=-∑收敛).

又正项级数{}na单调削减,有11,11n

n

naa????≤??

++?

???而1

011a.令1,1n

nnba??

=?+??

则

11

lim

1,11nnn

aa→∞==(否则级数

1

1

(1)

nnnu∞

-=-∑收敛)

2.正项级数的比较判别法：

设

1

nnu∞=∑和1

nnv∞

=∑都是正项级数,且lim

,n

nn

vAu→∞=则

(1)当0A,则当

1

11,1,lim0,1,.nnnnnnnuuuρ∞

=∞

→∞

=?

≠??

?=??

∑∑时收敛，

时发散，且时此判别法无效

九、(本题满分6分)

【解析】(1)要证0(0,1)x?∈,使0

1

00()()xxfxfxdx=

?

；令1

()()()xxxfxftdt?=-?,要证

0(0,1)x?∈,使0()0x?=.可以对()x?的原函数0

()()xxtdt?Φ=?使用罗尔定理：

(0)0Φ=,

1111

11

11000(1)()()(())()()()0,x

xxxxdxxfxdxftdtdx

xfxdxxftdtxfxdx?==Φ==-??

=-+=????

???????分部

又由()fx在[0,1]延续()x??在[0,1]延续,()xΦ在[0,1]延续,在(0,1)可导.按照罗尔定理,0(0,1)x?∈,使00()()0xx?'Φ==.

(2)由()()()()()2()0xxfxfxfxxfxfx?'''=++=+>,知()x?在(0,1)内单调增,故(1)中的0x是唯一的.

评注：若直接对()x?使用零点定理,会碰到棘手：

1

(0)()0,(1)(1)0ftdtf??=-≤=≥?.

当()0fx≡时,对任何的0(0,1)x∈结论都成立；

当()fx≡0时,(0)0,?<但(1)0?≥,若(1)0?=,则难以说明在(0,1)内存在0x.当直接对()x?用零点定理碰到棘手时,不妨对()x?的原函数使用罗尔定理.【相关学问点】1.罗尔定理：假如函数()fx满足(1)在闭区间[,]ab上延续；(2)在开区间(,)ab内可导；

(3)在区间端点处的函数值相等,即()()fafb=,那么在(,)ab内至少有一点ξ(abξ<<),使得()0fξ'=.

十、(本题满分6分)

【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相像.由题设知,

二次曲面方程左端二次型对应矩阵为111111bAba????=??????

,则存在正交矩阵P,使得1000010004PAP-????=??????

B记,

即AB与相像.

由相像矩阵有相同的特征值,知矩阵A有特征值0,1,4.从而,

2

11014,

3,1.(1)0.aabAbB++=++???==?=--==??

从而,111131.111A????=??????

当10λ=时,

()1110131111EA????-=??????1(1)23?-uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur行分离加到，行111020000??

??-??????

于是得方程组(0)0EAx-=的同解方程组为1232

0,

20.xxxx=??-=?

(0)2rEA-=,可知基础解系的个数为(0)321nrEA--=-=,故有1个自由未知量,

选1x为自由未知量,取11x=,解得基础解系为1(1,0,1).T

α=-

当21λ=时,

()011121110EA--????-=????--??3(1)2?-uuuuuuuuuuuuuuuuur加到行011011110--??

??--????--??

1(1)2?-uuuuuuuuuuuuuuuuuuur行加到行011000110--??

??????--??

23uuuuuuuuuuur，行互换011110000--??

??--??????

,于是得方程组()0EAx-=的同解方程组为23120,

0.

xxxx--=??

--=?

()2rEA-=,可知基础解系的个数为()321nrEA--=-=,故有1个自由未知量,

选1x为自由未知量,取11x=,解得基础解系为2(1,1,1).T

α=-

当34λ=时,

()3114111113EA--????-=--????--??12uuuuuuuuuur，行互换111311113--??

??--??

??--??

1uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur行的3,(-1)倍分离加到2，3行111024024--????-????-??23uuuuuuuuuuuuur行加到行111024000--??

??-??

????

,

于是得方程组(4)0EAx-=的同解方程组为123230,

240.

xxxxx-+-=??

-=?

(4)2rEA-=,可知基础解系的个数为(4)321nrEA--=-=,故有1个自由未知量,

选2x为自由未知量,取22x=,解得基础解系为3(1,2,1).T

α=

由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量互相正交,可知123,,ααα互相正交.将123,,ααα单位化,得

111222333,,.

T

T

T

αηααηααηα===

===

因此所求正交矩阵为0

P????

=?????.评注：利用相像的须要条件求参数时,

ii

ii

ab

=∑∑是比较好用的一个关系式.亦可用

EAEBλλ-=-比较λ同次方的系数来求参数.

【相关学问点】1.特征值的性质：

1

1

n

n

iii

iia

λ===∑∑

2.相像矩阵的性质：若矩阵AB与相像,则AB=.

十一、(本题满分4分)

【解析】用线性无关的定义证实.

设有常数011,,,,kλλλ-???使得

10110.

()kkAAλαλαλα--++???+=*

两边左乘1kA-,则有

()110110kkkAAAλαλαλα++???+=,

即12(1)

0110kkkkAAA

λαλαλα++???+=.上式中因0k

Aα=,可知()

211

0kkAA

αα-+===L,代入上式可得100.kAλα-=

由题设1

0kA

α-≠,所以00.λ=

将00λ=代入()*,有1

110kkAAλαλα--+???+=.

两边左乘2kA-,则有()2

11

1

0kkkAAAλαλ

α+???+=,

即123

110kkkAAλαλα+???+=.

同样,由0k

Aα=,()

211

0kkAA

αα-+==L,可得110.kAλα-=

由题设1

0kA

α-≠,所以10.λ=

类似地可证实210,kλλ-=???==因此向量组1

,,,kAAααα-???是线性无关的.

【相关学问点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12mk,k,,kL使

11220mmkkkααα+++=L,则称12m,,,αααL线性相关；否则,称12m,,,αααL线性无关．

十二、(本题满分5分)【解析】()II的通解为

1122nnkkkξξξ++???+,

其中,111121,2(,,,),

T

naaaξ=???221222,2(,,,),,Tnaaaξ=???L12,2(,,,)Tnnnnnaaaξ=???,

12,,,nkkk???为随意常数.

理由：可记方程组22()0,()0,nnnnIAXIIBY??==()I,()II的系数矩阵分离记为,AB,由

于B的每一行都是20nnAX?=的解,故0TAB=.T

B的列是()I的基础解系,故由基础解系

的定义知,TB的列向量是线性无关的,因此()rBn=.故基础解系所含向量的个数

2()nnrA=-,得()2rAnnn=-=.因此,A的行向量线性无关.

对0T

AB=两边取转置,有(

)

0T

TTAB

BA==,则有TA的列向量,即A的行向量是

0BY=的线性无关的解.

又()rBn=,故0BY=基础解系所含向量的个数应为2()2nrBnnn-=-=,恰好等于A的行向量个数.故A的行向量组是0BY=的基础解系,其通解为

1122nnkkkξξξ++???+,

其中,111121,2(,,,),

T

naaaξ=???221222,2(,,,),,Tnaaaξ=???L12,2(,,,)Tnnnnnaaaξ=???,

12,,,nkkk???为随意常数.

十三、(本题满分6分)

【分析】把XY-看成一个随机变量,按照自立正态随机变量的线性组合必定为正态分布的性质,可以知道N(0,1)XY-:,这样可以简化整题的计算.

【解析】令ZXY=-,因为,XY互相自立,且都听从正态分布,因此Z也听从正态分布,且

()()()0EZEXEY=-=,11

()()()122

DZDXDY=+=

+=.于是,