第14全章考点整合应用

第十四章 整式的乘法与因式分解全章热门考点整合应用习题课本章的主要内容是整式的乘(除)法运算、乘法公式以及因式分解．本章的重点：整式的乘(除)法法则、乘法公式和因式分解．本章的难点：乘法公式的灵活运用、添括号法则及运用提公因式法和公式法进行因式分解．其主要热门考点可概括为：两个概念、两个运算、两个公式、两个应用、四个技巧、三种思想．1考点两个概念概念1零指数幂1．(1)若

p

＋

3

＝(－2016)0，则p＝

－4或－2

；(2)若(x－2)0＝1，则x应满足的条件是

x≠2

．2．解方程：(x－4)x－1＝1.解：由“任何不等于0的数的0次幂都等于1”“1的任何次幂都等于1”和“－1的偶次幂等于1”知有三种情况：(1)当x－1＝0且x－4≠0时，x＝1；(2)当x－4＝1时，x＝5；(3)当x－4＝－1且x－1为偶数时，x＝3.综上所述，x＝1或x＝5或x＝3.同类变式3．下列由左到右的变形，是因式分解的是(

B

)A．(a＋6)(a－6)＝a2－36B．x2－8x＋16＝(x－4)2C．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1D．(x－2)(x＋3)＝(x＋3)(x－2)概念2因式分解4．若x2＋3x＋c分解因式的结果为(x＋1)(x＋2)，则c的值为(A．2C．－2)B．3D．－3同类变式2考点两个运算5．计算：(1)【中考•资阳】(－a2b)2＝；(2)5

2

016×(－0.2)

2017＝

－0.2

；(3)(2π－6)

0＝

1

；(4)(－3)

2

016＋(－3)

2

017＝－2×3

2

016

．运算1幂的运算法则及其逆用a4b26．计算：(－0.125)

2

017

×8

2

018；解：原式＝(－0.125)

2

017

×8

2

017

×8＝(－0.125×8)

2

017

×8＝－8.同类变式7．已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．解：103x＋2y＝103x•102y＝(10x)3•(10y)2＝53×62＝4

500.同类变式同类变式8．已知x＋y＝a，试求(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3的值．解：(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3＝(x＋y)3•[2(x＋y)]3•[3(x＋y)]3＝(x＋y)3•8(x＋y)3•27(x＋y)3＝216(x＋y)9＝216a9.9．计算：(1)(2a＋5b)(a－3b)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)；(3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)．运算2整式的运算解：(1)原式＝2a2－6ab＋5ab－15b2＝2a2－ab－15b2.原式＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1.原式＝(－9x2＋9xy－2y2)－(6x2－xy－y2)＝－15x2＋10xy－y2.10．计算：5ab2－{2a2b－[3a2b－ab（b－2a）]÷（－ab）}.同类变式123考点两个公式A．－2x2C．－2B．0D．－111．(x－1)(x＋1)(x2＋1)－(x4＋1)的值是(

C

)公式1平方差公式同类变式＝m6－16.故原式的值和n无关．12．试说明(

1

m3＋2n)(

1

m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)4

4的值和n无关．1

1解：(

4

m3＋2n)(

4

m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)＝(

1

m3)2－(2n)2＋(2n)2－164＝

1

m6－4n2＋4n2－1616116同类变式13．求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)•…•(364＋1)＋1的个位数字．同类变式14．分解因式：

(1)(3x＋1)2－(x－3)2；(2)x2(x－y)2－4(y－x)2.同类变式15．利用因式分解进行计算：

(1)3.14×512－3.14×492；.

22221234(2)

1

-

1

1

-

1

1

-

1

•…

•1

-201716．计算：

(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)【中考•重庆】2(a＋1)2＋(a＋1)(1－2a)．解：(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.公式2完全平方公式(2)原式＝2(a2＋2a＋1)＋(a－2a2＋1－2a)＝2a2＋4a＋2＋a－2a2＋1－2a＝3a＋3.同类变式17．(1)已知x＝5－y，求2x2＋4xy＋2y2－7的值；

(2)已知a2＋2ab＋b2＝0，求a(a＋4b)－(a＋2b)•(a－2b)的值．4两个应用考点应用1应用因式分解解整除问题18．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？解：(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．因为n为自然数，24(n＋1)中含有24这个因数，所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．应用2应用因式分解解几何问题19．已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状．解：因为a2－b2＝ac－bc，所以(a－b)(a＋b)＝c(a－b)．所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.所以(a－b)(a＋b－c)＝0.因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＋b－c≠0.所以a－b＝0.所以a＝b.

所以△ABC为等腰三角形．5四个技巧考点技巧1巧用乘法公式计算20．已知m，n满足(m＋n)2＝169，(m－n)2＝9，求m2＋n2－mn的值．解：因为(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2(m2＋n2)，所以2(m2＋n2)＝169＋9＝178，所以m2＋n2＝89.因为(m＋n)2－(m－n)2＝m2＋2mn＋n2－m2＋2mn－n2＝4mn，所以4mn＝169－9＝160，所以mn＝40.所以m2＋n2－mn＝89－40＝49.因式分解：a2－ab＋ac－bc；

(2)x3＋6x2－x－6.思路导引：(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c，各自提取公因式后均剩下(a－b)；按系数特点分组，由系数特点知第一、三项为一组，第二、四项为一组．技巧2分组后用提公因式法＝(a－b)(a＋c)．(2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1)＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)22．因式分解：(1)x2－y2－2x－4y－3；

(2)x4＋4.解：(1)原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)]•[(x－1)－(y＋2)]＝(x＋y＋1)(x－y－3)．技巧3拆、添项后用公式法(2)原式＝x4＋4x2－4x2＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下的

一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，以达到因式分解的目的．23．因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.将y＝m2－2m代入上式，则原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.技巧4换元法6三种思想考点思想1整体思想24．(1)已知2m－1＝2，求3＋4m的值；(2)已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值．解：(1)因为2m－1＝2，所以2m＝3.所以3＋4m＝3＋(22)m＝3＋(2m)2＝3＋32＝12.(2)因为x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，x－y＝7，xy＝10，所以原式＝72＋2×10＝69.本题运用了整体思想，将2m，x－y，xy整体代入求出式子的值．25．计算：(1)(2x－1)(4x2＋2x＋1)；

(2)(x＋y＋z)2.解：(1)(2