2023年高考数学必刷压轴题（新高考版）专题16 数列（选填压轴题） （解析版）

第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat22页专题16数列（选填压轴题）1．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）若实数满足：对每个满足的不为常数的数列，存在，使得，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】令，则.故.下证：当时满足条件.①存在，已经成立；②存在，则，成立；③存在，则，成立.假设存在，使得对每个，设.则.令，则，矛盾.故总存在，满足①，②，③其中之一.故选：C2．（2022·北京八中高三阶段练习）对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②；③，.定义：同时满足性质①和②的数列为“数列”，同时满足性质①和③的数列为“数列”，则下列说法正确的是（

）A．若，则为“数列”B．若，则为“数列”C．若为“数列”，则为“数列”D．若为“数列”，则为“数列”【答案】A【详解】若，则，满足①，，，因为，所以，满足②，故A正确；若，则，满足①，，令，若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足，若为偶数，此时，则此时不存在，使得，综上：B选项错误；设，此时满足，也满足，，即，但不满足③，，因为，综上C选项错误；不妨设，满足，且，，当为奇数时，取，使得，当为偶数时，取，使得，故为“数列”，但此时不满足，不妨取，则，而，则不是“数列”，D选项错误.故选：A.3．（2022·上海市洋泾中学高三开学考试）已知表示大于的最小整数，例如，，下列命题中正确的是（

）①函数的值域是；②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若，则方程有2022个解.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】当时，，，当时，令，，，则，，因此的值域是，是等差数列，但，，不成等差数列；是等比数列，但，，不成等比数列；由前分析可得当时，；当，，，时，，所以，即是周期为的函数，由指数函数的性质，可得函数过，在上单调递减，当时，，，去交点；当时，，，必有一个交点；则后面每个周期都有一个交点，所以，则方程由个根.①④正确，故选：D.4．（2022·河南信阳·高二期末（理））二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数(）对应的十进制数记为，即其中，，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（

）A．1910 B．1990 C．12252 D．12523【答案】D【详解】根据题意得，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数的个数为28．所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为故选：D．5．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知数列{}满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，，所以，又，所以数列是递增数列且，，所以，所以，所以，.当，得，由得，则，同上由累加法得，所以，所以，则.故选：C.6．（2022·江苏南京·高二期末）将等比数列按原顺序分成1项，2项，4项，…，项的各组，再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间，得到新数列：，，，，，，，，，，…，新数列的前项和为．若，，，则S200=（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由已知得，，，等比数列的公比．令，则，，所以数列的前200项中含有数列的前7项，含有数列的前193项，故．故选：A．7．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【详解】设函数，则为奇函数，且，所以在R上递减，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以，.故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．9．（2022·全国·高三专题练习）各项都不为0的数列的前项和满足其中数列的前项和为若恒成立，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．20【答案】D【详解】数列的前项和满足则时，，则又数列的各项都不为0，则又由，可得则数列的奇数项是以1为首项公差为2的等差数列，数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列，则数列的通项公式为则则数列的前项和又，即恒成立，则恒成立又当时的最大值为20，则故选：D10．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得则得，即，令得，即①，即得.因为首项，公差，则得，即.又因为，所以，代入①得.当时，由得即，所以即因此当或11时，的最小值为.故选：C11．（2022·浙江·模拟预测）记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（

）A．若满足，则B．若满足，则对任意正整数C．若满足，则对任意正整数D．若满足，且，则【答案】D【详解】因为，所以，A错，取，，则，，所以，B错，因为，，所以.因此，，C错，若是的子集，则.若是的子集，则.若不是的子集，且不是的子集.令，则，，.于是，，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.所以D对，故选：D.12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，给出下列三个结论：①不存在a，使得数列单调递减；②对任意的a，不等式对所有的恒成立；③当时，存在常数C，使得对所有的都成立．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【详解】由，可得，则，，则，都有数列单调递增，故①正确；由可得，又数列单调递增，则，则，即，②正确；由可得，则，，，，将以上等式相加得，又，单调递增，则，又由可得，又，则，即，则，设，，易得，当时，，则，，故不存在常数C，使得对所有的都成立，故③错误.故选：A.13．（2022·全国·高三专题练习）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C．均构成等比数列 D．【答案】B【详解】据题意知：，∴，A错误；，当时，，D错误；∴，由也满足上式，则，所以不构成等比数列，C错误；由上，，则，B正确.故选：B．14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知数列中，，，记，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，则，故，依次类推有，令，则，，又因为在上递增，故，即，所以数列是公比为2的等比数列，故有，即，亦即，则，又因为，故选：B.15．（2022·浙江金华·三模）已知数列，满足，，，则下列选项错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，故A正确；由题意得：，当且仅当时，取等号；所以，即所以，又，，所以，，故B正确；又所以所以所以，故C正确；所以即所以，故D错误.故选：D.16．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（

）A．249 B．499 C．749 D．999【答案】A【详解】由，得，又，所以数列是以3为首项，4为公比的等比数列，则①；由得，，又，所以数列是常数列，则②，由①②联立可得；因为，所以即：

所以，故，所以，则．故选：A17．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，记此数列的前项和为．若，则的最小值是_____．【答案】95【详解】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第组的项数为，则组的项数和为，因为，令得即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，若，则项的和应与互为相反数，

设项总共有项，则其前项和为所以解得当时，，则的最小值为.故答案为：95.18．（2022·浙江·高二期末）已知数列满足，对于每一个，，，构成公差为2的等差数列，，，构成公比为的等比数列，若，不等式恒成立，则正整数的最小值为______.【答案】5【详解】，，，，∴，∴是以为首项，公比为的等比数列，∴，∴，则，，，则，不等式恒成立，等价于或，即或，故正整数的最小值为5.故答案为：519．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，各项均不相等的数列满足，，数列和的前项和分别为和，给出下列两个命题：①若，则；②存在等差数列，使得成立．关于上述两个命题，以上说法正确的是______．（填写序号）【答案】①②【详解】解：，当时，，，，，，，由于当时，，单调递增，故可得，，，，所以①正确；由知，所以，要使得成立，只需即可，所以只需，即，又，不妨取，，满足，，所以存在这样等差数列，所以②正确．故答案为：①②.20．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设正整数，其中，记，当时，___________（用含的代数式表示）.【答案】【详解】，又，所以，同理，，所以，，所以，，所以.，所以，又，所以.故答案为：21．（2022·全国·高三专题练习）已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”.例如数列，，满足，则其序数列为1，3，2.若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则___________.【答案】【详解】解：的序数列单调递减，数列单调递增，，，而，，，，①的序数列单调递增，数列单调递减，同理可得，，②由①②可得，∴.故答案为：.22．（2022·全国·高三专题练习）某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源.这个特别密码与如图数表有关.数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推，每年的特别密码是由该年年份及数表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字构成的五位数.如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字.按此规则，2022年的特别密码是___________.【答案】20228【详解】解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列，且第行的公差是，记第行第个数为，则，则，，故数列是以首项为，公差为的等差数列，故，故，故第2022行的第一个数为，的个位数是2，的个位数是4，的个位数是8，的个位数是6，的个位数是2，，的个位数以4为周期循环，而，故的个位数是6，又，故第2022行的第一个数的个位数为，故2022年的特别密码是20228.故答案为：20228．23．（2022·全国·模拟预测（文））已知等差数列的前项和为，且，若存在常数使得恒成立，则常数的值为___________.【答案】2或4【详解】由题意，化简得，故，由，得或，当时，显然；当时，，满足条件，所以或4.故答案为：2或424．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为，则满足的最小正整数的值为______.（参考数据：，）【答案】9【详解】由图形变化规律可得，，则有，所以最小正整数的值为9.故答案为：9.25．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为___________【答案】【详解】由题，，累加可得，故，显然，故要存在正整数n，使成立，即，即或，故存在正整数n，使或，故或，即或，故直接分析的最小值即可.又，当为奇数时，；当为偶数时，，当且仅当时取得等号，综上有，故或.故答案为：26．（2022·北京·北师大实验中学高二期中）设正整数，其中，记.例如，那么.则下列说法正确的有_______.①；②；③；④.【答案】①②④【详解】由，那么，①正确；由则所以，②正确；由所以，故，③不正确；由所以，故，④正确．故答案为：①②④27．（2022·上海市七宝中学高二期中）已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为_________．【答案】【详解】由知：或；当时，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则，解得：（舍）；当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，解得：（舍）；数列应是等差与等比的交叉数列，又，或；若要最小，则，，，，，的最小值为.故答案为：.28．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．【答案】【详解】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当