椭球面上的测量计算

椭球面上的测量计算第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期三1.地球椭球的基本几何参数4-1地球椭球的基本几何参数及相互关系椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：b椭圆的扁率：五个基本几何参数

椭圆的第一偏心率：

椭圆的第二偏心率：

a、b称为长度元素扁率反映了椭球体的扁平程度

e′和e反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期三决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a或b）。为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：注意式中，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期三0.006739496742270.0067395018194730.006738525414683e’20.00669437990130.0066943849995880.006693421622966e21/298.2572235631/298.2571/298.36399593.62586399596.65198801056399698.9017827110c6356752.31426356755.28815752876356863.0187730473b637813763781406378245aWGS-84系椭球1975国际椭球克拉索夫斯基椭球

我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期三4-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系大地坐标系、空间直角坐标系（以上两种是大地测量中两种基本坐标系）大地极坐标系第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期三1）大地坐标系

P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示。P若P点不在椭球面上，还要一个参数：大地高H来表示点位。它与正常高及正高的关系为：第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期三大地坐标系是大地测量的基本坐标系，具有如下的优点:(1)它是整个椭球体上统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。经纬线是地形图的基本线，所以在测图及制图中应用这种坐标系。(2)它与同一点的天文坐标(天文经纬度)比较，可以确定该点的垂线偏差的大小。第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期三2）空间直角坐标系

以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期三3）大地极坐标系

M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。

椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（L、B）可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期三4）空间直角坐标系与大地坐标系的关系

XY当P点位于椭球面上时：第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期三当P点不在椭球面上时：第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期三1、子午圈曲率半径M小于赤道半径aM随B的增大而增大M等于极点曲率半径B=0（在赤道处）0＜B＜90B=90（在极点处）说明MB4.3椭球面上的几种曲率半径第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期三2、卯酉圈曲率半径

卯酉圈变为子午圈，N=cN90=cB=900N随B的增大而增大a＜N＜c00<B<900卯酉圈变为赤道B=00说明NB第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期三3、任意法截弧的曲率半径当A=0°或180°时，RA的值最小，此时R0=M（子午曲率半径）当A=90°或270°时，RA的值最大，此时R90=N（卯酉圈曲率半径）；当A由0°→90°时，RA之值由M→N；当A由90°→180°时，RA之值由N→M。RA值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期三4、平均曲率半径M、N、R的关系：N>R>M只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：

由于RA的数值随方位A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径--平均曲率半径[就是过椭球面上一点的一切法截弧(0—2π），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用R表示]。第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期三4.4椭球面上的弧长计算1.子午线弧长计算公式第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期三2.平行圈弧长公式

旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x：如果平行圈上有两点，其经差，可写出平行圈弧长公式：第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期三3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较30.92329.87626.80221.90215.5008.0280.00036m1792.541608.131314.14930.02481.710.00111321m10755296488788485580128902030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.0271842.941844.261847.711852.391857.041860.421861.60110576m11065611086311114311142311162511169601530456075901″1′ΔL=1°1″1′平行圈弧长子午线弧长B单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1°约为110KM，1′约为1.8KM，1″约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期三4.5大地线

1.相对法截线的概念（1）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（2）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期三2、大地线椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。大地线是椭球面上两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为：

在一等三角测量中，Δ可达千分之四秒，δ可达千分之一二秒大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期三4.6将地面观测值归算到椭球面将水平方向归算至椭球面，三差改正：垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为。4.6.1将地面观测的方向值归算到椭球面第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期三垂线偏差改正的计算公式

1）垂线偏差改正把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正。第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期三2）标高差改正标高差改正：由照准点高度引起的改正照准点大地纬度

测站点至照准点的大地方位角

与照准点的纬度B2对应的子午圈曲率半径照准点的觇标高

标高差改正主要与照准点的高程有关。

第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期三3）截面差改正将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正

测站点大地纬度

与测站点的纬度B1对应的卯酉圈曲率半径截面差改正主要与测站点至照准点间的距离S有关。第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期三4）三差改正的计算各等三角测量在归算时对取位的要求：

一等需算至0.001″；二等为0.01″；三等和四等为0.1″。

在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在或H>2000m时，才分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。

第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期三1、基线尺量距高程对长度归算的影响：基线两端点平均大地高程基线方向法截线曲率半径将上式展开级数，取至二次项4.6.2将地面观测的长度归算到椭球面第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期三2、电磁波测距的归算

前提：1)在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长度；2)两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小(如当S=640KM时，之差等于0.3米；S=200KM时，之差等于0.005m)