2022-2023学年湖南省永州市水市镇大界中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省永州市水市镇大界中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知sinα=，则的值为（

）A.-

B.-

C.

D.参考答案：B略2.平面//平面，直线//，直线垂直于在内的射影，那么下列位置关系一定正确的为（

）A.∥

B.

C.

D.参考答案：C3.已知等差数列{an}的首项为，公差，则“成等比数列”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据题意，设数列的公差为d，从充分性与必要性的角度分析“成等比数列”和“”的关系，综合即可得答案．【详解】根据题意，设数列的公差为d，若成等比数列，则，即（a1+2d）2=a1?（a1+8d），变形可得：a1=d，则“成等比数列”是“a1=d”的充分条件；若a1=d，则a3=a1+2d=3d，a9=a1+8d=9d，则有，则“成等比数列”是“a1=d”的必要条件；综合可得：“成等比数列”是“”的充要条件；故选：C．4.过抛物线C：的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知集合或，，则等于（

）．A．或 B． C． D．或参考答案：B．故选．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）参考答案：7.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的(***).A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C8.在中，，，，则的面积为（）A．

B．4C．

D．参考答案：C∵△ABC中，，，，由正弦定理得：，∴，解得，∴，，∴△ABC的面积，故选C.

9.已知定义在上的函数y=f（x）的值域为，则函数y=f（cos2x）的值域为(

) A． B． C． D．不能确定参考答案：C考点：函数的值域．专题：计算题．分析：先求出cos2x的范围，然后根据映射f括号里的范围相同可知值域也相等，从而得到结论．解答： 解：∵cos2x∈，上的函数y=f（x）的值域为，∴函数y=f（cos2x）的值域为故选C．点评：本题主要考查了抽象函数的值域，解题的关键是求括号中cos2x的范围，属于基础题．10.已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（

）（A）．

（B）．1

（C）．

（D）．．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一组抛物线，其中a为1、3、5、7中任取的一个数，b为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是

．参考答案：12.（不等式选做题）不等式的解集是

．参考答案：略13.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。参考答案：答案：解析：在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且是边的中点，设，则，，O点在底面的射影为底面△ABC的中心，=，又，与平面所成角的正切是，所以二面角大小是.14.设集合U＝，A=，B＝，则＝

。参考答案：15.已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：[5，+∞）考点：抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据f（x+1）=﹣，可得f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．解答：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有4个交点，所以可得1≥loga（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．点评：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．16.已知实数x、y满足，则目标函数的最小值为_____________．参考答案：－3满足条件的点的可行域如下：由图可知，目标函数在点处取到最小值-317.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若，，设△ABC的面积为，正方形PQRS的面积为，当a固定，变化时，称为“规划合理度”，则“规划合理度”的最小值是

．参考答案：，令，则，，∴函数在上递减，因此当时，有最小值，，此时，∴当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k?AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．又PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．由此得AB⊥平面BEF．

（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，则=（﹣1，2，0），=（0，1）设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，则∴，取y=1，可得设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═化简得，则．【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．19.（本小题满分12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）

求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.参考答案：（I）由得

()因为直线与抛物线C相切,所以,解得…………5分（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为…….12分20.已知，，三点． （1）求向量和向量的坐标；（2）设，求的最小正周期；（3）求的单调递减区间．参考答案：解：（1）=，，=，……2分（2）=

………4分=

=

……………6分==

……………8分

∴的最小正周期．

…………………9分（3）∵，∈Z，∴，∈Z．

∴的单调递减区间是（∈Z）．………12分略21.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知各项为正数的数列中，，对任意的，成等比数列，公比为；成等差数列，公差为，且．（1）求的值；（2）设，证明：数列为等差数列；（3）求数列的前项和．参考答案：（1）由题意得，，或.

………………2分故数列的前四项为或.

………………4分（2）∵成公比为的等比数列，

成公比为的等比数列∴，又∵成等差数列，∴.得，，

………………6分，∴，，即.∴数列数列为公差等差数列，且或.

……8分∴或.

………………10分（3）当时，由（2）得.，，，.

………………13分当时，同理可得，.

………………16分

解法二：（2）对这个数列，猜想，下面用数学归纳法证明：ⅰ）当时，，结论成立.ⅱ）假设时，结论成立，即.则时，由归纳假设，.由成等差数列可知，于是，∴时结论也成立.所以由数学归纳法原理知.

………………7分此时.同理对这个数列，同样用数学归纳法可证.此时.∴或.

………………10分

（3）对这个数列，猜想奇数项通项公式为.显然结论对成立.设结论对成立，考虑的情形.由（2），且成等比数列，故，即结论对也成立.从而由数学归纳法原理知.于是（易见从第三项起每项均为正数）以及，此时.

………………13分对于这个数列，同样